《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》講義(共80頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第一章第一章 隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念1 1、排列組合初步、排列組合初步（1 1）排列組合公式）排列組合公式 從從 m m 個(gè)人中挑出個(gè)人中挑出 n n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。)!(!nmmPnm 從從 m m 個(gè)人中挑出個(gè)人中挑出 n n 個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。)!( !nmnmCnm例 11：方程的解是xxxCCC76510711A 4 B 3 C 2 D 1例 12：有 5 個(gè)隊(duì)伍參加了甲 A 聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng)，試問(wèn)總共的場(chǎng)次是多少？(2)(2)加法原理（兩

2、種方法均能完成此事）：加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+nm+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由 m 種方法完成，第二種方法可由 n 種方法來(lái)完成，則這件事可由 m+n 種方法來(lái)完成。(3)(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mnmn某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由 m 種方法完成，第二個(gè)步驟可由 n 種方法來(lái)完成，則這件事可由 mn 種方法來(lái)完成。例 13：從 5 位男同學(xué)和 4 位女同學(xué)中選出 4 位參加一個(gè)座談會(huì)，要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有幾種不同的選法？例 14：6 張同排連號(hào)的電影票，分給 3 名男生和 3

3、 名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例 15：用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法 A120 種B140 種 C160 種D180 種(4)(4)一些常見(jiàn)排列一些常見(jiàn)排列 特殊排列 相鄰 彼此隔開(kāi) 順序一定和不可分辨例 16：晚會(huì)上有 5 個(gè)不同的唱歌節(jié)目和 3 個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，問(wèn)：分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？3 個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；3 個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開(kāi)；3 個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。例 17：4 幅大小不同的畫(huà)，要求兩幅最大的排在一起，問(wèn)有多少種排法？例 1

4、8：5 輛車(chē)排成 1 排，1 輛黃色，1 輛藍(lán)色，3 輛紅色，且 3 輛紅車(chē)不可分辨，問(wèn)有多少種排法？重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）例 19：5 封不同的信，有 6 個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？對(duì)立事件例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？例 111：15 人中取 5 人，有 3 個(gè)不能都取，有多少種取法？例 112：有 4 對(duì)人，組成一個(gè) 3 人小組，不能從任意一對(duì)中取 2 個(gè)，問(wèn)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)有多少種可能性？順序問(wèn)題例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的種數(shù)？（有序）例 114：3 白球，2 黑球，先后取

5、 2 球，不放回，2 白的種數(shù)？（有序）例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的種數(shù)？（無(wú)序）2 2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算（1 1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點(diǎn)、“5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件；電話接線員在上午 9 時(shí)到 10 時(shí)接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布） ；對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離為 0

6、.1米、0.5 米及 1 米到 3 米之間都是隨機(jī)事件（正態(tài)分布） 。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（1） 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（2） 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來(lái)表示，例如（離散） ?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。n,21一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫(xiě)字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。如果某個(gè)是事件A的組成部分，即這個(gè)在事件A中出現(xiàn)，記為。A如果在一次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的有，則稱在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生。A如果不是

7、事件A的組成部分，就記為。在一次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的A有，則稱此次試驗(yàn)A沒(méi)有發(fā)生。A精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)為必然事件， 為不可能事件。（2 2）事件的關(guān)系與運(yùn)算）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件 A 的組成部分也是事件B的組成部分， （A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：BA 如果同時(shí)有，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于BA AB B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A 與 B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。BAA、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=，則表示 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生，

8、稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 稱為事件 A 的逆事件，或稱 A 的對(duì)立事件，記為A。它表示 A 不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率：11iiiiAA ，BABABABA例 116：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的。現(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間。若A表示取到的兩只球是白色的事件，表示取到的兩只球是紅色的事件，試用A、表示下列事件：（1）兩只球是顏色相同的事件C，（2）

9、兩只球是顏色不同的事件D，（3）兩只球中至少有一只白球的事件E。 例 117：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)Ai表示下列事件：（1）前兩次正面朝上，第三次正面朝下的事件C，（2）至少有一次正面朝上的事件D，（3）前兩次正面朝上的事件E。3 3、概率的定義和性質(zhì)、概率的定義和性質(zhì)（1 1）概率的公理化定義）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1 0P(A)1， 2 P() =13 對(duì)于兩兩互不相容的事件1A，2A，有11)(iiiiAPAP常稱為可列（完全）可加

10、性。則稱 P(A)為事件A的概率。（2 2）古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）1 ，n21,2 。nPPPn1)()()(21設(shè)任一事件A，它是由組成的，則有m21,P(A)= =)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A例 118：集合 A 中有 100 個(gè)數(shù)，B 中有 50 個(gè)數(shù)，并且滿足 A 中元素與 B中元素關(guān)系 a+b=10 的有 20 對(duì)。問(wèn)任意分別從 A 和 B 中各抽取一個(gè)，抽到滿足a+b=10 的 a,b 的概率。例 119：5 雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對(duì)的概率為多少？例 120：在共有 10 個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地

11、坐上 6 名與會(huì)者，則指定精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)的 4 個(gè)座位被坐滿的概率是AB CD 141131121111例 121：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序）例 122：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序）例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（無(wú)序）注意：事件的分解；放回與不放回；順序問(wèn)題。4 4、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）、五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1 1）加法公式）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)0 時(shí)，P(A+B)=P

12、(A)+P(B)例 124：從 0，1，9 這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A“三個(gè)數(shù)字中不含 0 或者不含 5” 。（2 2）減法公式）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) BA 時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A= 時(shí)，P()=1- P(B)B例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P(+).AB例 126：對(duì)于任意兩個(gè)互不相容的事件 A 與 B， 以下等式中只有一個(gè)不正確，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1AB(C) P(-B)= P()-P(B)

13、 (D)P(AB)(A-B)=P(A) AA(E)p=P(A) -P()BAAB精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)（3 3）條件概率和乘法公式）條件概率和乘法公式定義 設(shè) A、B 是兩個(gè)事件，且 P(A)0，則稱為事件 A 發(fā)生條件下，)()(APABP事件 B 發(fā)生的條件概率，記為。)/(ABP)()(APABP條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，對(duì)事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，則有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPA

14、P21|(AAAPn)1nA。例 127：甲乙兩班共有 70 名同學(xué)，其中女同學(xué) 40 名，設(shè)甲班有 30 名同學(xué)，而女生 15 名，問(wèn)在碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到一名女同學(xué)的概率。例 128：5 把鑰匙，只有一把能打開(kāi)，如果某次打不開(kāi)就扔掉，問(wèn)以下事件的概率？第一次打開(kāi)；第二次打開(kāi)；第三次打開(kāi)。（4 4）全概公式）全概公式設(shè)事件nBBB,21滿足1nBBB,21兩兩互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi，2niiBA1，則有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即為全概率公式。例 129：播種小麥時(shí)所用的種子中二等種子占 2，三等種子占

15、1.5，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)四等種子占 1，其他為一等種子。用一等、二等、三等、四等種子播種長(zhǎng)出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為 0.5，0.15，0.1，0.05，試求種子所結(jié)的穗含有 50 顆以上麥粒的概率。例 130：甲盒內(nèi)有紅球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒內(nèi)有紅球 5 只，黑球 3 只；丙盒內(nèi)有黑球 2 只，白球 2 只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是紅球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225例 131：100 個(gè)球，40 個(gè)白球，60 個(gè)紅球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？第 20

16、次取出白球的概率？（5 5）貝葉斯公式）貝葉斯公式設(shè)事件1B，2B，nB及A滿足1 1B，2B，nB兩兩互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，則，i=1，2，n。njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即為貝葉斯公式。， （1i，2，n） ，通常叫先驗(yàn)概率。)(iBP， （1i，2，n） ，通常稱為后驗(yàn)概率。如果我們把A當(dāng)作觀察的)/(ABPi“結(jié)果” ，而1B，2B，nB理解為“原因” ，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。例 132：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設(shè)C表示被檢驗(yàn)者的確患有肝癌的事件，A

17、表示診斷出被檢驗(yàn)者患有肝癌的事件，已知，95. 0)/(CAP，。現(xiàn)有一人被檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌，求此人的98. 0)/(CAP004. 0)(CP精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)確患有肝癌的概率)|(ACP。5 5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)（1 1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性）兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足)()()(BPAPABP，則稱事件A、B是相互獨(dú)立的（這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的） 。 若事件A、B相互獨(dú)立，且0)(AP，則有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B

18、、A與B、A與B也都相互獨(dú)立。（證明）由定義，我們可知必然事件和不可能事件 與任何事件都相互獨(dú)立。 （證明） 同時(shí)， 與任何事件都互斥。（2 2）多個(gè)事件的獨(dú)立性）多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè) ABC 是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互獨(dú)立。對(duì)于 n 個(gè)事件類(lèi)似。兩兩互斥互相互斥。兩兩獨(dú)立互相獨(dú)立？例 133：已知，證明事件、相互獨(dú)立。)/()/(ABPABPAB例 134：A，B，C 相互獨(dú)立的充分條件：（1）A，B，C 兩兩獨(dú)立（2）A

19、與 BC 獨(dú)立精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)例 135：甲，乙兩個(gè)射手彼此獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)各一次，甲射中的概率為 0.9，乙射中的概率為 0.8，求目標(biāo)沒(méi)有被射中的概率。（3 3）伯努利試驗(yàn)）伯努利試驗(yàn)定義 我們作了n次試驗(yàn)，且滿足 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為qp 1，用)(kPn表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn))0(nkk次的概率，knkknnqpkPC

20、)(，nk, 2 , 1 , 0。例 136：袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球，從袋中任取 a+b 次球，每次放回，試求其中含 a個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a，b） 。例 137：做一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為 p，求在第 n 次成功之前恰失敗 m 次的概率。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)例 138：化簡(jiǎn) (A+B)(A+)(+B)BA例 139：ABC=AB(CB) 成立的充分條件為： (1)ABC (2)BC例 140：已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求

21、 x 的最大值。例 141：當(dāng)事件 A 與 B 同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 C 必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是（A）P（C）=P（AB） 。（B）P（C）=P（AB） 。（C）P（C）P（A）+P（B）-1（D）P（C）P（A）+P（B）-1。2 2、古典概型、古典概型例 142：3 男生，3 女生，從中挑出 4 個(gè)，問(wèn)男女相等的概率？例 143：電話號(hào)碼由四個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是 0,1,2,9 中的任一個(gè)數(shù)，求電話號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率。例 144：袋中有 6 只紅球、4 只黑球，今從袋中隨機(jī)取出 4 只球，設(shè)取到一只紅球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，則得分不大于 6 分的概率是 A

22、B CD 42237442252113例 145：10 個(gè)盒子，每個(gè)裝著標(biāo)號(hào)為“16”的卡片。每個(gè)盒子任取一張，問(wèn) 10 張中最大數(shù)是 4 的概率？例 146：將 n 個(gè)人等可能地分到 N（nN）間房間中去，試求下列事件的概率。A“某指定的 n 間房中各有 1 人” ；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)B“恰有 n 間房中各有 1 人”C“某指定的房中恰有 m（mn）人”例 147：有 5 個(gè)白色珠子和 4 個(gè)黑色珠子，從中任取 3 個(gè)，問(wèn)全是白色的概率？3 3、條件概率和乘法公式、條件概率和乘法公式例 148：假設(shè)事件 A 和 B 滿足 P（B | A）=1，則 （A） A 是必然事

23、件。（B）。BA （C）。（D）。BA0)(BAP例 149：設(shè) A，B 為兩個(gè)互斥事件，且 P（A）0, P(B)0，則結(jié)論正確的是（A）P（B | A）0。（B）P（A | B）=P（A） 。（C）P（A | B）=0。（D）P（AB）=P（A）P（B） 。例 150：某種動(dòng)物由出生而活到 20 歲的概率為 0.7，活到 25 歲的概率為0.56，求現(xiàn)齡為 20 歲的這種動(dòng)物活到 25 歲的概率。例 151：某人忘記三位號(hào)碼鎖（每位均有 09 十個(gè)數(shù)碼）的最后一個(gè)數(shù)碼，因此在正確撥出前兩個(gè)數(shù)碼后，只能隨機(jī)地試撥最后一個(gè)數(shù)碼，每撥一次算作一次試開(kāi)，則他在第 4 次試開(kāi)時(shí)才將鎖打開(kāi)的概率是AB

24、CD 416152101例 152：在空戰(zhàn)訓(xùn)練中，甲機(jī)先向乙機(jī)開(kāi)火，擊落乙機(jī)的概率為 0.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率是 0.3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率是 0.4，求在這幾個(gè)回合中：甲機(jī)被擊落的概率；乙機(jī)被擊落的概率。例 153：為防止意外事故，在礦井內(nèi)同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng) A 與 B，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，其有效率 A 為 0.92，B 為 0.93，在 A 失靈條件下 B 有效概率為 0.85。求：（1）這兩種警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；（2）在 B 失靈條精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)件下，A 有效的概率。4 4、全概和貝葉斯公式、全概

25、和貝葉斯公式例 154：甲文具盒內(nèi)有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆，乙文具盒內(nèi)也有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆現(xiàn)從甲文具盒中任取 2 支筆放入乙文具盒，然后再?gòu)囊椅木吆兄腥稳?2 支筆求最后取出的 2 支筆都是黑色筆的概率。例 155：三個(gè)箱子中，第一箱裝有 4 個(gè)黑球 1 個(gè)白球，每二箱裝有 3 個(gè)黑球 3 個(gè)白球，第三箱裝有 3 個(gè)黑球 5 個(gè)白球?，F(xiàn)先任取一箱，再?gòu)脑撓渲腥稳∫磺颍瑔?wèn)：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的為白球，則該球?qū)儆诘诙涞母怕?？?156：袋中有 4 個(gè)白球、6 個(gè)紅球，先從中任取出 4 個(gè)，然后再?gòu)氖Ｏ碌?6 個(gè)球中任取一個(gè)，則它恰為白球的概率是。5 5

26、、獨(dú)立性和伯努利概型、獨(dú)立性和伯努利概型例 157：設(shè) P(A)0,P(B)0，證明（1）若 A 與 B 相互獨(dú)立，則 A 與 B 不互斥；（2）若 A 與 B 互斥，則 A 與 B 不獨(dú)立。例 158：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)事件 A，B 相互獨(dú)立，已知僅有 A 發(fā)生的概率為，41僅有 B 發(fā)生的概率為，則 P（A）=，P（B）=。41例 159：若兩事件 A 和 B 相互獨(dú)立，且滿足 P(AB)=P(), P(A)=0.4，A B求 P(B).例 160：設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿足條件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C），且已知，則P（A）=。21169)(CBAP例 161：A 發(fā)生的概

27、率是 0.6，B 發(fā)生的概率是 0.5，問(wèn) A,B 同時(shí)發(fā)生的概率的范圍？例 162：設(shè)某類(lèi)型的高炮每次擊中飛機(jī)的概率為 0.2，問(wèn)至少需要多少門(mén)這樣的高炮同時(shí)獨(dú)立發(fā)射（每門(mén)射一次）才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到 95%以上。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)例 163：由射手對(duì)飛機(jī)進(jìn)行 4 次獨(dú)立射擊，每次射擊命中的概率為 0.3，一次命中時(shí)飛機(jī)被擊落的概率為 0.6，至少兩次命中時(shí)飛機(jī)必然被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率。例 164：將一骰子擲 m+n 次，已知至少有一次出 6 點(diǎn)，求首次出 6 點(diǎn)在第 n 次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率。例 165：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（

28、取名“甲罐” ）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為 2：1 。今任取一罐并從中取出 50 只球，查得其中有30 只紅球和 20 只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念在許多試驗(yàn)中，觀察的對(duì)象常常是一個(gè)隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它本身就是一個(gè)數(shù)值，因此 P(A)這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字） 。但是

29、觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，就不能簡(jiǎn)單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過(guò)下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)，規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“1” ；而出現(xiàn)反面時(shí)，規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“0” 。于是)(XX，當(dāng)反面出現(xiàn)，當(dāng)正面出現(xiàn)01稱X為隨機(jī)變量。又由于X是隨著試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）不同而變化的，所以X實(shí)際上是基本事件的函數(shù)，即 X=X()。同時(shí)事件 A 包含了一定量的（例如古典概型中 A 包含了 1，2，m，共 m 個(gè)基本事件） ，于是 P(A)可以由 P(X()來(lái)計(jì)算，這是一個(gè)普通函數(shù)。定義 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)中每個(gè)事件都有唯一的實(shí)數(shù)值X=X()與之對(duì)應(yīng)，則稱 X=X()為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。有了隨機(jī)變

30、量，就可以通過(guò)它來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，能全面反映試驗(yàn)的情況。這就使得我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量的研究，這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)了。一個(gè)隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個(gè)（如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)）或可列無(wú)窮多個(gè)（如電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)） ，則稱為離散型隨機(jī)變量。像彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離這樣的隨機(jī)變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個(gè)區(qū)間，這稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。1 1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1 1）離散型隨機(jī)變量的分布率）離散型隨機(jī)變量的分布率設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 Xk(k=1,

31、2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）0kp，, 2 , 1k，（2）11kkp。例 21：投骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的概率？例 22：4 黑球，2 白球，每次取一個(gè)，不放回，直到取到黑為止，令X()為“取白球的數(shù)” ，求 X 的分布律。例 23：若干個(gè)容器，每個(gè)標(biāo)號(hào) 13，取出某號(hào)容器的概率與該號(hào)碼成反比，令 X()表示取出的號(hào)碼，求 X 的分布律。（2 2）分布函數(shù)）分布函數(shù)對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，通常有，不

32、可能用分布率表達(dá)。例0)( xXP如日光燈管的壽命，。所以我們考慮用落在某個(gè)區(qū)間X0)(0 xXPX內(nèi)的概率表示。,(ba精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)定義定義 設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)Xx)()(xXPxF稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。 可以得到 X 落入?yún)^(qū)間的概率。也就是說(shuō)，)()()(aFbFbXaP,(ba分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量 X 隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，它表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x)(xF內(nèi)的概率。的圖形是階梯圖形，是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，隨機(jī)變量在處的)(xF,21xxXkx概率就是在處的躍度。)(xFkx分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；,

33、 1)(0 xFx2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF3 ， ；0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx4 ，即是右連續(xù)的；)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP例 24：設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為X，214181812 , 1 , 0 , 1，PX求的分布函數(shù)，并求，。X)21(XP)231 ( XP)231 ( XP例 25：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為0001)(xxxAxxF其中 A 是一個(gè)常數(shù)，求精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)（1） 常數(shù) A（2）P（1X2）（3 3）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)）連續(xù)型隨機(jī)變量

34、的密度函數(shù)定義 設(shè))(xF是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù))(xf，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有xdxxfxF)()(， 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。)(xf稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。)(xf的圖形是一條曲線，稱為密度（分布）曲線。由上式可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù))(xF是連續(xù)函數(shù)。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP密度函數(shù)具有下面 4 個(gè)性質(zhì)：1 0)(xf。2 1)(dxxf。1)()(dxxfF的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于 1。如果一個(gè)函數(shù))(xf滿足 1、2，則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。3

35、 。)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf4 若)(xf在x處連續(xù)，則有)()(xfxF。dxxfdxxXxP)()(它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與kkpxXP)(在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè))(),(,獨(dú)立性古典概型，五大公式，APAE )()()()(xXPxFxXX對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，雖然有0)( xXP，但事件)(xX 并非是不可能事件 。hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h，則右端為零，而概率0)( xXP，故得0)( xXP。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理

36、，必然事件（）的概率為 1，而概率為 1 的事件也不一定是必然事件。例 26：隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f(x)，求 A 和其他, 010 ,)(xxAxfF(x)。例 27：隨機(jī)變量 X 的概率密度為 0 0 0 21)(232xxexxfx求 X 的分布函數(shù)和)(xF)42(XP2 2、常見(jiàn)分布、常見(jiàn)分布001 1 分布分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如樹(shù)葉落在地面的試驗(yàn)，結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨nApA機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。XXn, 2 , 1 , 0， 其中，knkknnqpkPkXPC)()(n

37、kppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。Xnp),(pnBXnknkknnnnnpqpqpnpqqkXPXCC,|)(2221容易驗(yàn)證，滿足離散型分布率的條件。當(dāng)時(shí)，這就是（0-1）分布，所以（0-1nkkqpkXP1)(1 . 0k1）分布是二項(xiàng)分布的特例。例 28：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 0.001，若獨(dú)立地射擊5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率。泊松分布泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X，ekkXPk!)(02 , 1 , 0k則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者 P()。X)

38、(X泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n） 。如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)、來(lái)到公共汽車(chē)站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、自動(dòng)控制系統(tǒng)中元件損壞的個(gè)數(shù)、某商店中來(lái)到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。例 29：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 0.001，若獨(dú)立地射擊5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率，用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。超幾何分布超幾何分布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n,N,M 的超幾何分布。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)例 210：袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球，從袋中任取 a+b 個(gè)球，試求其中含

39、a 個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a，b） 。（非重復(fù)排列）babaCCC例 211：袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取 a+b 個(gè)球（不放回） ，試求其中含 a 個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a，b） 。（非重復(fù)排列）babababaPPCC例 212：袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取 a+b 個(gè)球（放回） ，試求其中含 a 個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a，b） 。（重復(fù)排列）ababaC)()(幾何分布幾何分布，其中 p0，q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布。例 213：5 把鑰匙，只有一把能打開(kāi)，如果某次打不開(kāi)不扔掉，

40、問(wèn)以下事件的概率？第一次打開(kāi)；第二次打開(kāi)；第三次打開(kāi)。均勻分布均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù))(xf在a，b上為常數(shù)k，即 其他，, 0,)(kxf其中 k=，ab 1axb精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)則稱隨機(jī)變量X在a，b上服從均勻分布，記為 XU(a，b)。分布函數(shù)為 xdxxfxF)()( 當(dāng) ax1x2b 時(shí)，X 落在區(qū)間（21,xx）內(nèi)的概率為P(21211)()21xxxxabdxxfxXxabxxdx12。例 214：設(shè)電阻 R 是一個(gè)均勻在 9001100 的隨機(jī)變量，求 R 落在10001200 之間的概率。指數(shù)分布指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 的

41、密度函數(shù)為 其中0，則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X 的分布函數(shù)為 0， xb。)(xf,xe 0 x,0, 0 x,)(xF,1xe 0 x, 0 xc)=2P(Xc)。例 217：某人需乘車(chē)到機(jī)場(chǎng)搭乘飛機(jī)，現(xiàn)有兩條路線可供選擇。第一條路線較短，但交通比較擁擠，到達(dá)機(jī)場(chǎng)所需時(shí)間 X（單位為分）服從正態(tài)分布精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)N（50，100） 。第二條路線較長(zhǎng)，但出現(xiàn)意外的阻塞較少，所需時(shí)間 X 服從正態(tài)分布 N（60，16） 。 （1）若有 70 分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？（2）若有 65分鐘可用，又應(yīng)選擇哪一條路線？3 3、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、隨機(jī)變量函

42、數(shù)的分布隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù)，若的分布函數(shù)或密度YX)(XgY X)(xFX函數(shù)知道，則如何求出的分布函數(shù)或密度函數(shù)。)(xfX)(XgY )(yFY)(yfY（1 1）是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量X已知的分布列為X ，,)(2121nnipppxxxxXPX顯然，的取值只可能是，若互不相等，)(XgY ),(,),(),(21nxgxgxg)(ixg則的分布列如下：Y，,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。)(ixgiP)(ixg例 218：已知隨機(jī)變量的分布列為X，31,31,312, 1, 0PX求的分布列。2

43、XY （2 2）是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量X精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)先利用 X 的概率密度 fX(x)寫(xiě)出 Y 的分布函數(shù) FY(y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出 fY(y)。例 219：已知隨機(jī)變量，求的密度其他, 010),13(52)(xxxfXXYln函數(shù)。)(yfY第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、常見(jiàn)分布、常見(jiàn)分布例 220：一個(gè)袋中有 5 只球，編號(hào)為 1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取 3 只，以 X 表示取出的 3 個(gè)球中的最大號(hào)碼，試求 X 的概率分布。例 221：設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 f(x)=A ，x0,則 A= 272xex。例 22

44、2： 是概率密度函數(shù)的充分條件是：)()(21xfxf（1）均為概率密度函數(shù))(),(21xfxf（2）1)()(021xfxf例 223：一個(gè)不懂英語(yǔ)的人參加 GMAT 機(jī)考，假設(shè)考試有 5 個(gè)選擇題，每題有 5 個(gè)選項(xiàng)（單選） ，試求：此人答對(duì) 3 題或者 3 題以上（至少獲得 600 分）的概率？例 224：設(shè)隨機(jī)變量 XU（0，5） ，求方程有實(shí)根02442XXxx的概率。例 225：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為其他, 06 , 3,92 1 , 0,31)(xxxf精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)其使得，則 k 的取值范圍是。32)( kXP例 226：已知某種電子元件的壽

45、命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，若它工作了 900 小時(shí)而未損壞的概率是 ，則該種電子元件的平均壽命是9 . 0eA 990 小時(shí) B 1000 小時(shí) C 1010 小時(shí) D 1020 小時(shí)例 227：設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為：則其分)( ,21)(|xexx布函數(shù)F(x)是（A）. 0, 1, 0,21)(xxexFx（B）. 0211, 0,21)(xexexFxx（C）. 0, 1, 0,211)(xxexFx（D）. 1, 1, 10,211, 0.,21)(xxexexFxx例 228：XN(1,4)，YN(2,9)，問(wèn) P(X-1)和 P(Y5)誰(shuí)大？例 229：XN(,2)，0，

46、0，且 P()=，則 ？x212 2、函數(shù)分布、函數(shù)分布例 230：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有連續(xù)的分布函數(shù) F(x)，求 Y=F（X）的分布函數(shù) F（y） 。（或證明題：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)設(shè) X 的分布函數(shù) F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量 Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。 ）例 231：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x)，則 Y=-2lnF(X)的概率分布密度函數(shù) fY(y)=.例 232：設(shè) XU，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函數(shù) f(y)。2,2例 233：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=minX, 2的分布函數(shù)（A）是連續(xù)函數(shù)（

47、B）至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)（C）是階梯函數(shù)（D）恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)第三章第三章 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念1 1、二維隨機(jī)變量的基本概念、二維隨機(jī)變量的基本概念（1 1）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y）時(shí)，則稱為離散型隨機(jī)量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的), 2 , 1,)(,(jiyxji),(jiyx概率為pij,稱精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)), 2 , 1,(),()

48、,(jipyxYXPijji為=（X，Y）的分布律或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,） ；（2）. 1ijijp對(duì)于隨機(jī)向量（X，Y） ，稱其分量 X（或 Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于X（或 Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了 X 為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，), 2 , 1,(),(),(jipyxYXPijji則 X 的邊緣分布為 ；), 2 , 1,()(jipxXPPi

49、jjiiY 的邊緣分布為 。), 2 , 1,()(jipyYPPijiii例 31：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，-1） ， （2，-1） ， （2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 Y-1012p1精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)X161000612616106121300616131pj316161311（2 2）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)),(YX，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平

50、行于坐標(biāo)軸的矩),)(,(yxyxf形區(qū)域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有DdxdyyxfDYXP,),(),(則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為 X和 Y 的聯(lián)合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） . 1),(dxdyyxf一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)向量，并且其聯(lián)合分布密度為 f(x,y)，則 X 和 Y 的邊緣分布密度為.),()(),()(dxyxfyfdyyxfxfYX，注意：聯(lián)合概率分布邊緣分布例 32：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為其他, 0, 0, 0,),()43(yxCeyxfy

51、x試求：（1）常數(shù) C；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)（2）P0X1, 0Yx1時(shí)，有 F（x2,y）F(x1,y);當(dāng) y2y1時(shí)，有 F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì) x 和 y 是右連續(xù)的，即);0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF（4）. 1),(, 0),(),(),(FxFyFF2 2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（1 1）一般型隨機(jī)變量）一般型隨機(jī)變量F(X,Y)=FX(x)FY(y)（2 2）離散型隨機(jī)變量）離散型隨機(jī)變量jiijppp例 35：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，-1） ， （2，

52、-1） ， （2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1161000612616106121300616131精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)pj316161311（3 3）連續(xù)型隨機(jī)變量）連續(xù)型隨機(jī)變量f(x,y)=fX(x)fY(y)聯(lián)合分布邊緣分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形例 36：如圖 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨(dú)立。例 37：f(x,y)=其他, 010 , 2

53、0 ,2yxAxy（4 4）二維正態(tài)分布）二維正態(tài)分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf=0（5 5）隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性）隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性若 X 與 Y 獨(dú)立，h,g 為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和 g（Y）獨(dú)立。例如：若 X 與 Y 獨(dú)立，則：3X+1 和 5Y-2 獨(dú)立。3 3、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的和兩個(gè)隨機(jī)變量的和 Z=X+YZ=X+Y離散型：精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)例 38：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y0120121611211316161求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z

54、3=XY 的分布列。連續(xù)型fZ(z)dxxzxf ),(兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（） 。222121,例 39：設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 XU（0，1） ，Ye（1） ，求 Z=X+Y 的分布密度函數(shù) fz(z)?；旌闲屠?310：設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立，其中 X 的概率分布為,7 . 03 . 021X而 Y 的概率密度為 f(y)，求隨機(jī)變量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1 1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)例 311：如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量

55、（X，Y）的分布函數(shù)？（A）., 0,0 ,0),1)(1 (),(1其他yxeeyxFyx（B）.3arctan22arctan21),(22yxyxF（C）. 12, 0, 12, 1),(3yxyxyxF（D）., 0,0 ,0,2221),(4其他yxyxFyxyx例 312：設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)人數(shù) X 服從參數(shù)為的泊松分布，每)0(位乘客在中途下車(chē)的概率為 p(0p1)，并且他們?cè)谥型鞠萝?chē)與否是相互獨(dú)立的，用 Y 表示在中途下車(chē)的人數(shù)，求：（1） 在發(fā)車(chē)時(shí)有 n 個(gè)乘客的條件下，中途有 m 人下車(chē)的概率；（2） 二維隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布。例 313：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的

56、概率為 p（0p2|Y0)xeE(X)=， D(X)=121正態(tài)分布 XN(,2)，222)(21)(xexfE(X)= ， D(X)= 2例 410：罐中有 5 顆圍棋子，其中 2 顆為白子，另 3 顆為黑子，如果有放回地每次取 1 子，共取 3 次，求 3 次中取到的白子次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望與方差。例 411：在上例中，若將抽樣方式改為不放回抽樣，則結(jié)果又是如何？例 412：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 0 的泊松分布，且已知 E（X-1）（X-2）=1，求 。例 413：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布，求 E（X-3e-2x） 。例 414：設(shè)（X，Y）服從區(qū)域 D=（x,y）

57、|0 x1, 0y1上的均勻分布，求 E（X+Y） ，E（X-Y） ，E（XY） ，D（X+Y） ，D（2X-3Y） 。2 2、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1 1）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)）協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量 X 與 Y，稱它們的二階混合中心矩為 X 與 Y 的協(xié)方差或相11關(guān)矩，記為，即),cov(YXXY或精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)).()(11YEYXEXEXY與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X 與 Y 的方差 D（X）與 D（Y）也可分別記為與XYXX。YY協(xié)方差有下面幾個(gè)性質(zhì)：(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)cov(aX,bY)=ab c

58、ov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).對(duì)于隨機(jī)變量 X 與 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，則稱)()(YDXDXY為 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為） 。XY|1，當(dāng)|=1 時(shí)，稱 X 與 Y 安全相關(guān)：完全相關(guān)時(shí)，負(fù)相關(guān)，當(dāng)時(shí)，正相關(guān)，當(dāng)11而當(dāng)時(shí)，稱 X 與 Y 不相關(guān)。0與相關(guān)系數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論（i）若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，則；反之不真。0XY（ii） 若（X，Y）N（） ，則 X 與 Y 相互獨(dú)立的充要條件,222121是，即 X 和 Y

59、 不相關(guān)。0（iii）以下五個(gè)命題是等價(jià)的：；0XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)D(X-Y)=D(X)+D(Y).例 415：設(shè) D（X）=25，D（Y）=36，。求 D（X+Y）及 D（X-Y） 。4 . 0XY（2 2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望 為連續(xù)型。，為離散型；，),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji（3 3）原點(diǎn)矩和中心矩）原點(diǎn)矩和中心矩對(duì)于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量 X 的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 X 的 k 階

60、原點(diǎn)矩，記為 vk,即uk=E(Xk), k=1,2, .于是，我們有. ,)(續(xù)型時(shí)為連當(dāng)為離散型時(shí)，當(dāng)XdxxpxXpxukiikik對(duì)于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量 X 與 E（X）差的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 X 的 k階中心矩，記為，即k., 2 , 1,)(kXEXEkk于是，我們有. ,)()()(續(xù)型時(shí)為連當(dāng)為離散型時(shí)，當(dāng)XdxxpXExXpXExukiikik對(duì)于隨機(jī)變量 X 與 Y，如果有存在，則稱之為 X 與 Y 的k+l階)(lkYXE精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)混合原點(diǎn)矩，記為，即klu).()(YEYXEXEukkl第二節(jié)第二節(jié) 練習(xí)題練習(xí)題1、一維隨機(jī)變量及