線性代數(shù)超強地總結(jié)材料

1、線性代數(shù)超強總結(jié)A不可逆r(A) nAx有非零解0是A的特征值A的列(行)向量線性相關A可逆 r(A) nAx 0只有零解A的特征值全不為零A的列(行)向量線性無關ATA是正定矩陣Ps, Pi是初等陣,Ax 總有唯一解向量組等價相似矩陣具有 反身性、對稱性、傳遞性矩陣合同V 關于 e,e2, ,en: 稱為的標準基，?n中的自然基，單位坐標向量; e,e2, ,en線性無關; G,e2, ,en1; tr(E)二n ； 任意一個n維向量都可以用q,e2, ,en線性表示.V行列式的計算:若A與B都是方陣（不必同階）,則AB(1)mn A B上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積ai na

2、i n關于副對角線:a2na2n in( n i)i)F aznamanianiV逆矩陣的求法： a1 A（A：E）初等行變換i(E；A )iad beatbtctdtaiaiiai1ana2a2aniananiaiAA2方陣的幕的性質(zhì):設 f (x)mamXA1A21A21A.1AmAnm 1am 1XIII a1X(Am)n (A)mnao，對n階矩陣A規(guī)定:f(A)amAm 1am 1AIII設Am n，Bn向量為則:aiA a°E為A的一個多項式1,2, j s ?AB 的列向量為A i，i 12 |卜即 A(b,b2,|,bn)T,則 A b 1即:用A,B中簡 單的一個提

3、，s)b2(A2 川 bn nri若AB的第個列向量ri是A勺列向量的線性組合，組合系數(shù)就是i的各分量；高運算速度s)AB的第個行向量ri是B的行向量的線性組合，組合系數(shù)就是 的各分量.V用對角矩陣 左乘一個矩陣，相當于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量;用對角矩陣 右乘一個矩陣，相當于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量V兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘A1與分塊對角陣相乘類似，即：A,BB11B22ABaiibiiA22 B22V矩陣方程的解法：設法化成（I） AX B 或（II） XA B當A 0時，（I）的解法：構(gòu)造（A：B）I初等行變換(EX)4（當B為

4、一列時, 即為克萊姆法則）（II）的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atxtbt，用（I）的方法求出XT，再轉(zhuǎn)置得XV Ax 和Bx 同解（A, B列向量個數(shù)相同）,則: 它們的極大無關組相對應，從而秩相等; 它們對應的部分組有一樣的線性相關性; 它們有相同的在線性關系V判斷1, s是Ax 0的基礎解系的條件： 1, 2,1, s線性無關； 1, 2,|, s 是 Ax 0 的解； s n r（A）每個解向量中自由變量的個數(shù)零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交 單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關 部分相關，整體必相關；整體無關，部分必無關原向量組無關，接長向量組無關；接長向量組

5、相關，原向量組相關.兩個向量線性相關對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關向量組中任一向量i (1 < i w n)都是此向量組的線性組合.向量組線性相關向量組中至少有一個向量可由其余 n 1個向量線性表示.向量組線性無關向量組中每一個向量i都不能由其余n 1個向量線性表示.m維列向量組2,n線性相關r(A) n ；m維列向量組線性無關r(A) n.r(A) 0 A線性無關，而線性相關，則可由線性表示,且表示法惟矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù)?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關系矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向

6、量間的線性關系向量組等價n可以相互線性表示記作:矩陣等價A經(jīng)過有限次初等變換化為B. 記作：M B?矩陣A與B等價r(A) r(B)代B作為向量組等價，即:秩相等的向量組不一定等價矩陣A與B作為向量組等價r(n) r(1,2,)r( 1, 2,矩陣A與B等價.?向量組2,可由向量組2,線性表示r(s ) r (1,2, n) r( 1,2 ,?向量組2,可由向量組2,線性表示,且sn，則s線性相關.向量組2,線性無關,且可由線性表示,則s< n.?向量組2,可由向量組n線性表示,且r(1,2, s) r (1, 2, n),則兩向量組等價;?任一向量組和它的極大無關組等價.?向量組的任意

7、兩個極大無關組等價，且這兩個組所含向量的個數(shù)相等.?若兩個線性無關的向量組等價，則它們包含的向量個數(shù)相等.? 若A是m n矩陣,則r(A) min m,n ,若r(A) m , A的行向量線性無關;若r(A) n , A的列向量線性無關,即:1, 2, ,n線性無關線性方程組的矩陣式Axai1ai2ainXiA a21a22A12I1a2nX2ij1b2111 ,x11 1am1am2III a1mnPXn1bm向量式Xi 1X2 2 IIIXnnmjAx可由線性表示 Ax 有解 r(A) r(A)Ax有無窮多解：:Ax有非零解當A為方陣時A 02,|, n線性相關有唯一組解: Ax只有零解當

8、A為方陣時A 02,卅，n線性無關當A為方陣時克萊姆法則br(A) r(A )不可由1, 2,n線性表示Ax 無解 r(A) r(A )I *r(A) 1 r(A )矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(at)t a(AB)T btat(kA)TkATAT|IA(A B)T AT BT矩陣可逆的性質(zhì)：(A1)1 A1 1 1(AB)B A1 1 1(kA)k AA1IA1(A1)T (AT)1(A1)k (Ak) 1 Ak伴隨矩陣的性質(zhì)：(A)|An2A(AB) B An 1(kA) k AAlIAn1(A 1)(A) 1 什(AT) (A )T(A )k (Ak)AA A A | A En若 r(A)nr(A)

9、1若 r(A)n10若 r(A)n1AB |A BlkA屮Ak| IAk(1)(2)(3)1, 2是Ax 0的解，12也是它的解是Ax 0的解,對任意k,k也是它的解、次、程組1, 2, k是Ax 0的解,對任意k個常數(shù) 齊次萬程組1, 2,|, k, 1 12 2 k k也是它的解線性方程組解的性質(zhì)：(4)(5)(6)(7)是Ax的解，是其導出組Ax 0的解，是Ax的解1, 2是Ax的兩個解，r2是其導出組Ax 0的解2是Ax的解,則1也是它的解12是其導出組Ax 0的解1, 2，卅，k是Ax的解，則1 12 2k k也是Ax的解12k 11 122 k k是 Ax 0的解12 k 0V設A

10、為m n矩陣,若r(A) m,則r(A) r(A ),從而Ax一定有解.I當m n時,一定不是唯一解.方程個數(shù) 向量維數(shù)未知數(shù)的個數(shù)向量個數(shù)則該向量組線性相關m是r(A)和r(A：)的上限.IV矩陣的秩的性質(zhì): r(A) r(AT) r(ATA) r(A B)< r(A) r(B) r(AB) w min r(A),r(B) r(kA)r(A)若k 00若k 0 r A r(A) r(B)B 若A 0,則r(A) > 1 若Am n，Bn s，且r(AB) 0,則r(A) r(B) w n 若 P,Q可逆，則r(PA) r(AQ) r(A) 若A可逆,則r(AB) r(B)若B可逆

11、，則r(AB) r(A) 若r(A) n,則r(AB) r(B),且A在矩陣乘法中有左消去律AB 0 BAB AC B C標準正交基n個n維線性無關的向量，兩兩正交,每個向量長度為1.與正交(,)0.是單位向量II M( , ) 1V積的性質(zhì)：正定性：(,)0,且(,)0(,)(,)(,1 2)(,1)(,2)(12 ,)(1,)(2,)(C ,)(c,)(,c ) 對稱性: 雙線性:施密特 !, 2, 3線性無關,(2, 1 )(1 1)(3 ,1 )31(1 1)1 23(3,2)2(2 2)正交矩陣| AAt E .V A是正交矩陣的充要條件：A的n個行(列)向量構(gòu)成En的一組標準正交基

12、V正交矩陣的性質(zhì)： A A 1; AAJ AtA E ; A是正交陣,則A (或A 1)也是正交陣; 兩個正交陣之積仍是正交陣; 正交陣的行列式等于1或-1.A的特征矩陣 E A.A的特征多項式| | E A f().A的特征方程E A 0.Ax xAx與x線性相關上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n各元素.若A 0,則0為A的特征值，且Ax 0的基礎解系即為屬于0的線性無關的特征向量.tr AA 12|n若r(A) 1,則A一定可分解為aa2Ib2，川，0、A2 (aQ a?b2 川 and)A,從而 A的特征值為：1 tr A印0a2b2Iang.23 "In 0

13、.若A的全部特征值I，n , f(x)是多項式,則:f(A)的全部特征值為 f( i), f( 2),|,f( n)；當A可逆時,A1的全部特征值為+三,|，+，A的全部特征值為也,¥,|,二.kA aA bE是A的特征值，則:分別有特征值A1A正交化 2AmAx是 A關于 的特征向量，則x也是A與B相似kAaA bEA 1A2AmA關于ka b2的特征向量.IAB P 1AP( P為可逆陣)記為：A” BV A相似于對角陣的充要條件：A恰有n個線性無關的特征向量.這時，P為A的特征向量拼成的矩陣，P 1AP為對角陣,主對角線上的元素為A的特征值.V A可對角化的充要條件：n r（

14、jE A） K k為i的重數(shù).V若n階矩陣A有n個互異的特征值,則A與對角陣相似.A與B正交相似 B P 1AP（ P為正交矩陣）V相似矩陣的性質(zhì)： A B 1 若代B均可逆 At N bt Ak N Bk（ k為整數(shù)） | E A | E B ,從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同即：x是A關于0的特征向量，P是B關于0的特征向量. A B從而代B同時可逆或不可逆 r(A) r(B) tr (A) tr (B)V數(shù)量矩陣只與自己相似V對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實數(shù)，特征向量是實向量； 與對角矩陣合同； 不同特征值的特征向量必定正交； k重特征值必定有k個線性無關的特征向量； 必可

15、用正交矩陣相似對角化（一定有 n個線性無關的特征向量，A可能有重的特征值,重數(shù)=n r（ E A）A可以相似對角化 A與對角陣 相似.記為：A”（稱是A的相似標準型）r(A).V若A為可對角化矩陣，則其非零特征值的個數(shù)（重數(shù)重復計算）V設i為對應于i的線性無關的特征向量，則有:1, 2, | n) (A 1,A 2,|,A n)( 1 1, 2 2,|,A若 A 專 B, C&D,則： c N若 A"B,則 f(A)"f(B),|f(A)f(B).二次型f (Xi,X2,|,Xn) XT AXA為對稱矩陣X (Xi,X2，川，Xn)TA與B合同 B CtAC.記作:

16、B ( A, B為對稱陣,C為可逆陣)兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負慣性指數(shù)兩個矩陣合同的充分條件是： A兩個矩陣合同的必要條件是：r(A) r(B)/正交變換f (Xi,X2，川，Xn) XTAX 經(jīng)過;:合同變換 X CY 化為 f (Xi,X2,|, Xn)可逆線性變換ndiiyi2標準型.二次型的標準型不是惟一的，與所作的正交變換有關，但系數(shù)不為零的個數(shù)是由r(A)正慣性指數(shù)負慣性指數(shù)惟一確定的.V當標準型中的系數(shù)di為1, -1或0時，則為規(guī)形.V實對稱矩陣的正(負)慣性指數(shù)等于它的正(負)特征值的個數(shù)合同.的主對角上的元素di即為A的11V任一實對稱矩陣A與惟一對角陣；10V用正交變換法化二次型為標準形： 求出A的特征值、特征向量； 對n個特征向量單位化、正交化； 構(gòu)造C （正交矩陣），C