線性代數(shù)知識點(diǎn)集錦

1、課時(shí)授課計(jì)戈I課次序號：_8一、課題：矩陣的初等變換與初等矩陣二、課型：課堂講授三、目的要求：熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形；知道矩陣等價(jià) 的概念。知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系。掌握用初等變換求可逆矩陣 的逆矩陣的方法。四、重點(diǎn)、難點(diǎn)：矩陣初等變換的方法；用初等變換求逆矩陣的方法。五、教學(xué)方法及手段：采用課堂講授的方法，并以多媒體課件輔助。六、參考資料：線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)，趙樹源編，中國人民大學(xué)出版社工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題，工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會本科組編，高等教育出版社七、作業(yè)：P79l(1)(

2、3),4八、授課記錄：授課日期班次九、授課效果分析:十、教學(xué)進(jìn)程（教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配等）1、復(fù)習(xí)回顧高中階段用消元法解線性方程組所用到的幾種運(yùn)算。2、導(dǎo)入課題矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算， 它在解線性方程組， 求逆矩陣及矩陣 理論的探討中都可起到重要的作用。為引進(jìn)矩陣的初等變換，先來回憶一下以前所接觸 的用消元法解線性方程組。在用消元法解線性方程組的時(shí)候，用到三種變換，即：交換方程的次序；以不等于零 的數(shù)乘某個(gè)方程；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍。由于這三種變換都是可逆的，所以 變換前后的方程組是同解的。在上述變換過程中， 實(shí)際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并

3、沒有參與運(yùn) 算。因此把線性方程組的系數(shù)和常數(shù)放在一個(gè)數(shù)表里，構(gòu)成方程組的增廣矩陣，即 B A, b ，那么上述對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換。把方程組的 上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換。3 、教學(xué)內(nèi)容定義 1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對調(diào)兩行（對調(diào) i, j 兩行，記作 ri rj ）（2）以數(shù) k 0乘某一行中的所有元素（第 i 行乘 k ，記作 ri k ）（3）把某一行中所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去（第j行的倍加到第i行 上，記作 ri krj ）把定義中的行換成列， 即得矩陣初等列變換的定義。 初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初

4、 等變換。顯然，三種初等變換都是可逆的，而且其逆變換是同一類型的初等變換。如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A和B是等價(jià)的，記作A: B矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：（ 1）反身性A: A；（2）對稱性 若A: B,則B : A ；（3）傳遞性 若A: B,B: C,則A: C。定義：矩陣A稱為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零 元，也就是非零行的第一個(gè)非零元。行階梯形矩陣B稱為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為 1，且這些非零元所在的列的其他元素都為 0。對行最簡形

5、矩陣再進(jìn)行初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)型ErOmn0例 1 ：設(shè) A32102 ,把（代E）化成行最簡形021100解：（A,E）302010230001302010302010:021100:02110009402300194630018912100634:020846:010423001946001946上式最后一個(gè)矩陣即為矩陣(A,E)的行最簡形。矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運(yùn)算， 它有著廣泛的應(yīng)用。 下面我們進(jìn)一步介 紹一些有關(guān)知識。定義 2 由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣。1. 對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列把單

6、位矩陣中第 i,j 兩行（列）對調(diào)，得初等矩陣1O10L11E(i,j)MOM11L01O1用m階初等矩陣Em（i，j）左乘矩陣A （aij）mn,得a11a12La1nMMMa j1aj2La jnEm(i, j)AMMMai1ai2LainMMMam1am2Lamn其結(jié)果相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等行變換：把 A的第i行與第j行對調(diào)。類似的, 以n階初等矩陣En（i, j）右乘矩陣A，其結(jié)果相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等列變換。2. 以數(shù) k 0乘某行或某列以數(shù)k 0乘單位陣的第i行(或第列)1O1E(i(k)k第 i 行1O1可以驗(yàn)知：以Em(i(k)左乘矩陣A，其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第

7、i行；以En(i(k)右乘矩 陣A，其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第j列。3. 以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上，得初等矩陣1O1 LkE(ij(k)OM1O1可以驗(yàn)知：以Em(ij(k)左乘矩陣A，其結(jié)果相當(dāng)于把 A的第j行乘k加到第i行上，以 En(ij(k)右乘矩陣A，其結(jié)果相當(dāng)于把A的第i列乘加到第j列上。綜上所述，可得下述定理。定理1 設(shè)A是一個(gè)m n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A的左邊乘以 相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A的右邊乘以相應(yīng)的n階初 等矩陣。因?yàn)槌醯茸儞Q是可逆的，所以其對應(yīng)的初

8、等矩陣也是可逆的，并且E(i,j) 1E(i,j),E(i(k) 1 E(i(p),E(ij(k) 1 E(ij( k)定理2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣R,F2丄，R，使A PP2L R.(證明略)推論1 方陣A可逆的充要條件是A: E。推論2 m n矩陣A與B等價(jià)的充要條件是存在 m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣 Q，使 PAQ B .設(shè)有n階矩陣A及n s矩陣B，求矩陣X使AX B。如果A可逆，貝U X A 1B。而 當(dāng)A可逆時(shí)，根據(jù)定理2,有初等矩陣P1,R2丄，R，使A PR2L Pi，從而A 1 R t R 1。 于是F| 1L1A E,P 1lL1B A1B上式表明A經(jīng)一系列初等行變換化為E，B經(jīng)同一系列初等行變換化成 A1B，即1 1 1P L P (代B) (E,A B)220 例 2：求解矩陣方程 AX A X, 其中 A 2 1 3 010 解：把所給方程變形為 (A E)X A12022012022001101 0 :011 0 10120220:043233001 2 13(A E,A