漸開線與擺線

1、四四 漸開線與擺線漸開線與擺線參數(shù)方程中曲線欣賞參數(shù)方程中曲線欣賞 - -漸開線與擺線漸開線與擺線教學目標教學目標:1.了解圓的漸開線的參數(shù)方程了解圓的漸開線的參數(shù)方程2.了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程3.學習用向量知識推導運動軌跡曲線的方法和步驟學習用向量知識推導運動軌跡曲線的方法和步驟1、漸開線的定義探究：探究： 把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線。而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線

2、。 這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？動點（筆尖）滿足什么幾何條件？動點（筆尖）滿足什么幾何條件？ABMO設(shè)開始時繩子外端（筆尖）位于點A，當外端展開到點M時，因為繩子對圓心角 的一段弧AB，展開后成為切線，所以 切線BM的長就是AB的長，這是動點（筆尖）滿足的幾何條件。我們把筆尖畫出的曲線叫做我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓。漸開線的基圓。ABMOxy2 2、漸開線的參數(shù)方程、漸開線的參數(shù)方程 以基圓圓心以基圓圓心O為原點，直線為原點，直線OA為為x軸，建立平面軸，建立平面直角坐標系。直

3、角坐標系。設(shè)基圓的半徑為設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端，繩子外端M的坐標為（的坐標為（x，y）。）。顯然，點顯然，點M由角由角 唯一確定。唯一確定。B取 為參數(shù)，則點 的坐標為（rcos ,rsin ）,從而(cos ,sin),|.BMxryrBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是與同方向的單位向量，2(sin , cos )eBM 因而向量是與向量同方向的單位向量。2| (),BMre 所以即| (cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr (cossin )()(sincos )xryr解得 是參數(shù) 。這就是這就是圓的漸開線的參數(shù)方程圓的漸開線的參數(shù)方程。3 3、

4、漸開線的參數(shù)方程、漸開線的參數(shù)方程ABMOxy(cossin )()(sincos )xryr是參數(shù) 。漸開線的應(yīng)用：漸開線的應(yīng)用：由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安裝較為方便，由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安裝較為方便，因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。設(shè)計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。設(shè)計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。 在機械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。在機械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。4、擺線的定義思考：思考：P43P43 如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那么自行車在筆直如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那么自行車

5、在筆直的道路上行使時，白色印記會畫出什么樣的曲線？的道路上行使時，白色印記會畫出什么樣的曲線？同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓周上的這個動點滿足的幾何條件。同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓周上的這個動點滿足的幾何條件。我們把點我們把點M的軌跡叫做的軌跡叫做平擺線平擺線，簡稱，簡稱擺線擺線，又叫，又叫旋輪線。旋輪線。 上述問題抽象成數(shù)學問題就是：上述問題抽象成數(shù)學問題就是：當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上一個定點的軌跡是什么？上一個定點的軌跡是什么？OABMOAMAOAr線段的長等于的長，即。 擺線在它與定直線擺線在它與定直線的兩個相

6、鄰交點之間的兩個相鄰交點之間的部分叫做的部分叫做一個拱一個拱。xyO DAEBMC5 5、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程OABM 根據(jù)點根據(jù)點M滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為X軸，定點軸，定點M滾動時落在定滾動時落在定直線上的一個位置為原點，建立直角坐標系。直線上的一個位置為原點，建立直角坐標系。設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r。MxAB設(shè)開始時定點在原點，圓滾動了 角后與 軸相切于點 ，圓心在點 。MABxCD從點分別做， 軸的垂線，垂足分別是 ， 。( , ),Mx yM設(shè)點的坐標為取 為參數(shù)，根據(jù)點滿足的幾何條件，有sin ,xODOADAOAMCrrcos .yDMACABCBrr所以，擺線的參數(shù)方程為：所以，擺線的參數(shù)方程為：(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)xyO DAEBMC6 6、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程OABM(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)擺線的參數(shù)方程為：擺線的參數(shù)方程為：思考：思考：P44P44 在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù) 的取值