拉普拉斯方程在簡單靜電場問題中的應(yīng)用 - 中山大學(xué)精品課程

1、拉普拉斯方程在簡單靜電場問題中的應(yīng)用張斯特物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院光信息專業(yè) 指導(dǎo)教師: 方奕忠摘要：Laplace方程在簡單靜電場問題中的應(yīng)用一文主要闡述了Laplace方程這一經(jīng)典方程在求解經(jīng)電場問題中的使用方法。首先簡單介紹了Laplace使用方程的原理和適用的范疇，接下來給出較為常用的坐標(biāo)系內(nèi)Laplace方程的解的形式，最后介紹典型的應(yīng)用舉例，這也是本文較為重點的部分，分別從幾個例子中由簡單到復(fù)雜的介紹了Laplace方程在求解過程中的使用方法、邊值關(guān)系的確定以及求得解所反映的部分物理意義。關(guān)鍵詞：Laplace方程 球?qū)ΨQ解 軸對稱解 邊值關(guān)系 物理意義一、Laplace方程的使用原

2、理和適用范圍眾所周知，電磁場的一般特性都是可以由maxwell方程反映出來，如下所示：D=f×E=BtB=0×H=Jf+Dt (1)而在本文所要講述的靜電場問題之中，我們緊緊需要方程組（1）之中的前兩式即可。對于靜止的情況而言，電場和磁場無關(guān)，此時有Bt=0所以上述用來描述電場特性的方程可以寫成：D= (2)×E=0 (3)其中，（2）式中的代表的含義是空間中自由電荷的分布，為了表示方便省去了下標(biāo)。而從式（3）看來，靜電場是一個無旋場，所以其特性可以引入一個標(biāo)勢來表示，這類似于在保守力場中引入的勢函數(shù)。類似重力場中的勢能函數(shù)一樣，單獨一點上的電勢的絕對大小是沒有意

3、義的，只有兩點之間的電勢差才是有意義的。在電場中電勢差的定義方法是：把單位正電荷由一點移動到另一點電廠對其所做的功。當(dāng)電場做正功時電勢下降（具體的定義方式可以參考電動力學(xué)第二章，高等教育出版社）。進而可以得出電場和電勢之間的關(guān)系：E=- (4)這樣一來，只要知道了用來描述電場的勢函數(shù)即可通過它求解出該電場的E分布（不過反過來，當(dāng)空間電場分布E確定之后，與之對應(yīng)的勢函數(shù)卻可能不只一個；這是由于電勢鈴點選取不同造成的，這一點不同只是反映在不同的電勢1和2之間可能會相差一個常數(shù)uc，但是這并不影響它所描述的電場E的性質(zhì)）。對于均勻的各項同性介質(zhì)，D、E之間有如下關(guān)系：D=E (5)現(xiàn)在只需要結(jié)合式（

4、2）、（4）和式（5）就可以得出如下方程：2=- (6)式（6）是靜電場電勢滿足的基本微分方程，成為Poisson方程。當(dāng)給出必要的邊界條件之后，相應(yīng)的電勢即可確定，當(dāng)然可以進而得出電場E的空間分布，該靜電場的一切特性都可隨之解出。而對于更加特殊的情況，即需要求解的區(qū)域內(nèi)部沒有電荷分布，即=0的時候，Poisson方程化為更簡單的形式：2=0 (7)這就是本文主要闡述的Laplace方程的形式。這雖然是一種特殊的Poisson方程，但是可以適用的范圍還是有很多的，比如說在很多情況下，導(dǎo)體上面所代電荷只是分布在其表面，此時就可以選擇導(dǎo)體的內(nèi)部作為求解區(qū)域，這是一種完全滿足Laplace方程形式的

5、情況。處此之外，還可以對一些空間電荷分布較為簡單的情況進行求解。因為對于方程（6）而言，它的解實際上可以寫成兩部分之和，即：=s+n (8)其中，n對應(yīng)laplace方程2=0的通解；s對應(yīng)Poisson方程2=-的特解。而當(dāng)電荷分布較為簡單，比如僅是在一個介質(zhì)球的中心放置一個點電荷時，這一個特解的形式是很容易根據(jù)物理特性寫出來的。所以在一定的應(yīng)用范圍之內(nèi)Laplace方程對于求解靜電場問題還是有一定作用的。二、 Laplace方程的一般形式及其一般解如上文所述，Laplace方程的形式如式（7）所示。對于不同的坐標(biāo)系，Laplace方程的解也會有所不同，但是都可以通過分離變量的方式求出來。在

6、此直接給出Laplace方程在較為常用的球坐標(biāo)系(R，)中的通解形式（具體的求解過程可以參考）：R，=n,manmRn+bnmRn+1Pnmcoscosm +n,mcnmRn+dnmRn+1Pnmcossinm (9)上式中，anm，bnm，cnm和dnm是任意常數(shù)，將在具體問題的求解中確定。Pnmcos是締合Legendre函數(shù)。對于式（9）所示的Laplace方程一般解，如果所選問題具有軸對稱性，我們不妨選取球坐標(biāo)系的極軸為對稱軸，則此時的解應(yīng)該和方位角是無關(guān)的，解的形式得到簡化，如下所示：R，=nanRn+bnRn+1Pncos (10)其中，an，bn為任意常數(shù)，視具體問題而定。Pnc

7、os是Legendre函數(shù)。進一步考慮更為特殊的球?qū)ΨQ情況，此時Laplace方程的解將是僅僅與R有關(guān)的函數(shù)，其形式如下：R=a+bR (11)其中a和b是任意常數(shù)，視具體問題而定。 以上已經(jīng)給出了三種情況下，在球坐標(biāo)系中Laplace方程的解，接下來需要做的就是對應(yīng)實際問題找到恰當(dāng)?shù)姆匠痰慕獾男问絹順?biāo)示相應(yīng)的電勢，并利用邊界條件確定之。下面將舉例說明。三、 Laplace方程的應(yīng)用舉例本文的重點在于應(yīng)用舉例，即在于習(xí)題的解法說明。故本文中的數(shù)學(xué)過程可能并不夠嚴(yán)密，很多時候的做法可能會從實際的物理意義出發(fā)，先在此說明。先從最為簡單的情況入手，考慮如下情況：A. 均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷Qf，

8、球的電容率為，球外為真空，如何求解空間電勢分布呢？Qf首先想象一下上述問題的物理圖象，因為介質(zhì)球本身為球?qū)ΨQ空間，而置入的電荷又處于介質(zhì)球的中心，所以可以推斷全空間之內(nèi)的電勢分布也是球?qū)ΨQ的，直接選曲介質(zhì)球的球心作為坐標(biāo)空間的原點即可。電勢函數(shù)滿足Poisson方程：2=-圖1這是對于整個空間之內(nèi)而言，如果我們把整個空間劃分為球內(nèi)部和外部兩個部分呢？不妨設(shè)球外空間的電勢函數(shù)為1，球內(nèi)部分的電勢函數(shù)設(shè)為2。這樣一來，對于1而言，所對應(yīng)的區(qū)域之內(nèi)并沒有自由電荷的分布，所以1實際上是滿足Laplace方程的，即：22=0對于完全的球?qū)ΨQ情形而言，其合適的解可以寫成：2=a+bRR>R0 (A-

9、1)其中R0表示介質(zhì)球的半徑，a和b是任意常數(shù)。而對于球內(nèi)的部分，由于包含了自由電荷，所以其形式并不能化為較為簡單的Laplace方程。但是卻可以很容易的找到一個滿足式21=-的特解，這個解就是單一點電荷在其周圍激發(fā)電場的勢函數(shù)：1s=Qf4RR<R0 (A-2)而滿足它的通解就是滿足方程21=0的通解，即：1n=c+dRR<R0 (A-3)所以球內(nèi)部的電勢可以寫成如下形式：1=1s+1n=Qf4R+c+dRR<R0 (A-4)其中的c和d是任意常數(shù)，將在下面的計算中確定。首先可以從上面表示電勢的函數(shù)（A-1）和（A-4）表達式本身的含義出發(fā)。2=a+bR表示的是球外部空間的

10、電勢，現(xiàn)在考慮無窮遠的情況。一般情況下在實際問題中常常會令無窮遠處的電勢值定為零，以方便解題，按照這樣的規(guī)定即可得到：2R=a=0則式（A-1）現(xiàn)在可以表示為：2=bRR>R0 (A-5)對于1=1s+1n，它有兩部分組成。1s所表示的是置于中心的點電荷電勢，1n表示的是介質(zhì)球面上產(chǎn)生的極化電荷的電勢?，F(xiàn)在考慮球心一點的電勢。由于點電荷的存在，球心處的電勢應(yīng)為無窮大。但是對于位于介質(zhì)球上的感應(yīng)電荷在此處產(chǎn)生的電勢1n而言，必為以有限值，這要求：1nR=0=c+dR=有限值這樣便有d=0的結(jié)論，于是式（A-4）可以寫成：1=Qf4R+cR<R0 (A-6)現(xiàn)在在表示空間電勢的兩個式子

11、中僅僅包含兩個尚未確定的常數(shù)b和c。接下來利用電勢的邊值關(guān)系確定之：1R=R0=2R=R0 (A-7)-02RR=R0-1RR=R0=0 (A-8)其中式（A-8）的值為零是因為在兩種絕緣介質(zhì)的交接面上是沒有自由電荷分布的。接下來就可以把式（A-5）和（A-6）分別代入到上面的邊界條件表達式之中。可以得到：Qf4R0+c=bR00bR02=Qf4R02由以上二式聯(lián)立即可解出：b=Qf40c=-0Qf40R0再將其代回至式（A-5）和（A-6），即可得到空間內(nèi)的電勢分布：1=Qf4R+-0Qf40R0R<R0 (A-9)2=Qf40RR>R0 (A-10)既然已經(jīng)得出空間中的電勢分布

12、，電場分布則可以通過E=-來求解（對于完全的球?qū)ΨQ問題，算符的作用可以化簡為=ReR）:E1=Qf4R3RR<R0 (A-11)E2=Qf40R3RR>R0 (A-12)觀察上述的結(jié)果，可以看出當(dāng)在介質(zhì)中置入點電荷之后，介質(zhì)內(nèi)會出現(xiàn)相應(yīng)的極化電荷，但是這一部分的極化電荷僅僅會對介質(zhì)球內(nèi)部的電勢分布產(chǎn)生影響；對介質(zhì)球外的電勢以及整個空間之內(nèi)的電場分布都沒有影響。再考慮一下空間中極化電荷的分布情況：既然電場分布E現(xiàn)在已知，則可以根據(jù)在均勻線性介質(zhì)中的性質(zhì)得到如下的關(guān)系：D=E=0E+P (12)于是可以得出電場強度矢量和極化強度矢量之間的關(guān)系，即：P=-0E (13)直接把式（A-11

13、）和（A-12）所示的電場強度函數(shù)帶入到式（13）中即可得到計劃強度。在此先不必帶入，因為最終感興趣的是介質(zhì)球內(nèi)的極化電荷分布。所以由極化電荷體密度與極化強度矢量之間的關(guān)系p=-P就可以得到相應(yīng)部分的計劃電荷體密度。對于球內(nèi)部分：P1=Qf-04R3R=Qf-04R2eR (A-13)而算符在完全的球?qū)ΨQ問題當(dāng)中的作用即為：f=1R2R(R2fR)則球內(nèi)的極化電荷體密度：p=-P1=-1R2RR2Qf-04R2=0注意到，上述計算均是在0<R<R0的條件之下得出的，這意味著在球內(nèi)除去球心和球面之外的部分是沒有極化電荷分布的。如此看來極化電荷可能存在的區(qū)域是球心處以及球面上?，F(xiàn)在再次

14、利用式（13）所示的關(guān)系，在等式的兩邊同時乘，即得：P=-0E=-0D在對上式兩邊同時求散度，有：P=-0D同時利用P=-p和D=f這兩個關(guān)系，則上式可以化為：-p=-0f即：p=-1-0f (14)以上的推導(dǎo)過程并沒有用到與本題目已經(jīng)求出的結(jié)論相關(guān)的結(jié)論，即這是一個在均勻介質(zhì)中普遍存在的規(guī)律，當(dāng)然也是適用于本題目中球心這一點的。而現(xiàn)在球心處放置了單個的點電荷Qf，故在球心處應(yīng)該產(chǎn)生一個相應(yīng)的計劃點電荷，其帶電量為：Q'=-1-0Qf (A-14)再來考慮球面上的極化電荷體密度。這一點可基于絕緣介質(zhì)的電中性來考慮。由于介質(zhì)球是不帶電的，但是可以肯定的是在球心處存在極化點電荷；而且在球心

15、與球面之間又是沒有極化電荷的存在的，所以在球面上必然存在與球心極化電荷電量大小相同符號相反的計劃電荷-Q'。而且由于球?qū)ΨQ性的存在，這些極化電荷一定是均勻分布在球體表面的，所以球面上的極化電荷面密度為：p=-Q'S=1-0Qf4R02 (A-15)B. 現(xiàn)在將上述問題稍微復(fù)雜化一點，將置入介質(zhì)球中心的單個點電荷改為單個的電偶極子Pf。解決方法是類似的，首先整體考慮以下該問題的電勢分布：由于置入介質(zhì)球中心的是一個電偶極子，可以想象此時的空間電勢分布將不再具有完全的球?qū)ΨQ性。不過若此時以電偶極矩矢量的方向作為球坐標(biāo)系的極軸方向，則該問題還是具有軸對稱性的，其對稱軸就是坐標(biāo)系的極軸。

16、整個空間的電勢分布函數(shù)仍然滿足Poisson方程，因此方程的通解部分仍然可以參照式（10）得出。接下來可以模仿上面一個例子的做法，將空間區(qū)域劃分為介質(zhì)球內(nèi)部和外部兩個部分。對于球外，即R>R0的情況下，此空間中依然沒有電荷分布，因此這部分的電勢分布函數(shù)可以寫成：2=nanRn+bnRn+1PncosR>R0 (B-1)對于球內(nèi)的部分，可以將Poisson方程的解分為特解和通解兩部分的合成，方法與上例中的做法類似。不同點在于此時特解對應(yīng)的電勢分布函數(shù)應(yīng)該是有居于球心的電偶極子產(chǎn)生的，可以表示為：1s=PfR4R3 (B-2)進而球內(nèi)區(qū)域的電勢分布函數(shù)可以表示為：1=PfR4R3+nc

17、nRn+dnRn+1PncosR<R0 (B-3)再根據(jù)無窮遠處電勢為零以及極化電荷在球心處產(chǎn)生的電勢應(yīng)為有限值這兩個條件，可以得出（具體的論證過程可以參考上文）：an=0, dn=0則此后表示空間電勢分布的函數(shù)式（B-1）和（B-3）可以寫成如下形式：2=nbnRn+1PncosR>R0 (B-4)1=PfR4R3+ncnRnPncos =Pfcos4R2+ncnRnPncosR<R0 (B-5)接下來應(yīng)用電勢在R=R0處連續(xù)的特點可以得到如下的關(guān)系：2R=R0=2R=R0 即：nbnR0n+1Pncos=Pfcos4R02+ncnR0nPncos (B-6)并且應(yīng)用在介質(zhì)

18、的交界面上的另一邊值關(guān)系以及絕緣介質(zhì)表面無自由電荷的特點，可以得到：-02RR=R0-1RR=R0=0 即：-0nn+1bnR0-n+2Pncos=-Pfcos2R03+nncnR0n-1Pncos (B-7)通過式（B-7）和（B-6）的比較即可得出相應(yīng)的bn與cn的數(shù)值?，F(xiàn)在以此題為例說明比較的方法。先觀察式（B-6）本身，發(fā)現(xiàn)等式的右邊第一項包含cos，即P1cos項；式（B-7）也是如此，便可以得到n=1時的關(guān)系：b1R02-c1R0=Pf4R0220b1R03+c1=Pf2R03 (B-8)由此可以解出：b1=3Pf4+20c1=-0Pf2R03+0 (B-9)同樣的，可以通過比較得

19、出n=1時各系數(shù)的關(guān)系如下：c0=b0R0b0=0即：c0=b0=0而對于n=k(k2)的時候，亦可類似地得出ck=bk=0。至此，用以描述空間電勢分布的函數(shù)可以寫成：2=3Pfcos4+20R2 =PfR4+20R3R>R0 (B-10)1=Pfcos4R2+-0PfRcos2R03+0 =PfR4R3+-0PfR2R03+0R<R0 (B-11)既然已經(jīng)得到空間電勢分布函數(shù)，就可以通過E=-來求解空間電勢。在這個軸對稱的問題中，算符的作用可以表示為：=ReR+1Re利用以上關(guān)系即可得出空間內(nèi)的電場分布情況：E2=-3Pfcos2(+20)R3eR-3Pfsin4+20R3e (

20、B-12)E1=cos(-0)Pf2R03(+0)-Pf2R3eR-sinPf4R2+-0PfR2R03+0e (B-13)一旦知曉了空間內(nèi)的電場分布函數(shù)，其他關(guān)于該問題的性質(zhì)都將可以一一求出。如上一例中所說的計劃電荷密度等，都可以解出。C. 最后在上一例子的基礎(chǔ)上稍作變化。現(xiàn)將上例中的介質(zhì)球改為有一定厚度的導(dǎo)體球Pf殼，并且球殼帶電量為Q，其他條件不變。畫出一幅截面的示意圖，如圖2所示。圖2R1R2與上面的做法類似，一樣以Pf 的方向為極軸的方向建立球左表系，可見此問題一樣是具有軸對稱性的。設(shè)導(dǎo)體外殼之外的空間中的電勢分布為2，而導(dǎo)體內(nèi)殼以內(nèi)空間的電勢表示為1。類似的利用無窮遠處以及球心處的

21、條件可以將上述函數(shù)表示為：2=nbnRn+1PncosR>R2 (C-1) 1=PfR40R3+ncnRnPncos =Pfcos40R2+ncnRnPncosR<R1 (C-2)接下來利用在兩種介質(zhì)交界面上電勢值的連續(xù)性，同時注意到對于導(dǎo)體而言，上面每一點的電勢值都是相等的，即導(dǎo)體是等勢體。所以，導(dǎo)體球殼外表面和內(nèi)表面上的電勢也是一樣的，即可得：2R=R2=1R=R1將（C-1）和（C-2）兩個表達式代入可得：nbnR2n+1Pncos=Pfcos40R12+ncnR1nPncos (C-3)而對于另一個條件，整個導(dǎo)體球殼上帶電總量是Q，應(yīng)該如何利用？可以先初步的分析一下該問題下

22、的條件：因為球殼是導(dǎo)體，基于這個特點我們可以知道自由電荷Q一定是分布在導(dǎo)體表面，即只可能在R=R2或者R=R1兩處有自由電荷分布，而對于R1<R<R2的這一區(qū)域內(nèi)是不可能有自由電荷分布的。但是接下來如何確定自由電荷是僅僅分布在內(nèi)（外）表面還是在內(nèi)外表面上均有分布呢？i. 先從物理的角度作一下分析：如果導(dǎo)體球殼的內(nèi)表面上帶電，不妨使用高斯定理來考察空間的電場分布，對R=Rc, R1<Rc<R2這樣的一個球面，它剛好處于球殼的內(nèi)外表面之間，假設(shè)球殼的內(nèi)表面上帶電量為Qi，而球心處的電偶極子對于R=Rc球面之所包含的電荷總量是沒有貢獻的，故由高斯定律得到：EdS=Qi而導(dǎo)體之

23、內(nèi)部是沒有電場的，即在R1<R<R2之內(nèi)處處有E=0。則上面等式的左邊幾分結(jié)果必然是零，這將導(dǎo)致等式的右邊Qi=0，也就是說導(dǎo)體球殼的內(nèi)表面是不帶電的。這樣的一種推算方法計算簡單，但是需要對導(dǎo)體的性質(zhì)比較熟悉才能做到。ii. 或者也可以先假設(shè)內(nèi)外兩個表面上均有自由電荷分布，然后直接利用上面已經(jīng)做過的結(jié)果直接從數(shù)學(xué)上推算。此方法可能在計算上比較繁瑣，但是原理很容易理解。既然只有表面上才有電荷分布，則可以先計算表面上的面電荷密度。下面以球殼外表面的自由電荷面密度為例求解。由上面的式（C-1）可以算得在球外空間的電場分布：E2=-2=nn+1bnRn+2Pn(cos)eR+1RnbnRn

24、+1Pncose (C-4)則電場沿著球面法向分量就是沿著坐標(biāo)系的eR方向的分量：E2n=nn+1bnRn+2Pn(cos)又根據(jù)均勻介質(zhì)中D=E這一關(guān)系即可得到：D2n=0nn+1bnRn+2Pncos (C-5)注意到導(dǎo)體內(nèi)部的電場是零，自然可以得到導(dǎo)體內(nèi)部的電位移矢量滿足:D0n=0不妨作出如下規(guī)定：以下標(biāo)0表示導(dǎo)體內(nèi)部，下標(biāo)2表示球殼外殼之外，下標(biāo)1表示球殼內(nèi)殼的內(nèi)部。接下來就可以得到球殼外表面的自由電荷面密度：2=D2n-D0nR=R2=0nn+1bnR2n+2Pncos=-0R2 R=R2 (C-6)可見到體表面的面電荷密度可以直接由相應(yīng)區(qū)域的電勢分布函數(shù)的法向方向?qū)?shù)來表示。同理

25、可以得到球殼內(nèi)表面的自由電荷面密度（注意此時內(nèi)球殼表面的法向方向變?yōu)?eR方向）：1=0R1R=R1=-Pfcos2R13+0nncnR1n-1Pncos (C-7)現(xiàn)在球殼內(nèi)外表面的面電荷密度已經(jīng)表示出，觀察式（C-6）和（C-7），可見面電荷密度也是呈現(xiàn)軸對稱特性的，即與R, 有關(guān)?，F(xiàn)在計算球殼所帶的電荷總量，僅需要將電荷面密度對相應(yīng)的面積積分，如下所示：Q=2R22sindd+1R12sindd (C-8)可見上述積分的計算的確是比較困難的，因此不妨在開始計算之前先觀察一下，因為2和1的表達式中都是不含有的，所以上述積分實際上就是對的但積分而已，所以現(xiàn)在先觀察以下含有的部分即可。Lege

26、ndre函數(shù)的表達式可以寫成：Pncos=12nn!dnd(cos)ncos2-1n則有：P0cos=1P1cos=cosP2cos=123cos2-1P3cos=125cos3-3cos而且可以證明下面的積分結(jié)果：0sind=20cossind=00123cos2-1sind=00125cos3-3cossind=0所以積分式（C-8）就可以寫成是：20b00sind=40b0=Q所以：b0=Q40而球殼內(nèi)表面所帶的電荷數(shù)表示為：1R12sindd=0此時也同樣證明了球殼內(nèi)表面不帶自由電荷這一結(jié)論，而且利用球殼帶電總量為Q這一條件求出了b0的值。不過此種方法需要做大量積分的計算和驗證，耗時較多?？梢姛o論是數(shù)學(xué)的推算還是從物理規(guī)律的來得結(jié)論都是一樣的，現(xiàn)在已經(jīng)確定導(dǎo)體所帶的自由電荷完全分布在