拋物線經(jīng)典性質(zhì)的總結(jié)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案拋物線拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。=點(diǎn)M到直線的距離范圍對(duì)稱性關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦半徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)oxFy焦點(diǎn)弦的幾條性質(zhì)以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切若的傾斜角為，則若的傾斜角為，則 切線方程1. 直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，消y得：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k0時(shí)， 0，直線

2、與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)； =0， 直線與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)； 0，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。（3） 若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）（4）2. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法直線： 拋物線，1 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,，則有,以及，還可進(jìn)一步求出， 在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問(wèn)題時(shí)，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦長(zhǎng) 或 b. 中點(diǎn), ， 2 點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得 將兩式相減，可得a. 在涉及斜率問(wèn)題時(shí)，b. 在涉及中點(diǎn)軌跡問(wèn)題時(shí)，設(shè)線段的中點(diǎn)為， 即，同理，對(duì)于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則

3、有（注意能用這個(gè)公式的條件：1）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2）直線的斜率存在，且不等于零）一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、設(shè)P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例2、(2011·山東高考)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一 點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是() A(0,2)B0,2 C(2，) D2，)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F的直線與

4、拋物線交于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，AKl，垂足為K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，則AKF的面積是 ()A4 B3 C4 D8例4、過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3則此拋物線的方程為 ( ) Ay2xBy29x Cy2x Dy23x三、拋物線的綜合問(wèn)題例5、(2011·江西高考)已知過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線

5、上一點(diǎn)，若 ，求的值例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求· 的最小值例7、已知點(diǎn)M(1，y)在拋物線C：y22px(p>0)上，M點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，直線l：yxb與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程練習(xí)題1已知拋物線x2ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2x22的上焦點(diǎn)，則a等于 ()A1B4

6、 C8 D162拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 ()A B C. D.3(2011·遼寧高考)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 () A. B1 C. D.4已知拋物線y22px，以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是 ()A相離 B相交 C相切 D不確定5(2012·宜賓檢測(cè))已知F為拋物線y28x的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則|FA|FB|的值等于 () A4 B8 C8 D166在y2x2上有一點(diǎn)P，它到A(1,3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和

7、最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ()A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 7(2011·陜西高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x2，則拋物線的方程是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x8(2012·永州模擬)以拋物線x216y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為_(kāi)9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，拋物線上一點(diǎn)Q(3，m)到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為_(kāi)10已知拋物線y24x與直線2xy40相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，那么| | | | _.11過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2， y2

8、)兩點(diǎn)，若x1x26，那么 |AB|等于_12根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 16x29y2144的左頂點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)P(2，4)13已知點(diǎn)A(1,0)，B(1，1)，拋物線C：y24x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M，P兩點(diǎn)，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q.若向量與的夾角為，求POM的面積參考答案：一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1.由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連結(jié)AF

9、交曲線于P點(diǎn)，則所求的最小值為|AF|，即為.(2)如圖，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值為4.例2、解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即p4，根據(jù)已 知只要|FM|>4即可根據(jù)拋物線定|FM|y02由y02>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，其中y1>0.由點(diǎn)B作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B1.則有 |BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1，CBB1.即直線A

10、B與x軸的夾角為.又|AF|AK|x14，因此y14sin2，因此AKF的面積等于|AK|·y1×4×24.例4分別過(guò)點(diǎn)A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分別為A1、B1，由已知條件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130°，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn)故點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p|AA1|，故拋物線的方程為y23x.三、拋物線的綜合問(wèn)題例5、(1)直線AB的方程是y2(x)，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以：x1x2，由拋物線定義得：|AB|x1x2p9，所以p

11、4，從而拋物線方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可簡(jiǎn)化為x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)；設(shè) (x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)即(21)241.解得0，或2.例6、 (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡(jiǎn)得y22x2|x|.當(dāng)x0時(shí)，y24x；當(dāng)x<0時(shí)，y0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x(x0)和y0(x<0) (2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為yk(x1)由，得k2x2(2k24)xk20. (7分)設(shè)A(x

12、1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x22，x1x21. (8分)因?yàn)閘1l2，所以l2的斜率為. 設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3x424k2，x3x41. (x11)(x21)(x31)·(x41) x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1 (11分)1(2)11(24k2)184(k2)84×216. 當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)， ·取最小值16. 例7 、(1)拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，由拋物線定義和已知條件可知|MF|1()12，解得p2, 故所求拋物線C的方程為y24

13、x.(2)聯(lián)立消去x并化簡(jiǎn)整理得y28y8b0.依題意應(yīng)有6432b>0，解得b>2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b，設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)用x0，y04.因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r|y0|4.又|AB|所以|AB|2r8，解得b.所以x1x22b2y12b2y24b16，則圓心Q的坐標(biāo)為(，4)故所求圓的方程為(x)2(y4)216.練習(xí)題：1C解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2)，依題意則有2解得a8.2B解析：拋物線方程可化為x2，其準(zhǔn)線方程為y.設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的

14、定義，可知y01y0.3C解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|BF|).4C解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB，中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距離d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半徑，故相切5C解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為yx2由，消去y得x212x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.6B解析：如圖所示，直線l為拋物線y2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PNl，AN1l，由拋物線的定義知，|PF|PN|

15、，|AP|PF|AP|PN|AN1|，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同即為1，則可排除A、C、D.答案：B7B解析：由準(zhǔn)線方程x2，可知拋物線為焦點(diǎn)在x軸正 ，半軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)得p4，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22px8x8解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(0,4)，準(zhǔn)線為y4，則圓心為(0,4)，半徑r8. 所以，圓的方程為x2(y4)264.9解析：設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)，則準(zhǔn)線為y.Q(3，m)在拋物線上，9am.而點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，|m()|5.將m代入，得|5，解得，a±2，或a±18，所求拋物線的方程為x2±2y，或x2±18y.10解析：由，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故x1x25，因?yàn)閽佄锞€y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以| | | | (x11)(x21)711解析：因線段AB過(guò)焦點(diǎn)F，則|AB|AF|BF|.又由拋物線的定義知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.12解析：雙曲線方程化為1，左頂點(diǎn)為(3,0)，由題意設(shè)