電動(dòng)力學(xué)電子教案

1、電動(dòng)力學(xué)電子教案第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 本章主要是從基本實(shí)驗(yàn)定律出發(fā)建立麥克斯韋本章主要是從基本實(shí)驗(yàn)定律出發(fā)建立麥克斯韋方程組方程組,討論邊值關(guān)系及電介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程和討論邊值關(guān)系及電介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程和洛倫茲力公式洛倫茲力公式.這些內(nèi)容是本書以后各章論述電磁這些內(nèi)容是本書以后各章論述電磁場的理論依據(jù)。場的理論依據(jù)。1 電荷和電場xrRxxxr1、庫侖定律、庫侖定律OQQ相對(duì)于觀察者靜止的兩個(gè)相對(duì)于觀察者靜止的兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用，點(diǎn)電荷之間的相互作用，在真空中的數(shù)學(xué)表示式為在真空中的數(shù)學(xué)表示式為2014QQFR30()4QQQQxxFxx電荷作用在電荷 上的力為庫侖定律要求：庫侖定

2、律要求：1 電荷必須是點(diǎn)性的；電荷必須是點(diǎn)性的；2 電荷相對(duì)于觀察者電荷相對(duì)于觀察者必須處于靜止?fàn)顟B(tài)。必須處于靜止?fàn)顟B(tài)。庫侖定律的主要物理內(nèi)容是：庫侖定律的主要物理內(nèi)容是：1庫侖力是距離的平方反比定庫侖力是距離的平方反比定律。律。2電荷在其效果上具有可加性。電荷在其效果上具有可加性。電場強(qiáng)度矢量定義電場強(qiáng)度矢量定義0( )( )F xE xQ一個(gè)靜止點(diǎn)電荷激發(fā)的電場為一個(gè)靜止點(diǎn)電荷激發(fā)的電場為30()( )4QxxE xxx若電荷連續(xù)分布在某一區(qū)域內(nèi)若電荷連續(xù)分布在某一區(qū)域內(nèi)3001( )()( )411( )4VVxxxE xdVxxxdVxx 2、高斯定理和電場的散度、高斯定理和電場的散度

3、001iVQE dSE dSdV高斯定理高斯定理依據(jù)矢量場散度的定義依據(jù)矢量場散度的定義0E3、靜電場的旋度、靜電場的旋度依據(jù)庫侖定律，在點(diǎn)電荷激發(fā)的電場中任取一閉依據(jù)庫侖定律，在點(diǎn)電荷激發(fā)的電場中任取一閉合回路，有合回路，有0E dl 根據(jù)矢量場旋度的定義根據(jù)矢量場旋度的定義0E靜電場是無旋靜電場是無旋場場例例 電荷電荷Q均勻分布于半徑為均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場的散度。并由此直接計(jì)算電場的散度。解：以球心為原點(diǎn)作球坐標(biāo)系，由于對(duì)稱性，空間各點(diǎn)的電場解：以球心為原點(diǎn)作球坐標(biāo)系，由于對(duì)稱性，空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度沿徑向，半徑相同面上

4、場強(qiáng)大小相等。由高斯定理可知強(qiáng)度沿徑向，半徑相同面上場強(qiáng)大小相等。由高斯定理可知303044QrraErQrraEa當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)計(jì)算電場的散度計(jì)算電場的散度ra當(dāng)時(shí)321rrrr221（r）=0r3004QrEr因而因而33000344QQraEraa當(dāng)時(shí)2 電流和磁場電流和磁場1、電荷守恒定律、電荷守恒定律電流區(qū)域內(nèi)電流的分布是用電流密度矢量表示的。電流區(qū)域內(nèi)電流的分布是用電流密度矢量表示的。電流密度和電流強(qiáng)度的關(guān)系為電流密度和電流強(qiáng)度的關(guān)系為( )( )SdIJ xdSIJ xdS在任何物理過程中，在任何物理過程中，“一個(gè)封閉系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)封閉系統(tǒng)內(nèi)”的電荷不能憑空產(chǎn)生，也不能的電荷不能憑空產(chǎn)生，

5、也不能憑空消滅，這個(gè)規(guī)律稱為電荷守恒定律。憑空消滅，這個(gè)規(guī)律稱為電荷守恒定律。依據(jù)這個(gè)定律依據(jù)這個(gè)定律SVJ dSdVt 0Jt這是電荷守恒定律的積分形式。應(yīng)用高斯定理即得微分形式這是電荷守恒定律的積分形式。應(yīng)用高斯定理即得微分形式在恒定電流情況下，方程為在恒定電流情況下，方程為0J2、畢奧-薩伐爾定律03()4LLIdlI dlxxFxx 在真空中回路電流在真空中回路電流I作用在回路電流作用在回路電流I上的的力為上的的力為稱為安培定律稱為安培定律IxrIdlI dl xrRxxI電流激發(fā)磁場，磁場對(duì)位于場中的電流施電流激發(fā)磁場，磁場對(duì)位于場中的電流施力作用。力作用。改寫安培定律為改寫安培定律

6、為03()4LLI dlxxFIdlxx ( )B x方括號(hào)中的量是描寫磁場特征的量，通常稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。用矢量表示03()( )4LI dlxxB xxx 這一關(guān)系式稱為畢奧這一關(guān)系式稱為畢奧-薩伐爾定律薩伐爾定律對(duì)于分布電流對(duì)于分布電流30301( )4( )4VBj xd xxxj xd xxx 3、磁場的環(huán)量和旋度、磁場的環(huán)量和旋度30330( ) ()41( )4VVj xxxBd xxxj xd xxx 對(duì)此式兩對(duì)此式兩邊取旋度邊取旋度303230033002300( )411( )( )441( )( ) ()4( )( )( )4Sj xBd xxxj xd xj xd x

7、xxxxj xd xj xxx d xxxj x d xj xd xj xxxxx 3()xx d x0( )( )B xj x相應(yīng)的積分形式是相應(yīng)的積分形式是30( )4j xBd xxx將兩邊取散度0LSB dlj dS0B積分形式積分形式0SB dS 01fR例題 ：一個(gè)半徑為 的均勻帶電的薄導(dǎo)體球殼，以恒定速度 繞一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，其面電荷密度為。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。dBdS0RxyzO解解:由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的等效面電流分布由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的等效面電流分布00sinffzRffeR eRedS 電流元在球心處激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0030004sin4ffdSRdBRdSR R（-e ）（-e ）利用

8、球坐標(biāo)基矢與笛卡兒基矢的關(guān)系得利用球坐標(biāo)基矢與笛卡兒基矢的關(guān)系得20000223000000cossincos4sinsincossin23fxyzfzRBdd edd edd eR e 例題例題2 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為a的通有穩(wěn)恒電流為的通有穩(wěn)恒電流為I的無限長中空?qǐng)A柱體的無限長中空?qǐng)A柱體,其中空部分其中空部分也是圓柱形也是圓柱形,半徑為半徑為b,但二者不同軸但二者不同軸,其中心距為其中心距為c.求求:(1)空間各點(diǎn)的磁場空間各點(diǎn)的磁場B(2)空間各點(diǎn)處空間各點(diǎn)處B的散度及旋度的散度及旋度2x1x( )P xRaBbB( ,0)O cboR解解:將系統(tǒng)看成兩個(gè)柱體將系統(tǒng)看成兩個(gè)柱體,通以電流

9、密度通以電流密度大小相同而方向相反的電流大小相同而方向相反的電流,其中半徑其中半徑為為a的柱體電流與原電流同向的柱體電流與原電流同向,由安培環(huán)由安培環(huán)路定律知路定律知2022022()2 ()0()2 ()2a IeR aabRaaIReR aabIBeR2022022()2 ()0()2 ()()2b IeRbabRbbIReRbabIBeR所求磁場為所求磁場為2212222121211222221212()()()baababB xB xBBBexcxxxB xB xcexxxcx2201122222212122112222212122022 1222212211222122 ()()()

10、() 12 ()()()()RaIabBeabxxxcxa xxcexxxcxRbRaIbBx eabxcxbxcxexcx 當(dāng)時(shí)當(dāng)，時(shí)032222 ()RbRaIBeab 當(dāng)，時(shí)(2)對(duì)于磁場散度和旋度對(duì)于磁場散度和旋度,直接運(yùn)算有直接運(yùn)算有123130202200()zBBBBBIBejab 3 麥克斯韋方程組sdB dSdt 1、電磁感應(yīng)定律、電磁感應(yīng)定律在任何一個(gè)閉合導(dǎo)體回路內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢只與穿過回路所在任何一個(gè)閉合導(dǎo)體回路內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢只與穿過回路所圍面積的磁感應(yīng)通量的時(shí)間變率成正比，而與其它因素?zé)o關(guān)。圍面積的磁感應(yīng)通量的時(shí)間變率成正比，而與其它因素?zé)o關(guān)。在真空中的數(shù)學(xué)表示為

11、在真空中的數(shù)學(xué)表示為負(fù)號(hào)是楞次定律的數(shù)學(xué)表示負(fù)號(hào)是楞次定律的數(shù)學(xué)表示導(dǎo)體中電荷的定向運(yùn)動(dòng)總是電場推動(dòng)的導(dǎo)體中電荷的定向運(yùn)動(dòng)總是電場推動(dòng)的lsdE dlB dSdt 若回路不動(dòng)，則式中對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)可以用偏導(dǎo)數(shù)表示若回路不動(dòng)，則式中對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)可以用偏導(dǎo)數(shù)表示BEt lsBE dldSt 應(yīng)用斯托可斯定理應(yīng)用斯托可斯定理2、位移電流、位移電流00BJJ在穩(wěn)恒電流情況下在穩(wěn)恒電流情況下但在非穩(wěn)恒情況下，安培環(huán)路定律和電荷守恒定律不相容但在非穩(wěn)恒情況下，安培環(huán)路定律和電荷守恒定律不相容考慮到電荷守恒定律和時(shí)變電荷與時(shí)變電場的關(guān)系考慮到電荷守恒定律和時(shí)變電荷與時(shí)變電場的關(guān)系00jEt0()0Ejt安

12、培環(huán)路定律可表示為安培環(huán)路定律可表示為00000()ffEEBJJtt 上式的積分式為上式的積分式為00()flsEB dlJdSt位移電流位移電流0DEJt位移電流的實(shí)質(zhì)是電場的時(shí)間變率位移電流的實(shí)質(zhì)是電場的時(shí)間變率例題例題1 設(shè)有一個(gè)球形對(duì)稱分布的電流，由球心的時(shí)變電荷源設(shè)有一個(gè)球形對(duì)稱分布的電流，由球心的時(shí)變電荷源Q(t)流出，其電流方向都是沿徑向的。試求由這電流分布產(chǎn)生的磁場。流出，其電流方向都是沿徑向的。試求由這電流分布產(chǎn)生的磁場。解解:由于電流沿徑向外流由于電流沿徑向外流,故在球心處必有一電荷源不斷地產(chǎn)生電荷故在球心處必有一電荷源不斷地產(chǎn)生電荷.用一個(gè)半徑為用一個(gè)半徑為r的球面包圍

13、球心的球面包圍球心.則根據(jù)電荷守恒定律，在這個(gè)球內(nèi)則根據(jù)電荷守恒定律，在這個(gè)球內(nèi)的電荷變化率為的電荷變化率為24VVSQdVJdVttJ dSr J 314rQ rJJet r 因此電流分布為因此電流分布為而而Q在球面上任一點(diǎn)的電場為在球面上任一點(diǎn)的電場為304QrEr位移電流為位移電流為0314DEQ rJtt r每一點(diǎn)處每一點(diǎn)處,位移電流剛好抵消傳導(dǎo)電流的磁效應(yīng)位移電流剛好抵消傳導(dǎo)電流的磁效應(yīng).因此不產(chǎn)生磁場。因此不產(chǎn)生磁場。例題例題2、試對(duì)導(dǎo)體中的位移電流做一估計(jì)、試對(duì)導(dǎo)體中的位移電流做一估計(jì)解：設(shè)在導(dǎo)體中的交變電場為解：設(shè)在導(dǎo)體中的交變電場為0cosEEt導(dǎo)體中任一點(diǎn)處的電流瞬態(tài)分布為

14、導(dǎo)體中任一點(diǎn)處的電流瞬態(tài)分布為00cossinfDJEEtEJEtt 它們的振幅之比為它們的振幅之比為1701521010rDfJffJf 當(dāng)頻率低于光波頻率赫茲時(shí)，在良導(dǎo)體中位移電流與傳導(dǎo)電流的相比是微不足道的。3 麥克斯韋方程組描寫真空中電磁場運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本方程描寫真空中電磁場運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本方程00000BEtEBJtEB 與微分方程組相應(yīng)的麥克斯韋方程組的積分形式是與微分方程組相應(yīng)的麥克斯韋方程組的積分形式是0010llsVsBE dldStEB dltE dSdVB dS 0（J+） dS4 洛倫茲力公式efE電荷受電場力作用，力密度為電荷受電場力作用，力密度為靜磁場對(duì)電荷的作用，力密

15、度為靜磁場對(duì)電荷的作用，力密度為mfvBJB電磁場對(duì)處于其中的電荷的作用力為電磁場對(duì)處于其中的電荷的作用力為fEvBEJB一個(gè)帶電粒子所受的洛倫茲力為一個(gè)帶電粒子所受的洛倫茲力為FeEevB式中式中e是粒子所帶電量，是粒子所帶電量，v是運(yùn)動(dòng)速度是運(yùn)動(dòng)速度例題例題1、證明（、證明（1）麥克斯韋方程組是內(nèi)在一致的方程組）麥克斯韋方程組是內(nèi)在一致的方程組 （2）麥克斯韋方程組中散度方程對(duì)旋度方程的限制作用）麥克斯韋方程組中散度方程對(duì)旋度方程的限制作用00000BEtEBJtEB 證明（證明（1）根據(jù)麥克斯韋方程組）根據(jù)麥克斯韋方程組對(duì)一式兩邊取散度對(duì)一式兩邊取散度()()0EBt 因此因此1BC0B

16、表明表明B的散度與時(shí)間無關(guān)的散度與時(shí)間無關(guān)可以取可以取與四式相比較，可見四式是一式的特例，二者之間無矛盾與四式相比較，可見四式是一式的特例，二者之間無矛盾對(duì)二式兩邊取散度，并應(yīng)用電荷守恒定律對(duì)二式兩邊取散度，并應(yīng)用電荷守恒定律020()0EtEC與三式比較，可見三式是二式的特例，二者之間無矛盾。與三式比較，可見三式是二式的特例，二者之間無矛盾。例題例題2 電磁場由相互垂直的均勻電場電磁場由相互垂直的均勻電場E和均勻磁場和均勻磁場B構(gòu)成。一個(gè)電子構(gòu)成。一個(gè)電子以速度以速度v垂直進(jìn)入此電磁場內(nèi)，求電子運(yùn)動(dòng)的軌跡。垂直進(jìn)入此電磁場內(nèi)，求電子運(yùn)動(dòng)的軌跡。1xB2xE3xv123,EEe BBe vve

17、 解：設(shè)解：設(shè)13231(1)0(2)(3)eEeBxxmmxeBxxm 電子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程為電子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程為1231230,0,0,txxxxxxv當(dāng)時(shí)（4）20 x （5）31eBxxCm 由（由（2）和（）和（4）知）知由（由（3）得）得31eBxxvm （6）eBm根據(jù)（根據(jù)（4）得）得將（將（6）代入（）代入（1），并設(shè)定），并設(shè)定211exxm （E-vB）112sincosxCtCt 12exm （E-vB）其通解為其通解為11112sincosexxxCtCtm（E-vB）特解為特解為由此可知由此可知120eCEvBm2，C（）由（由（4）知）知所以所以121

18、cosexEvBtm （）（） （7）31 cosexvEvBtm（）（）33sinexvEvBEvBtCme1（）t-（）m由（由（7）和（）和（6）知）知32sinexvtEvBtm（）（ t） （8）由（由（4）知上式常數(shù)為）知上式常數(shù)為0，所以，所以21230sineREvBmxRxxvtRtt 令（），則（5）（7）（8）三式可寫成（1-cos t）（）電子的運(yùn)動(dòng)軌跡是在電子的運(yùn)動(dòng)軌跡是在x1x3平面內(nèi)的一條擺線。平面內(nèi)的一條擺線。例題例題3 在無限大接地金屬板前在無限大接地金屬板前h處有一點(diǎn)電荷處有一點(diǎn)電荷+q.求求 (1)金屬板面上的感應(yīng)電荷分布金屬板面上的感應(yīng)電荷分布 (2)板

19、面上感應(yīng)的總電荷板面上感應(yīng)的總電荷解解 (1) 設(shè)在板面上任意一點(diǎn)設(shè)在板面上任意一點(diǎn)P處的感應(yīng)面電荷密度為處的感應(yīng)面電荷密度為,則此電荷則此電荷 分布與點(diǎn)電荷分布與點(diǎn)電荷q在板內(nèi)緊鄰在板內(nèi)緊鄰P點(diǎn)處產(chǎn)生的迭加電場的法向分量點(diǎn)處產(chǎn)生的迭加電場的法向分量 為零為零,于是于是200322 3 204222 ()qhrrqhqhrhR 因此得因此得(2)在板面上以在板面上以A為中心為中心,R為半徑取一寬度為為半徑取一寬度為dR的環(huán)帶的環(huán)帶,則金屬板則金屬板上的總感應(yīng)電荷為上的總感應(yīng)電荷為22 3 2002()RdRQRdRqhqhR 4 介質(zhì)的電磁性質(zhì) ipPV1 關(guān)于介質(zhì)的概念關(guān)于介質(zhì)的概念2 介質(zhì)

20、的極化介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度矢量極化強(qiáng)度矢量單位體積內(nèi)電偶極矩的矢量和單位體積內(nèi)電偶極矩的矢量和束縛電荷分布與電極化強(qiáng)度矢量是從不同側(cè)面來描寫介質(zhì)束縛電荷分布與電極化強(qiáng)度矢量是從不同側(cè)面來描寫介質(zhì)極化情況的物理量極化情況的物理量,它們之間應(yīng)該有一定的聯(lián)系它們之間應(yīng)該有一定的聯(lián)系.pVSpdVP dSP 微分形式微分形式n1n2n22P1P1SSpVSdVP dS 21nnn 21PP n SP n SNS 21()Pn PP 各向同性的均勻介質(zhì)各向同性的均勻介質(zhì)0ePE 3、介質(zhì)的磁化、介質(zhì)的磁化磁化強(qiáng)度矢量磁化強(qiáng)度矢量imMVMSlJdSM dl磁化電流與磁化強(qiáng)度矢量的關(guān)系磁化電流與磁化強(qiáng)度矢量

21、的關(guān)系其積分形式其積分形式MJM 21nl0n2n1021()mJnl hMMl 21()mnMM對(duì)于各向同性的非鐵磁性物質(zhì)對(duì)于各向同性的非鐵磁性物質(zhì)01mmBM在兩種介質(zhì)的分界面上在兩種介質(zhì)的分界面上介質(zhì)中的麥克斯韋方程組介質(zhì)中的麥克斯韋方程組在論及介質(zhì)中的宏觀電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)在論及介質(zhì)中的宏觀電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)000()0fpMfpBEtEBJJJtEB PPMPPJJMt 考慮到考慮到000()()()0ffBEtBMJEPtEPB 00DEPBHM電位移矢量電位移矢量磁場強(qiáng)度矢量磁場強(qiáng)度矢量0BEtDHJtDB 介質(zhì)中的麥克介質(zhì)中的麥克斯韋方程組斯韋方程組積分形式積分形式()0llsVBE

22、dldStDH dlJdStD dSdVB dS 對(duì)于各向同性的介質(zhì)對(duì)于各向同性的介質(zhì),001eeeBPEM 00(1)(1)ee考慮電位移矢量和磁場強(qiáng)度定義式以及考慮電位移矢量和磁場強(qiáng)度定義式以及DEBH可知可知001(1)例題 證明（1）在均勻電介質(zhì)內(nèi)部，極化電荷密度總是等于該點(diǎn)處自由電荷密度的倍；（2）在均勻磁介質(zhì)內(nèi)部，在穩(wěn)恒情況下磁化電流密度總是等于該點(diǎn)處自由電流密度的（-1）倍。00(1)PffPfPDDEE 證：（1）介質(zhì)是均勻的，因此有（）E由及知所以0fMtHJJM 0f00（2）在穩(wěn)恒條件下，磁場的旋度利用M=（-1）H知（-1）H=（-1）J例題例題2 一半徑為一半徑為a,

23、介電常數(shù)為介電常數(shù)為的介質(zhì)小球的介質(zhì)小球, ,位于一磁感應(yīng)強(qiáng)度為位于一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B的的均勻磁場中。小球以恒定角速度均勻磁場中。小球以恒定角速度繞與繞與B B平行的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)。求平行的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)。求: :(1)(1)小球的極化強(qiáng)度矢量小球的極化強(qiáng)度矢量(2)(2)極化電荷分布極化電荷分布(3)(3)小球上的總極化電荷小球上的總極化電荷Ba1x3x2xR( )P xrO3BBe解：以球心為原點(diǎn)作坐標(biāo)系，取。（1）由于小球在磁場內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球內(nèi)任一點(diǎn)的動(dòng)生電場為1 12 2()()EvBrBB rBx ex e小球極化強(qiáng)度矢量為小球極化強(qiáng)度矢量為001 12 2()()()PEBx ex e(2)極化

24、電荷分布極化電荷分布021202()()()sinPPPBn PPn PB a 體分布體分布面分布面分布(3)小球上的總極化電荷小球上的總極化電荷23300002()()sin0PPPVSVQdVdSBdVB add 5 電磁場的邊值關(guān)系 在兩種介質(zhì)的分界面處在兩種介質(zhì)的分界面處,一般會(huì)出現(xiàn)面電荷電流分布，它們激發(fā)一般會(huì)出現(xiàn)面電荷電流分布，它們激發(fā)附加的電場和磁場，致使界面兩側(cè)的場量發(fā)生突變，麥克斯韋方程附加的電場和磁場，致使界面兩側(cè)的場量發(fā)生突變，麥克斯韋方程組的微分形式就失去意義組的微分形式就失去意義.將積分形式的麥克斯韋方程應(yīng)用于分界面上將積分形式的麥克斯韋方程應(yīng)用于分界面上212121

25、21()0()()()0nEEnHHn DDn BB切向分量切向分量法向分量法向分量界面兩側(cè)的電流之間的關(guān)系界面兩側(cè)的電流之間的關(guān)系21()n JJt 21()0n JJ在穩(wěn)恒情況下在穩(wěn)恒情況下6 電磁場的能量和能流電磁場的能量和能流3333()VVVVf vd xEvB vd xv Ed xJ Ed x 1、電磁場能量與能量守恒和轉(zhuǎn)化定律、電磁場能量與能量守恒和轉(zhuǎn)化定律 令在電磁場中以令在電磁場中以S為界面的區(qū)域?yàn)榻缑娴膮^(qū)域V內(nèi)，有以速度內(nèi)，有以速度v運(yùn)動(dòng)著的電荷運(yùn)動(dòng)著的電荷分布分布。運(yùn)用麥克斯韋方程運(yùn)用麥克斯韋方程DJHt 33()()()()()VVSDJ EEHEtDEHHEEtBDE

26、HHEttDBJ Ed xEHd xEH dStt 于是于是2、電磁場能量密度和能流密度矢量、電磁場能量密度和能流密度矢量考慮各向同性的均勻介質(zhì)考慮各向同性的均勻介質(zhì)1()21()2DBEHE DH BtttwE DH B 定義定義電磁場的能量轉(zhuǎn)換與守恒定律可寫成電磁場的能量轉(zhuǎn)換與守恒定律可寫成33VVSdJ Ed xwd xEH dSdt 電磁場能電磁場能量密度量密度考慮全空間考慮全空間33VVdJ Ed xwd xdt 220011()2wEB在真空中在真空中考慮電磁場中一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)考慮電磁場中一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)33VVSdJ Ed xwd xEH dSdt 考慮區(qū)域內(nèi)無電荷電流分布，并令考

27、慮區(qū)域內(nèi)無電荷電流分布，并令3VSEHdwd xS ndSdt S為電磁場能量流密度矢量為電磁場能量流密度矢量在真空中在真空中01SEB題目題目 同軸傳輸線內(nèi)導(dǎo)線半徑為同軸傳輸線內(nèi)導(dǎo)線半徑為a，外導(dǎo)線半徑為，外導(dǎo)線半徑為b，兩導(dǎo)線間為絕緣，兩導(dǎo)線間為絕緣介質(zhì)。導(dǎo)線載有電流介質(zhì)。導(dǎo)線載有電流I ，兩線間電壓為，兩線間電壓為U。求：。求：（1）忽略導(dǎo)線電阻，計(jì)算介質(zhì)中的能流）忽略導(dǎo)線電阻，計(jì)算介質(zhì)中的能流S和傳輸功率和傳輸功率（2）考慮內(nèi)導(dǎo)線的有限電導(dǎo)率，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)線表面進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)線的）考慮內(nèi)導(dǎo)線的有限電導(dǎo)率，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)線表面進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)線的能流。證明它等于導(dǎo)線內(nèi)的損耗功率能流。證明它等于導(dǎo)線內(nèi)的損

28、耗功率ba解解:(1)沿電流方向以導(dǎo)線的軸線為沿電流方向以導(dǎo)線的軸線為z軸取柱坐軸取柱坐標(biāo)系標(biāo)系,由安培環(huán)路定律知由安培環(huán)路定律知()2IHearbr設(shè)載流導(dǎo)線表面電荷線分布為設(shè)載流導(dǎo)線表面電荷線分布為, ,介質(zhì)內(nèi)電場分布為介質(zhì)內(nèi)電場分布為2rEer兩導(dǎo)線間的電壓為兩導(dǎo)線間的電壓為2lnlnrUUEeb arb aln22bbaadrbUEdrra212 lnzUISEHeb a r因此因此介質(zhì)內(nèi)的能流為介質(zhì)內(nèi)的能流為通過兩導(dǎo)線間環(huán)狀截面積的傳輸功率為通過兩導(dǎo)線間環(huán)狀截面積的傳輸功率為2lnbbaaUIdrPSrdrUIb ar(2)設(shè)內(nèi)導(dǎo)線的電導(dǎo)率為設(shè)內(nèi)導(dǎo)線的電導(dǎo)率為,導(dǎo)線內(nèi)的電場分布為導(dǎo)線

29、內(nèi)的電場分布為2zJIEea21()0nEE2zr aIEea2222322rzzrr aIISEHeeeaa 由邊值關(guān)系由邊值關(guān)系得內(nèi)導(dǎo)線與介質(zhì)分界面的介質(zhì)一側(cè)得內(nèi)導(dǎo)線與介質(zhì)分界面的介質(zhì)一側(cè)內(nèi)電場的切向分量為內(nèi)電場的切向分量為沿徑向進(jìn)入導(dǎo)線內(nèi)的分量沿徑向進(jìn)入導(dǎo)線內(nèi)的分量2222rlPSa lII Ra 流進(jìn)長度為流進(jìn)長度為l的導(dǎo)線內(nèi)的功率為的導(dǎo)線內(nèi)的功率為這正是這段導(dǎo)線上損耗的功率這正是這段導(dǎo)線上損耗的功率例題例題2 有一圓形平行板電容器，如圖示有一圓形平行板電容器，如圖示.證明證明:在充電過程中，電磁場輸入在充電過程中，電磁場輸入的功率等于電容器內(nèi)靜電場的增加率的功率等于電容器內(nèi)靜電場的增

30、加率(不記邊緣效應(yīng)不記邊緣效應(yīng)).解解:設(shè)電容器極板的半徑為設(shè)電容器極板的半徑為a,兩板間的距離為兩板間的距離為l,取取柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系.不記邊沿效應(yīng)，兩極板間的電場是均勻的不記邊沿效應(yīng)，兩極板間的電場是均勻的,設(shè)設(shè)在時(shí)刻在時(shí)刻t,電場為電場為zEEe2dEH dladt2DSSDDdDdEIdSdSdSattdtdt此刻兩極板間的位移電流為此刻兩極板間的位移電流為傳導(dǎo)電流為傳導(dǎo)電流為0zIEH由上式可知由上式可知12dEHaedt21()4rr ar adSEHa Eedt 2212()2dPSala lEdt在電容器側(cè)面上一點(diǎn)處的能流密度矢量為在電容器側(cè)面上一點(diǎn)處的能流密度矢量為從側(cè)面進(jìn)入

31、電容器的總功率為從側(cè)面進(jìn)入電容器的總功率為第一章習(xí)題第一章習(xí)題1()()()()()()()()()()()()()(yyxxzzxyzxyzxyzyyxzzxyzBABAABABAAAAAAB iB jB kijkyzzxxyBBBA iA jA kxyzBBBBBA iA jA kijyzzxx )()()xxyzxyzBkyAAAB iB jB kxyz()()()()()yxxzyzxxxxyzyxxzyzxxxxyzxxyyzzAAAABBxyzxAAABBBxyzBBBBAAxyzxBBBAAAxyzA BA BA Bx其中其中x分量的形式分量的形式第2章 靜電場 靜電場和靜磁場是

32、研究時(shí)變場的基礎(chǔ)。本章主要問題是在靜電場和靜磁場是研究時(shí)變場的基礎(chǔ)。本章主要問題是在給定靜止電荷分布給定靜止電荷分布(或給定外場或給定外場)以及周圍介質(zhì)和導(dǎo)體的分布情以及周圍介質(zhì)和導(dǎo)體的分布情況下，求靜電場況下，求靜電場.1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程靜電場的標(biāo)勢及其微分方程在靜止情況下在靜止情況下,麥克斯韋方程組為麥克斯韋方程組為000EDHB0ED2121021()0()()ffPnEEn DDwnEEwwfE靜止情況下的場方程靜止情況下的場方程相應(yīng)的邊值關(guān)系為相應(yīng)的邊值關(guān)系為12wE D 力密度力密度能量密度能量密度( )Ex 0E00( )()( )PPxxE x dl 因?yàn)橐驗(yàn)橐霕?biāo)量函

33、數(shù)表示電場引入標(biāo)量函數(shù)表示電場根據(jù)梯度定義根據(jù)梯度定義,可得場中任意兩點(diǎn)間的電勢差為可得場中任意兩點(diǎn)間的電勢差為( )0PxE dl( )0 選擇無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)選擇無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn),并規(guī)定并規(guī)定電場中任意一點(diǎn)勢能為電場中任意一點(diǎn)勢能為( )x303001( )( )4( )1( )41( )()4VVVxxd xrxxxE xdVxxx dVxx 給定電荷分布給定電荷分布電勢分布電勢分布電場強(qiáng)電場強(qiáng)度為度為1BR232例題：一個(gè)帶電荷Q，內(nèi)外半徑分別為R 和R 的導(dǎo)體球殼 ，同心地包圍著一個(gè)半徑為 （R ）于是得于是得A上的感應(yīng)電荷為上的感應(yīng)電荷為(2)殼殼B外空間的電勢分布為外空間的電勢分

34、布為023210123011()411()()411()()4BABQQQQRRRQRRRRRQRRRRR殼殼B與球與球A之間的區(qū)域內(nèi)電勢分布為之間的區(qū)域內(nèi)電勢分布為殼殼B內(nèi)部是一個(gè)等勢區(qū)內(nèi)部是一個(gè)等勢區(qū),由邊值關(guān)系可得其電勢由邊值關(guān)系可得其電勢330123023()4( )( )()40()QQ RRRRQRE xxRRRRRRR 空間各點(diǎn)的電場分布為空間各點(diǎn)的電場分布為2、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系202 在均勻的各向同性的介質(zhì)中在均勻的各向同性的介質(zhì)中區(qū)域無電荷分布時(shí)區(qū)域無電荷分布時(shí)2121()0()nEEn DD在介質(zhì)分界面上場量滿足的邊值關(guān)系是在介質(zhì)分界面上場量滿足的邊值關(guān)系是電勢應(yīng)

35、該滿足相應(yīng)的邊值關(guān)系電勢應(yīng)該滿足相應(yīng)的邊值關(guān)系212121(1)(2)sssnnCn 在兩種介質(zhì)的分界面上電勢是連續(xù)的在兩種介質(zhì)的分界面上電勢是連續(xù)的在兩種介質(zhì)的分界面兩側(cè)電勢的法向?qū)?shù)滿足在兩種介質(zhì)的分界面兩側(cè)電勢的法向?qū)?shù)滿足導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系為導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系為3、靜電場的能量對(duì)于線性介質(zhì)對(duì)于線性介質(zhì)1212VWE DdVwE D 能量密度能量密度112211()221122SWE DdVDdVDdVD dVdVD dS 1( ) ( )2SWxx dV分布電荷的靜電場能量分布電荷的靜電場能量1( )( )41( ) ( )8VxxdVrxx dVWdVr電勢由電荷分布確定電勢由電

36、荷分布確定于是總能量可以寫成于是總能量可以寫成2 唯一性定理唯一性定理:( )ssxVSnV唯一性定理 設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，在的邊界 上給定（1）電勢或（2）電勢的法向?qū)?shù)，則 內(nèi)的電場唯一地確定。2220ijijijijiijijSSjiijSSVVSnn 證明：設(shè)在區(qū)域 內(nèi)存在兩個(gè)不同的解和都滿足唯一性定理的條件。令此解之差因?yàn)閯t 應(yīng)滿足在每個(gè)區(qū)域 內(nèi)在兩均勻區(qū)域的分界面上00iSSSSSSiiSVSnnnVdS 在整個(gè)區(qū)域 的邊界 上或考慮在區(qū)域 內(nèi)求積分0iiiiiiSViiSViiiVidSnVdSdVndV 2i22（） dV對(duì) 內(nèi)所有區(qū)域求和，得（）（）因?yàn)楸环e函數(shù)因?yàn)楸?/p>

37、積函數(shù)2()0i0CV內(nèi)所有各點(diǎn)都有內(nèi)所有各點(diǎn)都有于是于是有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理2iiiSiSSSVniQdSnVn i唯一性定理：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布 ，給定各導(dǎo)體上的總電荷Q以及 的邊界S上的 或值，則V內(nèi)的電場唯一地確定。也就是說，存在唯一的解，它在導(dǎo)體以外滿足泊松方程在第 個(gè)導(dǎo)體上滿足總電荷條件和等勢面條件常量以及在 的邊界S上具有給定的或值3拉普拉斯方程 分離變量法靜電場的基本問題四求解滿足邊界條件的拉普拉斯方程的解靜電場的基本問題四求解滿足邊界條件的拉普拉斯方程的解求解時(shí)考慮的步驟求解時(shí)考慮的步驟22222222222222111(

38、)(sin)0sinsin( , , )( ) ( , )1111()(sin)sinsin1(sin)0sinuuurrrrrru rR r YddRYYrR drdrYYddRdrdrYYY 2在球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程為設(shè)試探解為，代入上式（r）- R=01sin222222222( )( )sin1(sin)sin0sin(sin) sin01012 3Ydddmddddmdddmddl ll 進(jìn)一步分離，令令（）， ， ，2221212221121010cossin012 3lld RdRrrl lRdrdrRrllBR rArrdmdAmBmm 考慮徑向方程（）令，代入上式，（）徑向

39、方程的通解為（ ）考慮方程通解為（ ）， ， ，222222220021132(1)2(1)010(1)2(1)0( )(1)20(1)260()(1)(2)(1)kkkkkd ydymxxl lydxdxxmd ydyxxl lydxdxy xc xl lccl lccckl klcckk 考慮 （ ）滿足的方程當(dāng)時(shí)設(shè)方程有冪級(jí)數(shù)解0011212220( )( )( )(2 )!2 ( !)(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lllklkllky xc yxc y xlcllkP xxk lklk或冪級(jí)數(shù)解可寫成通常約定00111011( )( )( )()() (cos )2(

40、)( )21llllkmnmny xc yxc y xBu rArPrP x P x dxn冪級(jí)數(shù)解可寫成拉普拉斯方程的解為，勒讓德多項(xiàng)式的正交歸一性為關(guān)于用分離變量法求解靜電場問題關(guān)于用分離變量法求解靜電場問題一、基本問題及依據(jù)一、基本問題及依據(jù)1、靜電場的基本問題是求滿足邊界條件的拉普拉斯的解、靜電場的基本問題是求滿足邊界條件的拉普拉斯的解2、理論依據(jù)是唯一性定理和疊加原理、理論依據(jù)是唯一性定理和疊加原理二、求解時(shí)的考慮步驟二、求解時(shí)的考慮步驟1、場源電荷的分布情況、場源電荷的分布情況2、正確完整地寫出定解條件、正確完整地寫出定解條件3、視具體的邊界形狀選擇合適的坐標(biāo)系、視具體的邊界形狀選

41、擇合適的坐標(biāo)系三、定解條件三、定解條件1、各均勻區(qū)域內(nèi)電勢所滿足的方程、各均勻區(qū)域內(nèi)電勢所滿足的方程200000cosrrrE R邊界條件自然邊界條件，有限均勻場邊界條件邊值關(guān)系邊值關(guān)系212121SSSSSSnnCn ，介質(zhì)介質(zhì)導(dǎo)體導(dǎo)體001fRQE例題 一個(gè)半徑為 ，帶有電荷的導(dǎo)體球，置于均勻外電場中。求空間中的電勢及電場分布以及球面上的電荷分布及總電荷。r0Rz0E解:帶電導(dǎo)體球放入電場中時(shí)，導(dǎo)體上電荷將重新分布.除原來電荷外還有感應(yīng)電荷,達(dá)到靜止時(shí),導(dǎo)體球是一等勢體球外空間的電場由球上感應(yīng)電荷及原來電荷激發(fā)的場與外來場迭加構(gòu)成根據(jù)邊界形狀，以球心為原點(diǎn)過球心沿外場方向取球坐標(biāo)系.球外空

42、間無電荷分布，電勢滿足0020000000cos0(cos )(5)rr Rfr RnE rErdSQn0nnnnn+1（1）（2）式中是未放入導(dǎo)體球前，電場在處的電勢值，邊值關(guān)系為（3）（4）因場具有繞極軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，（1）式通解為b(a r +)Pr101000100010001000000(2)()(cos )cos()(cos )(cos ),0(1)(5)cos(cos )(6)(3)cos(cos )nnnnnnrrnrnnnnnnnnnba rPErra rPE rPaaE anbE rPrbE RPR 由條件得根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的正交性得根據(jù)式得由條件知0n3000010030

43、0000020000000000300002000()0(1)(6)()coscos(7)1cos()2cos4(7)( , )coscos4nfffbRbR EbnRR EE rrrEdSdSEdSQRQRQR ErE rrrE代入式得于是得代入式得空間的電勢分布為30030(8)4fQR E rrrr0032000035000000( , )3()43cos3cosffr Rr RffE rRE r rr EQ rErrn Dn EEQdSdSEdSQ 電場分布為球面上電荷分布為總電荷為例題例題2 導(dǎo)體尖劈帶電勢導(dǎo)體尖劈帶電勢V，分析它的尖角附近的電場，分析它的尖角附近的電場2222222

44、2220211()0( ) ( )0zzrrrrrR rd ydyrrRdrdrdd 解：用柱坐標(biāo)系，取 軸沿尖邊。設(shè)尖劈以外的空間，即電場存在的空間為。因不依賴于 ，柱坐標(biāo)下的拉普拉斯方程為設(shè)方程的特解為：則000000000(ln )()()(cossin)0,0,0(0)0020 sin2ABr CDA rB rCDVrA CV BCrBBVrD的通解為各待定常數(shù)和 的可能值都由邊界條件確定在尖劈面上，與 無關(guān)，所以因時(shí) 有限，得在尖劈面上，有，與 無關(guān)， （）=011111111111112sin0sinsin1cosnnnnnrnVA rrVArEArrEArr 的可能值（n=1，2

45、，3）在尖角附近電場10001011nEEEAr 尖劈兩面上的電荷面密度為（ =0）（ =2 - ）第四節(jié)第四節(jié) 鏡像法鏡像法 在實(shí)際靜電問題中有一種簡單重要的特殊情況。在區(qū)域內(nèi)只有簡單的電荷分布,區(qū)域的邊界是導(dǎo)體面或介質(zhì)面。這時(shí)可用一個(gè)或幾個(gè)假象的點(diǎn)電荷等效地代替實(shí)際導(dǎo)體上(或介質(zhì)上)的真實(shí)電荷進(jìn)行求解.這種方法稱為電像法.例題1 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體附近有一點(diǎn)電荷Q,與平面的距離為a.求(1)空間中的電場;(2)導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷(3)導(dǎo)體和點(diǎn)電荷之間的相互作用(0,0, )Qa( )P x1x2xrrx(0,0,)Qa3x333330(0,0, )0000,0.0 xaxxxEx解：設(shè)導(dǎo)體

46、面為平面，點(diǎn)電荷位于處。（1）空間中的電場由點(diǎn)電荷Q及導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)。導(dǎo)體面將空間分成和兩部分。由于靜電屏蔽的結(jié)果在區(qū)域內(nèi)無電場，即在的區(qū)域內(nèi)有點(diǎn)電荷存在，電勢滿足3321233000,)(0)(1)0(2)0(3),(0,0,)1( )()(4)4xxQx xxaxQQQaQQxrr （根據(jù)唯一性定理 顯然要求像電荷位于點(diǎn)上,因此上方空間的電勢(4)式滿足唯一性定理的全部要求，它是所求的解.將數(shù)據(jù)代入(4)式,有333222222012312303300333320022201211( )(5)4()()11()4()42xxxQxxxxaxxxaQwxxrrxaxaQQarr

47、rrxxa 式中(2)導(dǎo)體面上的電荷分布為300220222200221()14(2 )16SQaR dRQwdSrQaQQRaQQFaa 導(dǎo)體面上感生的總電荷為(3)導(dǎo)體面與點(diǎn)電荷Q的作用力002()(0,0, )(0,0, )RaRQzQaa例題 有一半徑為的接地導(dǎo)體球，在距離球心為處有一點(diǎn)電荷 ，求：（1）空間各點(diǎn)的電勢（2）導(dǎo)體球上的電荷分布（3）證明象電荷等于導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷解：以對(duì)稱軸為 軸，球心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，點(diǎn)電荷的坐標(biāo)為（1）場由點(diǎn)電荷及球面上感應(yīng)電荷共同激發(fā)。球內(nèi)電勢為0，球外區(qū)域除外無電荷分布，電勢滿足RrP(x)R。ObarQ(0,0,a)0200022222200

48、00()()(1)0(2)0(3)( )1()(4)42cos2cosRR RQxaRRQP xQQrrQQRaaRRbbR 象電荷應(yīng)滿足上述全部條件，于是空間點(diǎn)的電勢將(4)代入(3)式可得222222002220002222020()(),(6)1()(7)42cos2cosQRbQRaQ bQ aRRbQQaaR Q aQRaaRRbbRRba 由此二式解得所以球外空間的電勢為02200223 2000222200223 20000004(2cos )()sin4(2cos )R RSaRQwnRRaaRQ aRdQwdSRdRRaaRRQQa (2)導(dǎo)體球上的電荷分布(3)球面上感生的

49、總電荷為5 格林函數(shù)SSVVSn本節(jié)要解決的問題是:給定 內(nèi)電荷分布 和 的邊界 上各點(diǎn)的電勢或電場法向分量，求V內(nèi)各點(diǎn)電勢值。00( )0( )10( )( ) ( )(0)VVxxxx dVVxf xVf xx dVf函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)：積分區(qū)域 包含點(diǎn)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)是對(duì)于任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)， 包括原點(diǎn)在內(nèi)，有00()()1( ) ()( )VVxxxxxxxxxxx dVxVxxVxf xxx dVf x將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到并且對(duì)任何一個(gè)在附近連續(xù)的函數(shù)，若 包括在內(nèi)，都有202.1( )()VxVxxx 格林函數(shù)設(shè)在區(qū)域 內(nèi)點(diǎn) 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，則區(qū)域的電勢滿足泊松方程滿足邊界

50、條件的這個(gè)單位點(diǎn)電荷的泊松方程的解稱為格林函數(shù)。按照邊界條件的不同，一般有兩類邊值問題。00:1SSxVVVVSVnSV 第一類邊值問題：設(shè)有包含 點(diǎn)的空間區(qū)域 ，在 的邊界S上有邊界條件則滿足這一邊界條件的泊松方程的解稱為泊松方程在區(qū)域 上的第一類邊值問題的格林函數(shù)。第二類邊值問題 在 的邊界 上有邊值條件則滿足這一邊界條件的解稱為泊松方程在區(qū)域 的第二類邊值問題的格林函數(shù)。2220022211( ,)4()()()01( ,)04111( )0G x xxxyyzzxG x xrrrrrrr r 無界空間的格林函數(shù)證明：為計(jì)算方便，令。在球坐標(biāo)中，在處，直接計(jì)算2222 1 2022 1

51、222 3 20022 3 222 3 2022222 5 20010,11lim()1limlim()()11lim()()33limlim()aaaaaarrdVdVrrardVdVrararr dVraraaa r ddVdra 由于在點(diǎn)奇異 為此利用極限法22 5 20()rra2225 20221124(1)14( )14()raddVrxrxrxxxxr 作積分變換，上式變?yōu)樗杂卸谝话闱闆r下，令原點(diǎn)在 ， 是到場點(diǎn) 的距離。222222022220002111( ,)4()()()()()()111( ,)42cos()2cosG x xxxyyzzxxyyzzG x xRRR

52、RRRRRRRRxy 上半空間的格林函數(shù)上半空間第一類邊值問題的格林函數(shù)為球外空間的格林函數(shù)球外空間第一類邊值問題的格林函數(shù)為其中22222,zRxyzxx是 與 的夾角3、格林公式和邊值問題的解2( )0( )( ,)( ) ( ),()()SVSVSVxVxSVxG x xVxxdVdSnn 2第一類邊值問題：設(shè) 內(nèi)有電荷分布 ，邊界 上給定電勢，求 內(nèi)的電勢。與此問題相應(yīng)的格林函數(shù)問題是： 內(nèi)在 點(diǎn)上有一點(diǎn)電荷，邊界 上給定電勢，則 內(nèi)電勢的解為借助于關(guān)于點(diǎn)電荷的較簡單的邊值問題來解決較普遍的邊值問題。設(shè)區(qū)域 內(nèi)有兩個(gè)函數(shù)有格林公式222222()()()()()()()VVSSdVdV

53、dSdSnn 證明：由于兩式相減有兩邊積分20202211( ,)()( , )( )( )( , )( )( , )( )( , )VSGG x xxxG x xxxG x xdVxG x xxG x xdSnn 取 滿足泊松方程取 為格林函數(shù)可得0( )( , ) ( )( )( , )VSxG x xx dVxG x x dSn 滿足第一類邊值問題的解為00( , )1( , )1SSGG x xxnG x xdSn 第二類邊值問題，即給定的值。由于是點(diǎn)上單位點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢，其電場通量在邊界面上應(yīng)等于。所以00( , )1( )( , ) ( )( )( , )xSVSSG x xn

54、SSxG x xx dVxG x xdSn 如果選取最簡單的邊界條件其中 是界面總面積，第二類邊值問題的解為022220222211( , )422cos()12cos()aVG x xRzRzzzRRRzRzRR 例題1在無窮大導(dǎo)體平面上有半徑為 的圓，圓內(nèi)和圓外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣。設(shè)圓內(nèi)電勢為 ，導(dǎo)體板其余部分電勢為0，求上半空間的電勢。解：以圓心為柱坐標(biāo)系原點(diǎn)，z軸與平板垂直，R為空間點(diǎn)到z軸的距離。0003 222200( )( )( , )0122cos()SzzxxG x x dSnzzGGnzzRzRRR 因上半空間，上半空間電勢為積分面積是無限大平面。法線沿方向。023 20

55、02223 222022 3 222002222022 3 200( )22cos()12cos()12()3( )12 ()aaaraGx dSnVzR dRdRzRRRV zRRRR dRdRzRzRzaV zxR dRdRz積分只需對(duì)部分進(jìn)行當(dāng)時(shí)，將被積函數(shù)展開22222222222022 3 2222222cos()2152cos()8()31512 ()48()RRRRzRRRRzV azaR aRzRzRz2aVV例題 一半徑為 的導(dǎo)體球，被一極薄的絕緣介質(zhì)分隔成兩個(gè)半球，上半球電勢為 ，下半球電勢為，如圖示。求球外的電勢分布。xyz+V-Vr(r)r (r)解:因?yàn)榻o定的是球面邊

56、界上的電勢值,所以需要求球外空間的第一類格林函數(shù).利用鏡像法的結(jié)果,球外空間第一類格林為函數(shù).22202222223 20022223 2111( ,)42cos()2cos()()4(2cos)( )( )1()( )4(2cos)raraG x xrrrrrrarraGGranra raarGxx dSna rardraar 2203.( )400fffffiReRQQQxQQR 均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率為 ，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。解：空間各點(diǎn)電勢由與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢迭加而成，以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。電勢滿足泊松

57、方程產(chǎn)生的電勢為球面上極化電荷激發(fā)的電勢滿足拉普拉斯方程（1）邊界條件有限（2）（3）001001000()(cos )(2)(cos )(3)(cos )ieiennnnnnninnnnennnieRRRRba RPRa R PbPRbaR 由邊值關(guān)系知：在處（4）（5）由(1)式知考慮考慮而空間電勢為球?qū)ΨQ，因此00000 0022200000000044(4) (5)441111()()44ffieffffQQbaRRRQQbbaRRRRQQbaR 空間各點(diǎn)的電勢為由、 式知由上面二式得6 電多極矩1x( )P x2x3xxVdV( )xxr0( )1( )( )4VxVxx dVxxx

58、電荷分布在區(qū)域外任意一點(diǎn) 處激發(fā)的電勢為12302310212312302000()()()() ()1()()2!1()() ()()(2!xxxxxxf xxf xxf xxxxxf xxxxxxxxf xxxxxf xxxf xxxf x根據(jù)泰勒公式，在點(diǎn)鄰域內(nèi)的展開示為02)1( )() ( )()( )2!xxf xxf xxf x12112222019.()1( )42cos2cosRRa aRQRRQQxRaRaRbRbQRQa 接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為 和，在球內(nèi)離球心為處置一點(diǎn)電荷 。用鏡象法求電勢。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解：由于接地導(dǎo)體球殼的

59、靜電屏蔽作用，區(qū)域電勢為零。球腔內(nèi)其中象電荷1212110223 21111111()4 (2cos )0fR RfRbaaQ RRRRaRaRRQdsQRRQQD dSQQ 象電荷位置在球心與點(diǎn)電荷的連線上由于球殼及球外電場為零，感應(yīng)電荷只能分布與內(nèi)表面對(duì)的球面積分，得到總感應(yīng)電荷或者，因?yàn)閰^(qū)域，電場為零，故由高斯定理得到2123011(),)0,(0,0,)saQb baQx xxbbQQ Qb 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為 的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷 位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為，試用電象法求空間電勢。解：空間中的電場由點(diǎn)電荷Q及導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)。

60、（a根據(jù)唯一性定理 球面要求象電荷Q =-Q,導(dǎo)體平面要求像電荷a位于點(diǎn)上,Q =Q因此上方空間的b電勢2220222222222221( , , )4()()()()Qx y zxyzbQxyzbQabaxyzbQabaxyzb000022220200180220002(, )2RRRRR一半徑為 的球面，在球坐標(biāo)的半球上電勢為，在的半球面上電勢為，求空間各點(diǎn)的電勢。解：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為z軸。在區(qū)域，電勢的定解條件為020101120(cos )001 3 5(2)( 1)2 4 6(1)nnnnnnnbPRRRnbnRnn顯然利用區(qū)間的正交性偶數(shù)奇數(shù)第3章 靜磁場 1矢勢及其微分方