項(xiàng)式定理十大典型問題及例題

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：學(xué)員姓名：年級(jí)：高二輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù)：學(xué)科教師：3教學(xué)內(nèi)容1二項(xiàng)式定理：(a b) nCn0anC n1an 1b L C nr an r brL C nn bn (n N ) ，2基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n 的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù) : 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C nr(r 0,1,2, , n) .項(xiàng)數(shù)：共 (r 1)項(xiàng)，是關(guān)于 a 與 b 的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第r 1項(xiàng) C nr a n r b r叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用Tr 1Cnr an r br表示。3注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有( n1) 項(xiàng)。順序：注意正確選擇a ,

2、 b , 其順序不能更改。( ab) n 與 (ba)n 是不同的。指數(shù)： a 的指數(shù)從 n 逐項(xiàng)減到 0，是降冪排列。 b 的指數(shù)從 0逐項(xiàng)減到 n ，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n .系數(shù)： 注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是Cn0 ,Cn1 ,Cn2 ,Cnr ,Cnn . 項(xiàng)的系數(shù)是 a 與 b 的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)） 。4常用的結(jié)論：令 a1,bx,(1x)nC n0C n1 xC n2 x2LC nr xrLC nn x n ( nN)令 a1,bx,(1x)nCn0Cn1 xCn2 x2LCnr xrL(1)n C nn x n (nN )5性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對

3、稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cn0Cnn ，··· CnkCnk 1二項(xiàng)式系數(shù)和：令a b 1 , 則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C n0Cn1Cn2L C nrLCnn2n ，變形式 C n1Cn2LCnrLC nn2n1 。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a1,b1，則 Cn0Cn1Cn2Cn3L(1)n C nn(11)n0，從而得到： Cn0C n2C n4Cn2rCn1Cn3LCn2r 112n2n 12奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：(a x)nC 0an x0C1a n 1x C 2 an 2 x2L C n

4、a0 x na0a x1ax2L axnnnnn12n( x a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 x n 2LCnn an x 0an x nLa2 x2a1x1a0令 x1, 則 a0a1a2a3 Lan(a 1)n令 x1,則 a0a1a2a3Lan(a 1)n得 , a0a2a4 Lan( a1)n( a 1) n (奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2得 , a1a3a5 Lan( a1)n(a 1)n(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n 是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2 取得最大值。n1n 1如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n 是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C

5、n2, Cn2 同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(abx) n 展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為 A1, A2, An 1 ，設(shè)第 rAr 1Arr 來。1 項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有Ar，從而解出Ar 12專題一題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例： C n1Cn2 6 Cn3 62L C nn 6n 1.解： (16) nC n0Cn16Cn2 62C n363LC nn 6n 與已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62L Cnn 6n 11 (C n1 6 Cn2 62L Cnn 6n )1 (Cn061 (1 6) n1 (7 nCn16C n262LCnn6n1

6、)11)666練： C n13C n29Cn3L 3n 1C nn.解：設(shè) SnCn13Cn29Cn3L3n 1Cnn ，則3SnCn1 3 Cn2 32Cn3 33L C nn 3nCn0Cn1 3 Cn2 32Cn3 33L C nn 3n1 (1 3)n1Sn(13)n 14n133題型二：利用通項(xiàng)公式求xn 的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式 ( 413x2 ) n 的展開式中倒數(shù)第3 項(xiàng)的系數(shù)為 45 ，求含有 x3 的項(xiàng)的系數(shù)？x解：由條件知 Cnn245 ，即 Cn245，n2n900 ，解得 n9(舍去 )或 n 10 ，由Tr 1C10r (x12C10r x10 r2 r10 r2 r4

7、 )10 r ( x3 ) r43 ，由題意3, 解得 r6 ，43則含有 x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T61C106 x3210 x3, 系數(shù)為210。練：求 ( x21)9展開式中 x9的系數(shù)？2x解： Tr 1C9r ( x2 )9 r (1 ) rC9r x18 2r ( 1)r x rC9r (1 )r x18 3r ，令 18 3r9 , 則 r 32x22故 x9 的系數(shù)為 C93 (1 )321。22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式 ( x21)10 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2xr210r1rr1r205 r(x)(x2解： Tr 1 C10)C10( )2x2，令 205 r0 ，

8、得 r8 ，所以 T9 C108 (1)84522256練：求二項(xiàng)式 (2 x1 ) 6 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解： Tr 1C6r (2 x) 6r ( 1)r ( 1 ) r( 1)r C 6r 26 r ( 1 )r x62r ，令 6 2r0 ，得 r3 ，所以 T4 ( 1)3 C63202x2練：若 ( x21 )n 的二項(xiàng)展開式中第5 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則 n_.x解： T5 Cn4 (x2 )n 4 ( 1 )4Cn4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式 ( x3 x)9 展開式中的有理項(xiàng)？1127 r27

9、 r解： Tr 1r( x29 r3rrr6Z ,( 0 r 9 ) 得 r3或 r9 ，C9) ( x)( 1) C9 x，令6所以當(dāng) r3時(shí)， 27r4，T4(1)3 C93 x484 x4 ，6當(dāng) r9 時(shí)， 27 r3，T10( 1)3 C99 x3x3 。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若 (x21) n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為256，求 n .3x2解：設(shè) (x21) n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0 , a1,an ,3x2令 x1 , 則有 a0a1an0, ， 令 x1, 則有 a0 a1a2a3( 1)n an 2n ,將 - 得： 2(a1a3a5)

10、2n ,a1a3a52n 1,有題意得，2n 125628 ，n9 。練：若(3151n 的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024，求它的中間項(xiàng)。xx2)解： Q Cn0Cn2Cn4C n2rC n1Cn3LC n2 r12n1 ，2n11024，解得 n 11Cn5 ( 3 1 )6 ( 5 12 )54，T6161所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n6, n7， T51462 x462 x 15xx題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知 ( 12x) n ，若展開式中第5 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)2的系數(shù)是多少？解： Q Cn4Cn62C n5 ,n22

11、1n980, 解出 n 7或n14，當(dāng) n7 時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和 T5T4的系數(shù)C73( 1 )4 2335 , ， T5的系數(shù)C74 (1 )3 2470, 當(dāng) n 14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大222的項(xiàng)是 T8 ，T8的系數(shù)C147 ( 1 )7 273432 。2練：在 (ab)2 n 的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n ，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2 nTn1 ，也就是第 n 1項(xiàng)。21練：在 ( x1 ) n 的展開式中，只有第5 項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？23x解：只有第5 項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則n15，即 n

12、8 , 所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C86( 1)2722練：寫出在 ( ab) 7 的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)7 是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng) ( 第 4,5項(xiàng) ) 的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4C 73a4b3 的系數(shù)最小， T5C74 a3b4 系數(shù)最大。練：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求 (12 x) n 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？211解：由 C n0C n1Cn279, 解出n12, 假設(shè)r 1 項(xiàng)最大，2x)12)12(14x)12TQ (22Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1r10.4，又 Q 0r12 ，r1

13、0 ，展開式中系數(shù)最C12r4r，化簡得到 9.4Ar 1Ar 2C12r 1 4 r 1大的項(xiàng)為 T11 , 有 T11(1)12 C1210 410 x1016896 x102練：在 (12 x)10 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè) Tr1 項(xiàng)最大， Q Tr1C10r2rxrAr1ArC10r 2 rC10r1 2 r12(11r )r，化簡得到6.3k 7.3，又Q0r10 ，C10r 2 rC10r 1 2r解得Ar1Ar21 ,r12(10r )r7，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8C107 27 x715360 x7 .題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng) ( x23x2)5 的展

14、開式中 x 的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法： ( x23x2) 5( x22)3x5 ， Tr 1 C5r ( x22) 5r (3 x)r，當(dāng)且僅當(dāng) r1 時(shí)， Tr 1 的展開式中才有 x的一次項(xiàng)，此時(shí) Tr1T2C51 ( x22) 4 3x ，所以 x 得一次項(xiàng)為 C51C 44 243x它的系數(shù)為 C51C 44 243240。解法： ( x23x2) 5( x1)5 ( x2) 5(C50 x5C51 x4C55 )(C50 x5C 51x 4 2C55 25 )故展開式中含x 的項(xiàng)為 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展開式中 x 的系數(shù)為 240.練：求式子 ( x12)

15、 3 的常數(shù)項(xiàng)？x解： ( x12) 3(x1)6 ，設(shè)第 r1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr 1C6r (1)r x6 r( 1 )r( 1)6 C6r62 rx，得xxx6 2r 0 , r 3,T3 1 ( 1)3 C6320 .題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例： 求(12x)3 (1 x) 4 展開式中 x2的系數(shù) .解：Q(12x)3的展開式的通項(xiàng)是 C3m(2 x) mC3m 2m xm,(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是 C 4n (x)nC 4n1n xn ,其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn 2,則 m0且 n 2, m1且 n1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1x)

16、4的展開式中 x2的系數(shù)等于 C30 20C42(1)2C31 21C41 (1)1C32 22C40 ( 1)06 .練： 求 (13 x )6 (11 )10 展開式中的常數(shù)項(xiàng) .4 x1mn4m 3 n解： (13 x )6 (14)10 展開式的通項(xiàng)為 C6m x 3C10n x 4C6m C10n x 12x其中m0,1,2,6, n0,1,2,當(dāng)且僅當(dāng)4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 C60C100C63C104C66C1084246 .已知 (1x x2)( x1 n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)*且 2n8, 則 n_.練：x3 ),

17、 n N解： (x13)n 展開式的通項(xiàng)為 C nrxn rx 3rCnrxn 4 r , 通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xCnr xn4 r ,C nr xn 4 r1,C nrxn 4 r2 ,Q 展開式中不含常數(shù)項(xiàng), 2n8n 4r且 n 4r1且 n4r2，即 n4,8且 n3,7且 n2,6,n5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例： 在 ( x2) 2006的二項(xiàng)展開式中 , 含 x的奇次冪的項(xiàng)之和為S,當(dāng) x2時(shí), S_.解： 設(shè)( x2) 2006=a0a1x1a2x2a3 x3La2006 x2006 -(x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3x3 La200

18、6 x2006 - 得 2(a xa x3a x5Lax2005 )( x2) 2006(x2) 20061352005(x2) 2006 展開式的奇次冪項(xiàng)之和為S( x)1 ( x2) 2006(x2) 2006 23 2006當(dāng) x2時(shí),S( 2)12)2006(22)20062223008( 222題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式 (3 3 x1 ) n 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p ，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s , 若xp s272 , 則 n 等于多少？解：若 (3 3x1 )na0a1 xa2 x2an xn ，有 Pa0a1an ， SCn0Cnn2n ，x令 x1 得 P4n ，又 ps

19、272 ,即 4n2n272(2 n17)(2 n16)0 解得 2n16或 2n17(舍去 ) ，n4 .1n練：若 3x的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64 ，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？x1n解：令 x1 ，則3x的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n64 ，所以 n6 ，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為xC63 (3x )3(1)3540 .x練： 若(12x)2009a0a1x1a2 x2a3x3La2009 x2009( xa1a2a2009的值為R), 則22220092解： 令 x1 ,可得 a0a1a2a20090,a1a2a2009a022222200922222009在令 x0可得 a0a1a2a20091

20、.1,因而22222009練： 若 ( x2)5a5x5a4 x4a3x3a2 x2a1x1a0 ,則 a1a2a3 a4a5_.解： 令 x0得 a032, 令 x1得 a0a1a2a3a4a51,a1a2a3a4a531.題型十一：整除性；例：證明：32n28n9( nN*)能被 64整除證： 32 n 28n99n 18n9(81)n 18n9Cn0 1 8n 1Cn1 1 8nCnn 11 82C nn 181Cnn 118n 9Cn0 1 8n 1C n1 1 8nCnn 11 828( n 1) 1 8n 9 C n0 1 8n 1C n1 1 8nC nn 1182由于各項(xiàng)均能被

21、64 整除32 n28n9( nN * )能被 64整除1、(x 1) 11 展開式中x 的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是1、設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是f (1)f ( 1)( 2)11 / 2102422、 Cn03C1n32 C n23n C nn2、2、4n3、(3 51 ) 20 的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第項(xiàng)53、3,9,15,214、(2x-1)5 展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和是4、(2x-1) 5 展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對值之和實(shí)為(2x+1) 5 展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為 355、求 (1+x+x 2)(1-x)10 展開式中 x4 的系數(shù)5、(1 x x 2 )(1x )10(1x 3 )(1x ) 9 , 要得到含 x4 的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1 與 (1-x) 9 展開式中的項(xiàng) C94 ( x) 4作積，第一個(gè)因式中的x3 與 (1-x) 9 展開式中的項(xiàng) C91 (x) 作積，故 x4 的系數(shù)是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)10 展開式中 x3 的系數(shù)6、 (1 x )(1x)2（110(1x )1(1x)10 1)11(x3實(shí)為這分子中的4x）1(1 x )= ( x1) ，原式中 xx ，則所x求系數(shù)為 C1177、若 f ( x)(1x) m(1x) n (mnN