泛函分析知識(shí)點(diǎn)

1、泛函分析知識(shí)點(diǎn)知識(shí)體系概述（一）、度量空間和賦范線(xiàn)性空間第一節(jié) 度量空間的進(jìn)一步例子1. 距離空間的定義：設(shè)X是非空集合，若存在一個(gè)映射d：X×XR，使得x,y,zX,下列距離公理成立：（1） 非負(fù)性：d(x,y)0，d(x,y)=0x=y;（2） 對(duì)稱(chēng)性：d(x,y)=d(y,x);（3） 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y);則稱(chēng)d(x,y)為x與y的距離，X為以d為距離的距離空間，記作（X，d）2.幾類(lèi)空間例1 離散的度量空間例2 序列空間S例3 有界函數(shù)空間B(A)例4 可測(cè)函數(shù)空M(X)例5 Ca,b空間 即連續(xù)函數(shù)空間例6 l2第二節(jié) 度量空間中的極限，稠密

2、集，可分空間1. 開(kāi)球定義 設(shè)（X,d）為度量空間，d是距離，定義U(x0, )x X | d(x, x0) <為x0的以為半徑的開(kāi)球，亦稱(chēng)為x0的一領(lǐng)域.2. 極限定義 若xn X, xX, s.t. 則稱(chēng)是點(diǎn)列xn 的極限.3. 有界集定義 若，則稱(chēng)A有界4. 稠密集定義 設(shè)X是度量空間，E和M是X中兩個(gè)子集，令表示M的閉包，如果,那么稱(chēng)集M在集E中稠密，當(dāng)E=X時(shí)稱(chēng)M為X的一個(gè)稠密集。5. 可分空間定義 如果X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱(chēng)X是可分空間。第三節(jié) 連續(xù)映射1.定義 設(shè)X=(X,d),Y=(Y, )是兩個(gè)度量空間，T是X到Y(jié)中映射，x0,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，使

3、對(duì)X中一切滿(mǎn)足的x，有，則稱(chēng)T在連續(xù).2.定理1 設(shè)T是度量空間（X,d）到度量空間中的映射，那么T在連續(xù)的充要條件為當(dāng)時(shí)，必有3.定理2 度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射的充要條件為Y中任意開(kāi)集M的原像是X中的開(kāi)集.第四節(jié) 柯西（cauchy）點(diǎn)列和完備度量空間1.定義 設(shè)X=(X,d)是度量空間，是X中點(diǎn)列，如果對(duì)任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù),使當(dāng)n,m>N時(shí)，必有，則稱(chēng)是X中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列。如果度量空間（X,d）中每個(gè)柯西點(diǎn)列都在（X,d）中收斂，那么稱(chēng)（X,d）是完備的度量空間.【注意】（1）Q不是完備集 （2）完備 （3）cauchy列不一定收斂，但收斂列一定是cau

4、chy列. （4）Ca,b完備2.定理 完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件為M是X中的閉子空間.第五節(jié) 度量空間的完備化1.定義 設(shè)（X,d）,( ,)是兩個(gè)度量空間，如果存在X到上的保距映射T，即，則稱(chēng)（X,d）和( ,)等距同構(gòu)，此時(shí)T稱(chēng)為X到上等距同構(gòu)映射。2.定理1（度量空間的完備化定理） 設(shè)X=（X,d）是度量空間，那么一定存在一完備度量空間=( ,)，使X與的某個(gè)稠密子空間W等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若( ,)也是一完備度量空間，且X與的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則( ,)與( ,)等距同構(gòu)。3.定理1 設(shè)X=（X,d）是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間

5、=( ,)，使X為的稠密子空間。第六節(jié) 壓縮映射原理及其應(yīng)用1.定義 設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個(gè)數(shù)，0<<1，使得對(duì)所有的, ,則稱(chēng)T是壓縮映射。2. 定理1（壓縮映射定理）（即Barnach不動(dòng)點(diǎn)定理） 設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（就是說(shuō)，方程Tx=x,有且只有一個(gè)解）.補(bǔ)充定義：若Tx=x,則稱(chēng)x是T的不動(dòng)點(diǎn)。 x是T的不動(dòng)點(diǎn)x是方程Tx=x的解。3. 定理2 設(shè)函數(shù)在帶狀域 中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù).如果還存在常數(shù)m和M滿(mǎn)足 ,則方程在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解： 第七節(jié) 線(xiàn)性空間1.定義1 設(shè)X是一

6、非空集合，在X中定義了元素的加法運(yùn)算和實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）與X中元素的乘法運(yùn)算，滿(mǎn)足下列條件：（1）關(guān)于加法成為交換群，即對(duì)任意x,yX，存在uX與之相對(duì)應(yīng)，記為u=x+y,稱(chēng)為x和y的和，滿(mǎn)足1）；2）；3）在X中存在唯一元素，使對(duì)任何,成立，稱(chēng)為X中零元素；4）對(duì)X中每個(gè)元素x，存在唯一元素，使，稱(chēng)為的負(fù)元素，記為；（2）對(duì)于X中每個(gè)元素，及任意實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）a，存在元素u與之對(duì)應(yīng)，記為，稱(chēng)為a與x的數(shù)積，滿(mǎn)足1）；2）對(duì)任意實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）a和b成立；3），則稱(chēng)X按上述加法和數(shù)乘運(yùn)算成為線(xiàn)性空間或向量空間，其中的元素稱(chēng)為向量。如果數(shù)積運(yùn)算只對(duì)實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）有意義，則稱(chēng)X是實(shí)（復(fù)）線(xiàn)性空間。例1 R

7、n,對(duì)Rn中任意兩點(diǎn)x=(1,2,n ),y=(1,2,n)和任何實(shí)(復(fù))數(shù)a,定義x+y=(1 +1,2 +2,n +n),ax=(a1 ,a2,an).容易驗(yàn)證Rn按上述加法和數(shù)乘運(yùn)算成實(shí)(復(fù))線(xiàn)性空間.2.定義2 設(shè)x1 ,x2,xn 是線(xiàn)性空間X中的向量,如果存在n個(gè)不全為零的數(shù)1,2,n,使1 x1 +2 x2 +nxn =0, (1)則稱(chēng)x1,x2 ,xn 線(xiàn)性相關(guān),否則稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān).不難看出,x1,x2,xn 線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件為,若,必有1 =2 =n =0.3.定義3 設(shè)M是線(xiàn)性空間X的一個(gè)子集,如果M 中任意有限個(gè)向量都線(xiàn)性無(wú)關(guān),則稱(chēng)M 是X中線(xiàn)性無(wú)關(guān)子集.設(shè)M 和L為X中

8、兩個(gè)子集,若M 中任何向量與L中任何向量都線(xiàn)性無(wú)關(guān),則稱(chēng)M和L線(xiàn)性無(wú)關(guān).4.定義4 設(shè)X是線(xiàn)性空間, M 是X中線(xiàn)性無(wú)關(guān)子集,如果·spanM= X,則稱(chēng)M 的基數(shù)為X的維數(shù),記為dim X, M 稱(chēng)為X的一組基.如果M 的基數(shù)為有限數(shù),則稱(chēng)X是有限維線(xiàn)性空間,否則稱(chēng)X是無(wú)限維線(xiàn)性空間.如果X只含零元素,稱(chēng)X為零維線(xiàn)性空間.第八節(jié) 賦范線(xiàn)性空間和巴拿赫（Banach）空間1.定義1 設(shè)X是實(shí)(或復(fù))的線(xiàn)性空間,如果對(duì)每個(gè)向量xX,有一個(gè)確定的實(shí)數(shù),記為x與之對(duì)應(yīng),并且滿(mǎn)足:1°x0,且x=0等價(jià)于x=0;2°x=|x其中為任意實(shí)(復(fù))數(shù);3°x+yx+y

9、,x,yX,則稱(chēng)x為向量x的范數(shù),稱(chēng)X按范數(shù)x成為賦范線(xiàn)性空間.2. 引理1(Hlder不等式) 設(shè)p>1, ，那么f(t)g(t)在a,b上L可積,并且3引理2(Minkowski不等式) 設(shè)p1,f,gLpa,b,那么f+gLpa,b,并且成立不等式f+gp fp +gp4. 定理1 當(dāng)p1時(shí),Lpa,b按(6)中范數(shù)fp 成為賦范線(xiàn)性空間.5. 定理2 Lp a,b(p1)是Banach空間.6. 定理3 設(shè)X是n維賦范線(xiàn)性空間,e1,e2,en是X的一組基,則存在常數(shù)M 和M,使得對(duì)一切成立 .7. 推論1 設(shè)在有限維線(xiàn)性空間上定義了兩個(gè)范數(shù)x和x1 ,那么必存在常數(shù)M 和M,使

10、得Mxx1 Mx.8. 定義2 設(shè)(R1,x1 )和(R2 ,x2 )是兩個(gè)賦范線(xiàn)性空間.如果存在從R1 到R2 上的線(xiàn)性映射和正數(shù)c1 ,c2,使得對(duì)一切xR1,成立c1 x2 x1 c2 x2則稱(chēng)(R1 ,x1)和(R2,x2 )這兩個(gè)賦范空間是拓?fù)渫瑯?gòu)的.8. 推論2 任何有限維賦范空間都和同維數(shù)歐氏空間拓?fù)渫瑯?gòu).相同維數(shù)的有限維賦范空間彼此拓?fù)渫瑯?gòu).(二)有界線(xiàn)性算子和連續(xù)線(xiàn)性泛函第一節(jié) 有界線(xiàn)性算子和連續(xù)線(xiàn)性泛函定義1 設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)(或復(fù))的線(xiàn)性空間,D是X的線(xiàn)性子空間,T為D到Y(jié)中的映射,如果對(duì)任何x,yD,及數(shù),有T(x+y)= Tx+ Ty, (1)T(x)=Tx, (

11、2)則稱(chēng)T為D到Y(jié)中的線(xiàn)性算子,其中D稱(chēng)為T(mén)的定義域,記為D(T),TD稱(chēng)為T(mén)的值域,記為R(T),當(dāng)T取值于實(shí)(或復(fù))數(shù)域時(shí),就稱(chēng)T為實(shí)(或復(fù))線(xiàn)性泛函. 定義2 設(shè)X和Y是兩個(gè)賦范線(xiàn)性空間,T是X的線(xiàn)性子空間D(T)到Y(jié) 中的線(xiàn)性算子,如果存在常數(shù)c,使對(duì)所有xD(T),有Txcx, (3)則稱(chēng)T是D(T)到Y(jié)中的有界線(xiàn)性算子,當(dāng)D(T)= X時(shí),稱(chēng)T為X到Y(jié)中的有界線(xiàn)性算子,簡(jiǎn)稱(chēng)為有界算子.對(duì)于不滿(mǎn)足條件(3)的算子,稱(chēng)為無(wú)界算子.本書(shū)主要討論有界算子.定理1 設(shè)T是賦范線(xiàn)性空間X到賦范線(xiàn)性空間Y中的線(xiàn)性算子,則T為有界算子的充要條件為T(mén)是X上連續(xù)算子.定理2 設(shè)X是賦范線(xiàn)性空間,f是X上線(xiàn)性泛函,那么f是X上連續(xù)泛函的充要條件為f的零空間N(f)是X中的閉子空間定義3 T為賦范線(xiàn)性空間X的子空間D(T)到賦范線(xiàn)性空間Y中的線(xiàn)性算子,稱(chēng) (4)為算子T在D(T)上的范數(shù).引理1 設(shè)T是D(T)上有界線(xiàn)性算子,那么 （6）. 有界線(xiàn)性算子和連續(xù)線(xiàn)性泛函的例子例6 賦范線(xiàn)性空間X上的相似算子Tx=x是有界線(xiàn)性算子,且T=|,特別IX =1,O=0.第二節(jié) 有界線(xiàn)性算子空間和共軛空間. 有界線(xiàn)性算子全體所成空間定理1 當(dāng)Y是Bana