數學建模練習試題

1、1、放射性廢料的處理問題美國原子能委員會以往處理濃縮的放射性廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為90多米的海底。生態(tài)學家和科學家們表示擔心，怕圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。原子能委員會分辨說這是不可能的。為此工程師們進行了碰撞實驗。發(fā)現當圓桶下沉速度超過12.2 m/s 與海底相撞時，圓桶就可能發(fā)生碰裂。這樣為避免圓桶碰裂，需要計算一下圓桶沉到海底時速度是多少? 這時已知圓桶重量為239.46 kg，體積為0.2058m3，海水密度為1035.71kg/m3，如果圓桶速度小于12.2 m/s就說明這種方法是安全可靠的，否則就要禁止使用這種方法來處理放

2、射性廢料。假設水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數k=0.6?，F要求建立合理的數學模型，解決如下實際問題：1. 判斷這種處理廢料的方法是否合理?2. 一般情況下，v大，k也大；v小，k也小。當v很大時，常用kv來代替k，那么這時速度與時間關系如何? 并求出當速度不超過12.2 m/s，圓桶的運動時間和位移應不超過多少? (的值仍設為0.6)魚雷攻擊問題在一場戰(zhàn)爭中，甲方一潛艇在乙方領海進行秘密偵察活動。當甲方潛艇位于乙方一潛艇的正西100千米處，兩方潛艇士兵同時發(fā)現對方。甲方潛艇開始向正北60千米處的營地逃跑，在甲方潛艇開始逃跑的同時，乙方潛艇發(fā)射了魚雷進行追蹤攻擊。假設甲方潛艇與乙方魚雷

3、是在同一平面上進行運動。已知甲方潛艇和乙方魚雷的速度均勻且魚雷的速度是甲方潛艇速度的兩倍。試建立合理的數學模型解決以下問題:1) 求魚雷在追蹤攻擊過程中的運動軌跡；       2) 確定甲方潛艇能否安全的回到營地而不會被乙方魚雷擊中3、貸款買房問題某居民買房向銀行貸款6萬元，利息為月利率1%，貸款期為25年，要求建立數學模型解決如下問題：        1) 問該居民每月應定額償還多少錢？2) 假設此居民每月可節(jié)余700元，是否可以去買房?4、養(yǎng)老保險問題養(yǎng)老保險

4、是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案以供選擇，分析保險品種的實際投資價值。某保險公司的一份材料指出：在每月交費200元至60歲開始領取養(yǎng)老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時月養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元. 試求出保險公司為了兌現保險責任，每月至少應有多少投資收益率(也就是投保人的實際收益率)?5、生物種群數量問題種群的數量問題是當前世界上引起普遍關注的一個問題。要預測未來種群的數量，最重要的影響因素是當前的種群數量，今后一段時間內種群的增長狀況和環(huán)境因素。由于隨著種群數量增加到一定的程度后，種群在有限的生存空間進行競爭

5、，種群的增長狀況會隨著種群數量的增加而減少，而且在有限的生存空間，種群數量也不可能無限增長，假設只能達到某一固定的數量值記為xm，稱為最大種群容量。又假設單位時間內種群數量的增長量與當時種群數量的比記為：r(x)=r-sx, r,s>0， 其中r相當于x=0時的增長率，稱為固有增長率，記當前 (即t=0時)種群數量為x0，時刻 種群數量為x(t)。若利用統計數據可知xm，r，x0，則 1）設x(t)為連續(xù)、可微函數，請給出未來時間里種群數量滿足的數學模型。2）由于某些種群是在固定的一段時間內進行繁殖，所以可用種群繁殖周期作為時間段來研究其增長狀況。請給出未來時間里這類種群數量應滿足的離散

6、數學模型。6、生產設備的最大經濟效益某工廠購買了一臺新設備投入到生產中。一方面該設備隨著運行時間的推移其磨損程度愈來愈大，因此其轉賣價將隨著使用設備的時間增加而減??；另一方面生產設備總是要進行日常保養(yǎng)，花費一定的保養(yǎng)費，保養(yǎng)可以減緩設備的磨損程度，提高設備的轉賣價。那么，怎樣確定最優(yōu)保養(yǎng)費和設備轉賣時間，才能使這臺設備的經濟效益最大。7、產品最佳價格調整問題物價管理部門根據市場預測和經濟協調發(fā)展的需要，決定將A產品的單位價格P(t)由現在的p0=70元調整到p1=70元，并要求各公司自行在一年內完成這一調價任務。某公司經營A產品多年，深知每周A產品的銷售量S與其價格P和價格變化率有著密切的聯系

7、，他想利用這種關系制定一個A產品的調價方案，使全年經營A產品的總利潤最大。在如下假設條件下： (1) 物價部門對A產品的調價決策是積極的、正確的，在一年內（調價期）不會發(fā)生對A產品的其它調價決策，A產品在市場上的供求矛盾不會出現大的變化； (2) 某公司經理多年經營A產品關于“每周銷售量S與其價格的P和價格變化率p的關系”的信息是可靠的，不妨假設S=(S,P)； (3) 某公司生產A產品的能力足以滿足市場需求。 設每周生產S件A產品的生產費用是C(S)；   (4) 函數S=(S,P)和C(S)由統計方法擬合成連續(xù)可微函數?，F查閱統計資料得到S=(S,P)=P+100 P+

8、100,C(S)=0.5S2+2S+40經過核實， 這兩個具體函數符合公司的實際情況； (5) 約定一年以52周計。在調價期資金流動的時間價值忽略不計。請建立合理的數學模型為該公司的A產品制定最佳調價方案，并計算在最佳調價方案下的全年最大利潤值。8、最佳投資企業(yè)的優(yōu)選問題某投資銀行擬對某市3家企業(yè)(記為X1, X2, X3, X4)進行投資, 抽取5項主要指標進行評估: C1: 年產值(單位:千萬元)；C2:社會效益(單位:千萬元)；C3：生產能力；C4：管理能力；C5：技術能力。評估專家組考察了3家企業(yè)2003年-2005年三個年度在5個指標下的具體情況，考察的指標值見表1, 其中前2個指標

9、信息是各企業(yè)的精確數據, 后3個指標信息是評估專家組經考察后的定性結論。各評價指標權重已知W=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。試建立數學模型確定投資銀行的最佳投資企業(yè)。表1 各企業(yè)分年度指標信息情況表指標200320042005X1X2X3X4X1X2X3X4X1X2X3X4C15.66.15.86.55.85.76.26.35.75.96.56.9C22.73.02.82.93.02.83.33.12.93.53.23.2C3高很高一般一般很高高高一般高很高高很高C4一般一般高很高高很高高很高高很高一般很高C5高一般很高一般高一般高一般高一般高一般9、棋子顏色變化問題任取n枚黑白

10、兩色的棋子，任意擺成一個圈；在兩個顏色相同的棋子中間插入一枚黑色棋子，在兩個顏色相異的棋子中間插入一枚白色棋子，然后去掉原來的棋子，新棋子仍構成一個圈；繼續(xù)如此做下去。如果經n 次這樣的操作后，棋子全變?yōu)楹谏?，那么，n 應滿足什么條件。請給出證明過程。10、人口預測問題如果要推測中國15億人口，有哪些方法？你用的是什么方法，結果如何？11、點菜問題我們在餐館中點菜， 需要包含某些營養(yǎng)成份，但同時又希望總價格最低。下表是這個餐館的部分菜單，請你通過數學建模方法，提供合理的選菜方案。 序號菜單價格(元 )蛋白質淀粉維生素礦物質1菜肉蛋卷1810112炒豬肝21.501013色拉12.500104

11、紅燒排骨2310005咖喱土豆10.501006清湯全雞32100112、初等模型練習1 以下是一個數學游戲：(1) 甲先說一個不超過6的正整數，乙往上加一個不超過6的正整數，甲再往上加一個正整數，.，如此繼續(xù)下去。規(guī)定誰先加到50誰就獲勝，問甲、乙各應怎樣做？(2) 如將6改為n，將50改為N，問題又當如何回答？ 2 甲乙兩人約定中午12：00至1：00之間在市中心某地見面，但兩人講好到達后只等待對方10分鐘，求這兩人能相遇的概率。3 某人由A處到位于某河流同側的B處去，途中需要去河邊取些水，問此人應如何走才能使走的總路程最少？4 地面是球面的一部分，（直徑約為12.72×10公里

12、 ），顯然，如果高層建筑的墻是完全垂直于地面的則它們之間必不會平行。設一建筑物高為400米，地面面積為2500平方米，問頂面面積比地面面積大多少？5 建一模型說明當你在雨中行走又想少淋雨時，應當如下做：(1)若你行走的方向是順風且雨的夾角至少為 ，你應以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對于你是垂直下落的（2）在其他情況下，你都應以最快的速度行走。6 消防隊員救火時不應離失火的房屋太近，以免發(fā)生危險。請建模分析并求出消防隊員既安全又能發(fā)揮效應的最佳位置。7 已知在氣體中音速V與氣壓P、氣體的密度有關，試求它們之間的關系。      

13、8 風車的功率P與風速v、葉面的頂風面積S及空氣的密度有關，試求它們之間的關系。13、邏輯模型練習1 證明在7階兩色完全圖中必存在4個3階單色完全圖2 9名學者參加一次國際會議，他們發(fā)現：（1）任意3人中至少有兩人可以用同一語言交談（2）每人會講的語言至多為3種，（注意：并非他們只會將三種語言）證明他們中至少有3人可用同一語言交談。3 將一個正九邊形連接成完全圖，用兩種顏色對此完全圖的頂點著色。證明：不論怎樣著色，總可以從此完全圖中找到兩個全等三角形，他們的頂點是由同一種顏料著色的。4 給九個定點的完全圖用紅藍兩種顏色對邊著色，如果所含的任意三角形中至少含有一條紅邊，證明：必可找到四個頂點，他

14、們之間的連線均為紅邊，（即其中必含有一個用紅邊連成的4階完全圖）。5 在一次9個人的聚會中，發(fā)現其中任意三人至少有兩人相識，證明從這9人中必可找出4人，他們是兩兩相識的。6 某教室中共有9排椅子，每排均有7把，學生恰好坐滿教室?，F教師要求每一學生都必須與其前、后、左、右的同學之一交換座位。請你給出一種交換方法或證明老師的要求是無法實現的。7 某公司場地如交給甲經營預計年獲利為10萬元，交給乙經營預計年獲利為50萬元，交給丙經營預計獲利為60萬元，如交給甲乙丙共同經營預計獲利為100萬元。試用Shapley公式計算，在甲乙丙共同經營時各方應分配到的利益。8 設某議會的席位由三個黨派所擁有，法律規(guī)

15、定贊成票達到半數時提案即被通過。試證明：（1）只要有一個黨派的席位達到總席位的一半，則其余兩個黨派在議會中事實上根本不起作用。（2）若三個黨派所擁有的席位數均未達到一半，則三個黨派在議會中所起的作用完全相同，（不論它擁有多少席位）。9 猜數是最古老的數學游戲之一，有各種各樣的玩法。下面的猜數游戲比較簡單：甲先想好一個不超過三位（0999之一）的數字讓乙猜。在猜數時甲可以隨便改變自己想好的數，但不能與此前已經回答過的問題相矛盾。乙可提問題，但甲只回答是或者不是。（1）試計算乙最少要提問幾次，才能講出甲的數字。（2）設計一個使乙能通過最少次數提問而講出甲想的數字的提問方法。  

16、      10 在例16偽幣鑒定的實驗中，第二次測試是最關鍵的一步，請考慮一下我們?yōu)槭裁匆@樣設計測試。我們有這樣的把握，如果用這種方法也無法保證在三次測試里一定鑒定出偽幣，則不可能有方法保證在三次測試后一定找到偽幣。你知道原因嗎？14、標靶設計擲飛鏢是一種流行的游戲，一個圓形標靶被分成20個相等的扇形區(qū)域，在這些區(qū)域填有數字1 20 表示飛鏢落在相應區(qū)域的得分，游戲規(guī)則是各選手輪流擲鏢，每輪的得分從他的總分301中減去，首先恰好減至0分者獲勝，試建立模型說明如何安排扇形區(qū)域的數字能增加擲鏢的難度。15、鐵路列車時刻表問題全國性的鐵路網由幾條

17、干線和許多支線組成，編排完整的列車運行時刻表的工作量非常巨大，通常需要先單獨編排每條干線上的列車運行時刻表。設已知某條干線上的站點分布、車速限制、車距限制、運行車次及每次車的?？空军c等數據，建立編排該干線上的列車運行時刻表的數學模型。16、湖水污染問題設一容積為V（m3）的大湖受到某種物質的污染，污染物均勻地分布在湖中，沒湖水更新的速率為r(m3/天)，并假設湖水的體積沒有變化，試建立湖水污染濃度的數學模型。(1) 美國安大略湖容積5941*109(m2)，湖水的流量為4.45365*1010(m3/天)。湖水現階段的污染濃度為104，外面進入湖中的水的污染濃度為5%，并假設該值沒有變化，求經過500天湖水污染濃度。        (2) 美國密西根湖的容積為4871*109（m2）。湖水的流量為3.6635132*1010(m3/天).。由于治理污染措施得力及某時刻起污染源被切斷，求污染被中止后，污染物濃度下降到原來的5%所需時間。17、自行車外胎的使用壽命目前，自行車在我國是一種可缺少的交通工具。它小巧、靈活、方便、易學，而且價格適中，給廣大居民帶來了不小的益處。但是，自行車也有令人頭痛的地方，最常見的問題莫過于扎胎