兩個(gè)重要極限（課堂PPT）

1、.1.2xxxsinlim0極限xxx)11 (lim極限1-4.3v預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)00 sin sintancosxxx 2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)lnlogexx 以以e為底的指數(shù)函數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù)的反函數(shù) y = logex，叫做自然對(duì)數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡(jiǎn)叫做自然對(duì)數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡(jiǎn)記為記為 y = ln x. 數(shù)數(shù) e 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的前八位數(shù)是：是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的前八位數(shù)是： e = 2.718 281 8 cos0=1 |sin| 1 x |cos| 1 x .43.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知

2、識(shí)有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí)()nnnaba b n mnmaa a mnmnaa .54.極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 limlimlim(1)( ()( )()( )fxg xfxg x 2) lim ( )( )lim ( ) lim ( )(f xg xf xg x ( )lim ( )lim( )lim ( ).f xf xg xg x lim ( )(3)0g x 若若， (4) lim( )lim( )cf xcf x (5) lim ( )lim( )kkf xf x .61. 1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則滿(mǎn)足下列條件滿(mǎn)足下列條件: :nnnyxznnn00(1)(N,),lim)2

3、(aynn ,limaznn nx.limaxnn 如果數(shù)列如果數(shù)列那么數(shù)列那么數(shù)列的極限存在的極限存在,且且,nnnzyx及及.7x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.99999981sinlim0 xxxxxsin0sinlim?xxxx 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998xxsinv第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限.8OxBACD0sinlim1.xxx證明證證 sintanxxx即sin (sin0),xx 各式同除以

4、因?yàn)榈?cos1sin1xxx . 1sincos xxx即即0sinlim1.xxx.900tansin1limlim()cosxxxxxxx00sin1limlimcosxxxxx解解1 11 0sin1lim()cosxxxx這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用1tanlim0 xxx0tanlimxxx例例 1求求.10例例 2 5, 0 , 0 xtxt令當(dāng)時(shí) 有0sin,5limttt所以 原式注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：0sin5 limxxx求0sin5 limxxx解：05sin5lim5xxx0sin55lim5x

5、xx0sin55lim5 155xxx 0sin5limxxx5 15 .11 練習(xí)練習(xí)1. 求下列極限求下列極限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxxxx（）（ ）00sin33sin3 limlim3xxxxxx解：0sin33lim3xxx3 13 00sin5sin55 limlim()( )353xxxxxx解：55133 .120sin lim1 :xxx使用時(shí)須注意(1)類(lèi)型：(2)推廣形式:sinlim1某過(guò)程 lim0 某過(guò)程（）0 lim1si(3) nxxx等價(jià)形式：00型.1321sin(1) lim1xxx求211sin(1)sin(1)limlim1

6、(1)(1)xxxxxxx11lim1) 1sin(lim11xxxxx211111 例例 3解解1 lim sinxxx求例例 41lim sinxxxxxx11sinlim1解解1sin(1)1lim11xxxx.14xxxsinlim1sinlim0 xxx1limsinxxx10 |sin| 1 xxx 當(dāng) 時(shí)且sin lim0 xxx故.15練習(xí)練習(xí)3 3：下列等式正確的是（：下列等式正確的是（ ） sin. lim1;xxAx1. lim sin1;xBxx 01. lim sin1;xCxx1sin. lim1xxDx B練習(xí)練習(xí)4 4：下列等式：下列等式不不正確的是正確的是（

7、） A; 1sinlim0 xxx B; 1sinlim0 xxx C; 11sinlimxxx D11sinlim0 xxxD.160. lim1xxAx0. lim1xxBx01. lim sin1xCxxsin. lim1xxDx練習(xí)練習(xí)5. 下列極限計(jì)算正確的是（下列極限計(jì)算正確的是（ ）B練習(xí)練習(xí)6. 已知已知1tan)(xxxf當(dāng)（當(dāng)（ ）時(shí)，）時(shí)，)(xf為無(wú)窮小量為無(wú)窮小量. 0Ax . 1Bx . Cx . Dx A.17xxxfsin1)()(xf，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，為無(wú)窮小量為無(wú)窮小量 sinlim_xxxx0sinlim_xxxx練習(xí)練習(xí)7. 已知已知練習(xí)練習(xí)8.練習(xí)練習(xí)

8、9.0 x 10.18x1x2x3x1 nxnx 2. 2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 幾何解釋幾何解釋: :AM單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列數(shù)列必有極限必有極限. .:nx對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)列列單調(diào)有界單調(diào)有界有極限有極限有界有界.19 x -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828)11 (xx x 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827)11 (xxexxx )11(lim?)11 (limxxxv第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限.20exxx )

9、11(lim,1xt 令令1lim(1)xxx 10lim(1)ttte )1 ()1 (10lim (1)ttte , 為某過(guò)程推中的無(wú)窮小量廣1lim (1)e某過(guò)程.211 lim(1) :xxex使用須注意1型(2)推廣形式:1lim(1)e 某某過(guò)過(guò)程程10 lim(3)(1) ttte等價(jià)形式：(1)類(lèi)型: lim0 某某過(guò)過(guò)程程（）.22.11lim2xxx 計(jì)計(jì)算算解解因?yàn)橐驗(yàn)椋?1111212 xxxx，且e11limxxx所以，有所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121 xxx例例 1.23 .1lim20 xxx 計(jì)計(jì)算算例例 2 解解方法一方

10、法一令令 u = - -x， 因?yàn)橐驗(yàn)?x 0 時(shí)時(shí) u 0， uuxxux2020)1(lim1lim 120lim(1) uuu 2e 所以所以120lim(1) uuu .24方法二方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量掌握熟練后可不設(shè)新變量 12200lim 1lim(1)xxxxxx 120lim(1)xxx 2e .253311lim()lim(1)xxxxxxx 31lim()xxxx 例例331lim1)xxx（3e解解.26.)21(lim10 xxx 計(jì)計(jì)算算練習(xí)練習(xí)1.1.解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.e2 .27.)1(limxxxx求.e1)11

11、(lim1xxx練習(xí)練習(xí)2.xxxxxxx)11 (1lim)1(lim解解.28兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限:; 1sinlim10 某某過(guò)過(guò)程程.)1(lim210e 某過(guò)程某過(guò)程,設(shè)為某過(guò)程中的無(wú)窮小量v小結(jié)小結(jié).29xxx3cotlim30、xxxsinlim10、xxx3sin2sinlim20、練練 習(xí)習(xí) 題題xxxsinlim0323sin322sinlim3sin2sinlim00 xxxxxxxx31313cos3sin3lim0 xxxx.30_)1(lim62xxxx、._)11 (lim7xxx、2211limexxxe1._2sinlim4xxx、._)1 (lim510

12、 xxx、0e.3122lim3xxxx 計(jì)計(jì) 算算思考題思考題解解因?yàn)橐驗(yàn)?3113)1(332 xxxxx所以令所以令 u = x - - 3 ，當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí) u ，511lim32lim uuxxuxx. e1e1111lim5 uuuu因此因此.32第一章第一章 作業(yè)作業(yè)2.33兩個(gè)重要極限的證明兩個(gè)重要極限的證明.34OxRABC.1sinlim0 xxx證證明明證證 AOB 面積面積 扇形扇形AOB 面積面積 AOC 面積面積, 即即,tan22sin2222xRxRxR 得得各各式式同同除除以以正正值值,sin22xR,cos1sin1xxx . 1sincos xxx即即例例

13、兩個(gè)重要極限的證明.35. 1coslim0 xx下下面面我我們們來(lái)來(lái)證證明明因?yàn)橐驗(yàn)? 11lim, 1coslim0)cos1(lim 000 xxxxx又又因因?yàn)闉榭煽芍?，推推得得所所以以由由定定理理且?, 0lim0 xx 所以再次所以再次運(yùn)用定理運(yùn)用定理 6 即可得即可得.1sinlim0 xxx,2122sin2sin2xxxx 2sin2cos102xx .36重要極限1 . 1sinlim 0 xxx其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.(7) |,tan|sin| ,2|:xxxx時(shí)當(dāng)先證不等式證設(shè)圓心角 過(guò)點(diǎn)A作圓的切線(xiàn)與OB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C，又作,OABD , xAOB 則

14、sin x =BD，tan x=AC，.37,OACOABOABSSS扇形.tansin xxx即從而有有時(shí)而當(dāng),20 ,02xx),tan()sin(xxx.tansin xxx即. |tan|sin| 2|0 xxxx時(shí)，有即當(dāng),tan2121sin21 20 xxxx時(shí)，當(dāng).38. |tan|sin| ,0 xxxx有時(shí)當(dāng)這就證明了不等式(7).的各端，得除不等式時(shí)，用當(dāng)|tan|sin|sin|2|0 xxxxx|,sintan|sin|1 xxxx,cos1sin1 xxx即(8) . 1sincosxxx從而有.39, 11lim , 1)21 (lim 020 xxx因?yàn)? 1s

15、in21 )8(2xxx式得由上式與,21)2(21sin21cos 222xxxx注意. 1sinlim 0 xxx由夾逼準(zhǔn)則，可得.40. e)11 (limxxx重要極限2從而都以整數(shù)變量趨于和時(shí)，當(dāng),1xxx1)11 ()11 ()111 (xxxxxx. e1e )111 ()111 (lim)111 (lim11xxxxxxx，所以，都有因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)11xxxx證. e1e )11 ()11 (lim)11 (lim 1xxxxxxx又.41. e)11 (lim xxx由夾逼準(zhǔn)則知，于是時(shí)，則當(dāng)設(shè)下面證txxtxxx. e)11 (limttxxtx)11 (lim)11 (l

16、imtttt)1(lime,1e)111 ()111 (lim1tttt.42. e)11 (lim e)11 (lime)11 (limxxxxxxxxx，得及由. e)1 (lim 0110zzzzxxz，從而有時(shí)，則當(dāng)在上式中，令這是重要極限2常用的另一種形式.4357) 1(lim1233xxxx求極限例分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運(yùn)算法則求解。直接利用極限的運(yùn)算法則求解。624

17、85373) 13(57lim) 1(lim57) 1(lim232333233解：xxxxxxxxx極限綜合練習(xí)題極限綜合練習(xí)題(一一).44. 01coslim1cos1cos1|1cos|00lim00 xxxxxxxxxxx是無(wú)窮小量，于是有知，是有界變量，由性質(zhì)可，即又時(shí)的無(wú)窮小量。是，即解：因?yàn)?1 lim cosxxx例2.45例例3 求下列極限：求下列極限：52312lim)2(3213lim) 1 (22232xxxxxxxxx32523112lim52312lim)2(01032113lim3213lim) 1 (222233232xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：

18、.46)(lim0011)(40 xfxxxxfx，求設(shè)例解：解： 當(dāng)當(dāng)x從從0的左側(cè)趨于的左側(cè)趨于0時(shí)，時(shí)， 1) 1(lim)(lim00 xxfxx 當(dāng)當(dāng)x從從0的右側(cè)趨于的右側(cè)趨于0時(shí)時(shí),11lim)(lim00 xxxf不存在。，所以因?yàn)?(0lim)(0lim)(0limxfxxfxxfx.47例例5 求下列極限求下列極限11lim)2(965lim) 1 (220223xxxxxxx分析分析：本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的極限過(guò)程中，本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的極限過(guò)程中，分子、分母的分子、分母的 極限均為零，不能直接用極限商的運(yùn)算法則。求極限均為零，不能直接用

19、極限商的運(yùn)算法則。求解此類(lèi)極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它解此類(lèi)極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：尋找致零因式常用的方法為： 若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：（一般采用：“十字相乘法十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；、公式法、或提取公因式法）； 若是無(wú)理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。若是無(wú)理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。.48解：（解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。）把分子分母分解因式，消去

20、致零因式，再求極限。61332332lim)3)(3()3)(2(lim965lim33223xxxxxxxxxxxx再求極限。去致零因式，把分母有理化后，消分子、分母同乘以) 112()2(x2) 11(lim11) 11(lim11lim202220220 xxxxxxxxx.49)(sinsinlim60均為常數(shù)，求極限例babxaxx兩個(gè)函數(shù)乘積的極限，于是可把上極限化為解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又當(dāng)x0時(shí)，ax0，bx0，于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsi

21、nlim00000txttsinlim7求極限例xxxtxtxtxttttxtxtt1)sin(limsinlim0是無(wú)窮小量，于是有，即時(shí)，是變量，當(dāng)解：在極限過(guò)程中，.50220sin11lim8xxx求極限例分析：分析：當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，分子，分母的極限均為時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無(wú)理函，且分子是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以以 ，然后看是否可利用第，然后看是否可利用第1個(gè)重要極限。個(gè)重要極限。 ) 11(2 x21211111limsinlim) 11(sin11limsin11li

22、m202202220220解：xxxxxxxxxxxx)()1 (lim9為常數(shù)求極限例knknn個(gè)重要極限求解。，即可利用第量配成互為倒數(shù)的形式再把無(wú)窮小量與無(wú)窮大型，無(wú)窮小是無(wú)窮小量，符合“，即時(shí)，分析：當(dāng)”）無(wú)窮大21 (0nknknkkknnnnenknk)1(lim)1 (lim解：.51)()1 (lim1010為常數(shù)求極限例kkxxx極限求解。個(gè)重要”，即可利用第”的倒數(shù)“配成“”型，再把無(wú)窮?。坝谑菬o(wú)窮大量，即極限屬是無(wú)窮小量，時(shí)，分析：當(dāng)無(wú)窮大2111 (10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1 (lim1010解：3)5(lim11xxxx求極限例5

23、355331)51(lim)51 (lim)51 (lim)5(limexxxxxxxxxxxx解：.52nnnn)13(lim12求極限例444141)11 (lim)11(lim)11 (lim)13(lim14114141141131eetttnntttttnntntntnnnnnn，于是有：時(shí)，且當(dāng)，即故令因?yàn)椋航夥ń夥?：413133)11(lim)31(lim)11 (lim)31 (lim)1131(lim)13(limeeennnnnnnnnnnnnnnnnnnn.53xxxx31) 3(1lim130求極限例形后再求極限。式，一般采用先通分變”型未定屬“均趨于無(wú)窮大，此極限與

24、時(shí)，分析：當(dāng)xxxx3131091)3(31lim)3(3)3(3lim31)3(1lim000 xxxxxxxxxx解：xxxxtancos1lim140求極限例分析分析：當(dāng)當(dāng) x0時(shí)，分式中分子分母的極限均為時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極，不能直接使用極限的運(yùn)算法則，但前面所介紹限的運(yùn)算法則，但前面所介紹“分解因式分解因式”、“有理化有理化”的方法在的方法在此又不適用。能否利用第此又不適用。能否利用第1個(gè)重要極限呢？這就需要首先利用三角個(gè)重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?。恒等式?duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍?54xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc

25、os1cossin)cos1 (cossinsin)cos1 (tancos1)cos1 (tan)cos1)(cos1 (tancos122解：21211cos1coslimsinlimtancos1lim000 xxxxxxxxxx所以，1sinlim152xxxx求極限例解：因當(dāng)解：因當(dāng)x時(shí)，時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法則的極限不存在，故不能用極限的運(yùn)算法則求解，考慮到求解，考慮到 .55是無(wú)窮小量，即的性質(zhì)，是有界變量，由無(wú)窮小，即是無(wú)窮小量，而時(shí)，即xxxxxxxxsin12sin1sin1201sinlim2xxxx0111lim1lim22xxxxxx.56)4

26、421(lim22xxx2224lim()(2)(2)4xxxxx22lim(2)(2)xxxx211lim(2)4xx解1. 求極限求極限:)4421(lim22xxx極限綜合練習(xí)題極限綜合練習(xí)題(二二).571) 1sin(lim21xxx 解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即 ) 1)(1() 1sin(lim1) 1sin(lim121xxxxxxx11lim1) 1sin(lim11xxxxx2111112.求下列極限：求下列極限：.58解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即xxx33sin9lim0 xxx33sin9lim0)33si

27、n9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx003sin31limlim39sin33xxxxx216133. 求下列極限：求下列極限：.5915510) 13()23() 12(lim4xxxx求極限例分析分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且m=n，可直接利用，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來(lái)計(jì)算。來(lái)計(jì)算。解：分子分母同除以解：分子分母同除以x15，有，有 101551015510151555101015510)32(332)13()23()12(lim)13()23()12(lim)13()23()12(limxxxxxxxxxxxxxxx.60)cos112sin(lim0 xxxx0(1 1)sin2limcos0(1 1)(1 1)xxxxx 002sin2lim(1 1)lim12xxxxx =2 2 + 1 = 5 解)cos112sin(lim0