數(shù)學(xué)思想史作業(yè)講義

1、數(shù)學(xué)思想史作業(yè)講義這是我國(guó)家喻戶曉的一道名題，通常作為小學(xué)訓(xùn)練思維的心算題。這是我國(guó)家喻戶曉的一道名題，通常作為小學(xué)訓(xùn)練思維的心算題。譯文：今有大小和尚共100100個(gè)饅頭。已知大和尚一人分三個(gè)， 小和尚3人分一個(gè)問大小和尚各有多少人？他們分別分到多少個(gè)饅頭？1：（中古算法中古算法）大和尚大和尚1人人分饅頭3個(gè)小和尚小和尚3人人分饅頭分饅頭1個(gè)個(gè)分饅頭分饅頭3個(gè)個(gè)合計(jì)合計(jì)4人人饅頭饅頭4個(gè)個(gè)從給定的條件看來(lái)，從給定的條件看來(lái)，4個(gè)和尚分個(gè)和尚分4個(gè)饅頭，它們的結(jié)構(gòu)比例是：大和尚個(gè)饅頭，它們的結(jié)構(gòu)比例是：大和尚小和尚小和尚=1 3，并且，大和尚分的饅頭數(shù)，并且，大和尚分的饅頭數(shù)小和尚分的饅頭數(shù)小

2、和尚分的饅頭數(shù)=3 1，現(xiàn)在已知現(xiàn)在已知100個(gè)和尚分個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，按此比例，很容易求得個(gè)饅頭，按此比例，很容易求得大和尚大和尚100（3+1）=25（人）（人）小和尚小和尚100 43=75（人）（人）大和尚分得饅頭大和尚分得饅頭 253=75（個(gè)）（個(gè)）小和尚分得饅頭小和尚分得饅頭 75 3=25（個(gè)）（個(gè)）解法2列方程解應(yīng)用題設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，則消去y求得X=25y=75x+y=100100313yx3X=752531y例例1. 1.今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？選自選自九章算術(shù)九章算術(shù)術(shù)曰：以粟求糲米，三之，五而一。術(shù)曰：以粟求糲米

3、，三之，五而一。答曰：為糲米六升。答曰：為糲米六升。本題的意思是根據(jù)粟米之法所列的比率，問一斗谷子能換多少糙米？解：由粟米之法知谷子糙米=50 30設(shè)所求數(shù)為x，則50 30=1 x 即5 3=1 x古人把這種計(jì)算方法叫做“今有術(shù)”，四項(xiàng)比例中的各項(xiàng)均有專門名詞，即所有率 所求率 = 所有數(shù) 所求數(shù)（粟率50）（糙米30）（今有粟1斗） （所求數(shù)x）根據(jù)比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，有所有率所求數(shù)=所求率所有數(shù)所以所求數(shù)=（所有數(shù)所求率）/所有率（升）斗） 6(53531x術(shù)文曰：“以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一?！鄙鲜骄褪沁@個(gè)關(guān)系的解析表達(dá)式“今有術(shù)”實(shí)際上就是初中所

4、學(xué)的正比例關(guān)系y=kx，通過給定所有率和所求率的數(shù)據(jù)，確定比例系數(shù)k，再由所有數(shù)求所求數(shù)例例2.2.今有粟四斗五升，欲為鑿米，問能換得精今有粟四斗五升，欲為鑿米，問能換得精米多少升？米多少升？解：由粟米之法知道，“粟率五十，鑿米二十四”，設(shè)所求數(shù)x，則由所有率所求率=所有數(shù)所求數(shù)5024=45x所以“今有術(shù)今有術(shù)”雖然簡(jiǎn)單，但劉徽卻十分看重這個(gè)方雖然簡(jiǎn)單，但劉徽卻十分看重這個(gè)方法，認(rèn)為它是一種解題的通法，許多問題可以以法，認(rèn)為它是一種解題的通法，許多問題可以以此為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化為比例問題用此為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化為比例問題用“今有術(shù)今有術(shù)”求解。求解。5321502445x（升）（升）例例3.3.今有出錢一

5、萬(wàn)三千五百，買竹二千三百五十個(gè)，今有出錢一萬(wàn)三千五百，買竹二千三百五十個(gè)，問個(gè)幾何？問個(gè)幾何？選自選自九章算術(shù)九章算術(shù)解：今有13500錢，買竹2350根，問每根竹子多少錢？這是一個(gè)簡(jiǎn)單的用除法求物品單價(jià)的問題，劉徽也把它歸結(jié)為今有術(shù)之類，認(rèn)為：“按今有之義，一枚為所有數(shù)，出錢為所求率，而今有之，即得所求數(shù)?！边@樣，求單價(jià)的問題，也表示成四項(xiàng)比例的問題，即235013500=1x所以這也體現(xiàn)了劉徽的化歸思想和當(dāng)今的這也體現(xiàn)了劉徽的化歸思想和當(dāng)今的“以法統(tǒng)題，多題一法以法統(tǒng)題，多題一法”的思想是一致的。的思想是一致的。(錢）473552350135001x答案答案例例4.4.今有兔先行一百步，犬

6、追之二百五十步，不及今有兔先行一百步，犬追之二百五十步，不及三十不止，問犬不止，復(fù)行幾何步及之？三十不止，問犬不止，復(fù)行幾何步及之？選自選自九章算術(shù)九章算術(shù)解：依題意作如下示意圖犬兔犬兔30250步100步答案答案兔子先行兔子先行100100步，狗起跑追及，狗行步，狗起跑追及，狗行250250步時(shí)，狗兔還相距步時(shí)，狗兔還相距3030步，步，就是說狗行就是說狗行250250步可以追及兔子先行的步可以追及兔子先行的7070步。由于狗、兔都是勻速步。由于狗、兔都是勻速運(yùn)動(dòng)，即在相同的時(shí)間里狗、兔行走的距離之比是不變的。運(yùn)動(dòng)，即在相同的時(shí)間里狗、兔行走的距離之比是不變的。設(shè)狗再行x步就可以追上兔子，顯然有所以7025030 x7110772530 x即狗再行步71107就可以追上兔子。1 1、今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺，欲匹率、今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺，欲匹率之，問匹幾何之，問匹幾何? ?提示：一匹提示：一匹=40尺尺2 2、今有人盜馬乘去，已行三十七里，馬主乃覺，追、今有人盜馬乘去，已行三十七里，馬主乃覺，追之一百四十五里，不及二十三里而還，今復(fù)還追之，之一百四十五里，不及二十三里而還，今復(fù)還追之，問幾何里及之？問幾何里及之？術(shù)曰：置不及里數(shù)，以馬