線性代數(shù)復(fù)習(xí)

1、第一章行列式內(nèi)容：1全排列的逆序數(shù)；(練習(xí) 2(3,6)2 行列式的計算：(1) 二、三階行列式(對角線法則，練習(xí)1(1);(2) 四階或者以上(化三角行列式，練習(xí)4(1,2)(3) 行列式的代數(shù)式(行列式的性質(zhì)，練習(xí)6(2,3)(4) Dn形式(行列式性質(zhì)，Dn的遞歸式和歸納法，練習(xí) 6(5),練 習(xí) 8(1,2,6)；(5) 特殊行列式(范德蒙德行列式)3. 行列式按行(列)展開(例13、練習(xí)9);4 克拉默法則及齊次線性方程組(練習(xí)11、12)第二章矩陣及其運算內(nèi)容：1.矩陣的運算：線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及方陣行列式(練習(xí)1(4)，練習(xí)2) 1 *2 .逆矩陣：(1)方陣A可逆充分必要條件

2、是|A| = 0，且A = A/|A|; (2)二階、三 階方陣的逆矩陣求法 (伴隨矩陣法，練習(xí)10(1,3); (3)簡單的矩陣方程(11(1,3) o (4)稍顯復(fù)雜的矩陣方程(練習(xí)15、練習(xí)16)3. 矩陣多項式(矩陣的對角化，練習(xí)19、練習(xí)20)4. 分塊矩陣及其計算(練習(xí)25,練習(xí)27和練習(xí)28)第三章矩陣的初等變換與線性方程組內(nèi)容：1.矩陣的初等變換，行階梯形矩陣，行最簡形矩陣(練習(xí)1(1,3);2. 初等變換法求逆矩陣，解矩陣方程AX = B (練習(xí)2、4、5(1)和6);3. 矩陣的秩及最大的r階子式的求法(練習(xí)10(1,2);4. 解線性方程組初等變換法(練習(xí)14(1,4)(

3、1) 非齊次線性方程組判別定理：無解( R(A) < R(A);有唯一解(R(A) = R(A)=n);無窮多解(R(A) = R(A) = r = n)(2) 求解的一般方法：(i) 將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，若R(A) < R(A)無解，停止，反之(ii) 進一步化成行最簡形矩陣；(iii )將未知數(shù)分為兩類：非零行首元所在列對應(yīng)的作為非自由未知數(shù)，其他的作為自由的，用自由未知數(shù)的表示非自由的；(iv)令自由未知數(shù)為任意常數(shù)，代入到表示非自由未知數(shù)的方程中，最后 得到通解。(3) 齊次方程組是否有非零解得判別定理(只有零解 R(A) = n；有非零解R(A) < n)及

4、其求解(練習(xí)13(1,2)(4) 含參數(shù)的線性方程組(練習(xí) 16、17和18)第四章向量組的線性相關(guān)性內(nèi)容：1.向量b或向量組B被向量組A線性表示的判別法:能線性表示R(A) = R(A, b)或R(A)=R(A, B),不能線性表示 R(A) < R(A, b)或R(A) < R(A, B);(練習(xí) 1、2)2. 向量組A的線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定法：線性相關(guān)R(A) < n,無關(guān)R(A) = n。(練 習(xí) 4、5);3. 向量組的秩及最大無關(guān)組的求法( 練習(xí)11、12 (2);4 線性方程組的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，非齊次線性方程組的通解（練 習(xí) 20（i）和 2

5、6（2）;第五章相似矩陣及二次型內(nèi)容：i 向量的長度（范數(shù)）、兩個向量的內(nèi)積和夾角的計算公式（練習(xí)i）2. 施密特正交化（練習(xí) 2）;3. 正交矩陣（練習(xí)3、4、5）4. 特征值和特征向量（練習(xí) 6）:（1）寫成特征方程A-入E|；（2） 解特征方程|A-入引=0，求出所有的特征值 入，拒，；（3） 對每個特征值 入，解齊次線性方程組（A-入E）x = 0,求出其對應(yīng)的特征向量的基 礎(chǔ)解系典型例題例1計算n階行列式bnNaobian 2（未標(biāo)明的元素為0）-1a +iaDn =ia斗1i例2計算n階行列式Dn =練習(xí)1計算n階行列式IH a一1（未標(biāo)明的元素為0）Ia十1ai +1a?Illa

6、naia2 +2 HI an4Fqaia? 川 a. + n分析：這是比較典型的行列式，技巧是拆（行列式性質(zhì)5），由于除對角線上的元素外，每bn丄an分析：這是典型的計算Dn的例題，由于第一行或最后一行只有兩個元素非0,因此通過按-行（經(jīng)觀察，最后一行展開比第一行更容易處理）展開，建立Dn與 Dn-i的遞歸關(guān)系。解 Dn關(guān)于最后一行展開得Aa0 _iDn =（"“十厲丄ai工-i+ an J_bja 一i卜FT卜 1 an Nbn_2an_2bn J an dDn 1 二 bn'an J_bn _2andan_2Dn_2 二nan_2 .a2aiao二 bn an 二bn_2

7、"anan_2bn 彳"anan_2比0 aDn =a1 +1 a1Ra2川比+2川11an an卜卜+a1 +1aqqa2a+2ii-IHIH00卜卜=an1 0qq021)11川0 0a1a2川anaa2IHn00IH 1=(n -1)!an nDnj一列元素相同，因此按列拆是合理的。 解nDn 1n!an 1 ： ：；1 a1 n!_ 1用歸納法可證明Dn =an n!n練習(xí)2計算n階行列式n -1x1 3Dn 二X2X23XnXnX2Xn +3說明：第一章例13和例16是第一章的典型例題，練習(xí)中也有相關(guān)的習(xí)題，要求理解并掌握。0'0，則(A*)<33分

8、析：伴隨矩陣和逆矩陣之間的關(guān)系是AA=IAI E 二，貝U A-A A* 二 E，即IAI IAI'(A)練習(xí)3，其中A，B為方陣，則C的伴隨矩陣(A)|A|AOoIB IB*(B)|B|AOoI A|B*(C)IAIB*OOIB I A*(D)|B|BoO|A|C*01-130 , AB=A+2B，求 B。3丿分析：這是典型的矩陣方程，現(xiàn)作簡單的代數(shù)變換AB=A 2BAB-2B=A（A-2E）B=A（這化為典型矩陣方程：AX =B，即X二A七。如果A，容易求，則直接用 A左乘B，得X,否則用初等變換法）<-233033、r1 -p11-10110；2E,A)=1-1011001

9、325332-121-123<011033n-10110 '00033、r3 -2丄013253010韻23r1七e01110丿1°0111°(A-=E,(A 2E)A所以 B=(A2E)A =0-11練習(xí)4設(shè)<4200200000-75003-1，且 BA = A B，求 B。廣1練習(xí)5設(shè)3階矩陣A, B滿足A*BA=2BA8E，且A=0<000 I-20，求 B。0例5問入取何值時，線性方程組農(nóng)2 X3 =入咫3 _X4 =入唯一解、無解或有無窮多解？并在無窮多-X1 ?0<2 入解時求其通解。解對增廣矩陣實施初等行變換:x00T-10-

10、1r40-1入0-1100入-冬-100X-x 14 X100X-X010-XX X010-XX X001_X_X -X -x001-X3_ X _ x2 - x衛(wèi)0X-1X10002(X1)(X +1)( X +1)2X x+1)(X +1)一_兀2觀察增廣矩陣的行階梯形矩陣有：(1)、當(dāng)X-1時，Rank(A) =3 ： Rank(B) =4 ,方程組無解;(2) 、當(dāng)入=-1時，Rank(A)=Rank(B) =3 v4，方程組有無窮多個解；(3) 、當(dāng)入式出時，Rank(A)=Rank(B) =4，方程組有唯一解。_10 0-11_0 10-10當(dāng)入=1時，增廣矩陣B的行最簡型矩陣為0

11、0111，對應(yīng)的方程為00000X1 =X41X1 =X4于是有X2 =X4，對應(yīng)齊次線性方程組為X2 =X4X3 = %1X3 二-X4令X4 =0，得方程組的一個特解(1,0,1,0)T，令X4 =1，得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為(1,1,-1,1)T，因此原方程的通解為(1,0,1,0)T k(1,1,-1,1)T .練習(xí)6 已知線性方程組(1»(1 - )X2(12 )X1( )X2X3 =1X3 二 1X1X2(1 - )X3 = 1問入取何值時，線性方程組唯一解、無解或有無窮多解？并在無窮多解時求其通解。(提示:這種3x3的系數(shù)矩陣A,用克拉默法則更合理 )例6設(shè)已知向量

12、組A：冷B :杠=-2,艮=-212-1 _1 I-31-1 I證明B能被A線性表示，并求線性表示矩陣。1/ 5，則由B = AK，即K-3/5解 對(A, B)實施初等變換，化為行最簡形矩陣-102/5r011/5(A, B) 000-0001/53/5002/5 因為R(A) = R(A, B) = 2，所以B能由A線性表示，令K =卜1/ 5即為所求的線性表示矩陣。例7求下列向量組的一個最大無關(guān)組，并把其余向量用此最大無關(guān)組表示和解線性方程組的方法基本相分析：線性相關(guān)、線性無關(guān)、向量組的秩和最大無關(guān)組等等,同，作初等變換，將矩陣化為行最簡形矩陣。解對矩陣實施初等行變換-122531100

13、5-H23-526-4r 01021A =(0(1,02,03,0(4,05)=33-48_91001-211-122_衛(wèi)0000一則 01,02,0(3 為最大無關(guān)組，o(4 =5o(i +2(/2 20(3 , 0(5 = Y(1 +o(2 +o(3例8 設(shè)向量組A ：宀，：2'£3，及向量組B ： r =3宀亠:込亠:讓，2 = r 2、£2,F：3 =2用1亠:£3，證明向量組B線性無關(guān)的充分必要條件為 A線性無關(guān)。解只需證明A和B的秩相同，因為12暑B =(B, IV 3)=(8,(X2,03)120=AK701丿2而 |K|=121 00 =1式0，即K可逆，即有 A=BK，所以R(A) = R(B),證畢。1Tips：當(dāng)涉及到線性無關(guān)(齊次方程