181921 211 合情推理

1、2.1 合情推理與演繹推理合情推理學習目標：1.了解合情推理的含義(易混點)2.理解歸納推理和類比推理的含義，并能利用歸納和類比推理進行簡單的推理(重點、難點)自 主 預 習·探 新 知1歸納推理與類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)特征歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理類比推理是由特殊到特殊的推理思考：歸納推理和類比推理的結論一定正確

2、嗎？提示歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結論不一定正確類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠2合情推理基礎自測1思考辨析(1)利用合情推理得出的結論都是正確的()(2)類比推理得到的結論可以作為定理應用()(3)由個別到一般的推理為歸納推理()答案(1) ×(2)×(3)2魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的因此，它們在形狀上也應該類似，“鋸子”應該是齒形的該過程體現(xiàn)了()A歸納推理B類比

3、推理C沒有推理 D以上說法都不對B推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質類比可知是類比推理3等差數(shù)列an中有2anan1an1(n2，且nN*)，類比以上結論，在等比數(shù)列bn中類似的結論是_解析類比等差數(shù)列，可以類比出結論bbn1bn1(n2，且nN*)答案bbn1bn1(n2，且nN*)4如圖2­1­1所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，nN*)個點，每個圖形總的點數(shù)記為an，則a6_，an_(n>1，nN*). 【導學號：31062121】圖2­1­1解析依

4、據(jù)圖形特點，可知第5個圖形中三角形各邊上各有6個點，因此a63×6315.由n2,3,4,5,6的圖形特點歸納得an3n3(n>1，nN*)答案153n3合 作 探 究·攻 重 難數(shù)、式中的歸納推理(1)觀察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此規(guī)律，第n個等式可為_(2)已知：f(x)，設f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，則f3(x)的表達式為_，猜想fn(x)(nN*)的表達式為_(3)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a13，滿足Sn62an1(nN*)求a2，a3，a4的值；猜想an的表達式解析

5、(1)121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1.(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)前幾項可以猜想fn(x).答案(1)12223242(1)n1n2(1)n1(2)f3(x)fn(x)(3)因為a13，且Sn62an1(nN*)，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.由知a13，a2，a

6、3，a4，猜想an(nN*)規(guī)律方法進行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律1.已知等式或不等式進行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律； (2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結構形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點；(4)運用歸納推理得出一般結論.2.數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項和.(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應序號之間的關系求解；(3)運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式.跟蹤訓練1數(shù)列5,9,17,33，x，中的x等于_.

7、【導學號：31062122】解析因為415, 819, 16117,32133猜測x64165.答案652觀察下列等式：22×1×2；2222×2×3；2222×3×4；2222×4×5；照此規(guī)律，2222_.解析通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數(shù)，后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內角度值分子中的系數(shù)的一半，后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù)，所以，所求結果為×n×(n1)，即n(n1)答案n(n1)幾何圖形中的歸納推理(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖2­

8、1­2的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是_. 【導學號：31062123】圖2­1­2(2)根據(jù)圖2­1­3中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為_圖2­1­3解析(1)觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數(shù)組成首項為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個圖案中黑色地面磚的個數(shù)為6(n1)×55n1.(2)圖形到中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因為1223,5233,13243,29253，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應為293509.答案(1)5n1(2)50

9、9規(guī)律方法歸納推理在圖形中的應用策略通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學之間的規(guī)律、特征，然后進行歸納推理解答該類問題的一般策略是：跟蹤訓練3如圖2­1­4，由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個圖形中由n個正方形組成：圖2­1­4通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個圖形中，火柴棒有_根；第n個圖形中，火柴棒有_根. 【導學號：31062124】解析數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為：4,7,10,13，可見后一個圖形比前一個圖形多3根火柴，它們構成等差數(shù)列，故第五個圖形中有火柴棒16根，第n個圖形中有火柴棒(3n1)根答案1

10、63n1類比推理及其應用探究問題三角形與四面體有下列相似性質：(1)三角形是平面內由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形通過類比推理，根據(jù)三角形的性質推測空間四面體的性質，完成下列探究點：1在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個面的面積之間有什么關系？提示：四面體中的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積2三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？提

11、示：四面體的體積等于底面積與高的積的.(1)在等差數(shù)列an中，對任意的正整數(shù)n，有an.類比這一性質，在正項等比數(shù)列bn中，有_(2)在平面幾何里有射影定理：設ABC的兩邊ABAC，D是A點在BC上的射影，則AB2BD·BC.拓展到空間，在四面體ABCD中，DA平面ABC，點O是A在平面BCD內的射影，類比平面三角形射影定理，寫出對ABC、BOC、BDC三者面積之間關系，并給予必要證明思路探究(1)類比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質求解(2)將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側棱AD與一側面ABC垂直的四棱錐的側面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到ABC在底面的

12、射影OBC及底面BCD的面積可得SSOBC·SDBC.解析(1)由a1a2a2n1類比成b1·b2·b3b2n1，除以n，即商類比成開n次方，即在正項等比數(shù)列bn中，有bn.答案bn(2)ABC、BOC、BDC三者面積之間關系為SSOBC·SDBC.證明如下：如圖，設直線OD與BC相交于點E，AD平面ABE，ADAE，ADBC，又AO平面BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面AED，BCAE，BCDE.SABCBC·AE，SBOCBC·OE, SBCDBC·DE.在RtADE中，由射影定理知AE2OE·D

13、E，SSBOC·SBCD.母題探究：1.(變條件)把本例(2)中的射影定理的表示換為“ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊”類比上述定理，寫出對空間四面體(如圖2­1­5所示)性質的猜想圖2­1­5解如圖所示，在四面體PABC中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應為SS1·cos S2·cos S3·cos .2(

14、變條件)把本例(2)條件換為“在RtABC中，ABAC，ADBC于點D，有成立”那么在四面體A­BCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由解猜想：類比ABAC，ADBC，可以猜想四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD.則.下面證明上述猜想成立如圖所示，連接BE，并延長交CD于點F，連接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正確規(guī)律方法類比推理的一般步驟當 堂 達 標·固 雙 基1已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面

15、積公式S，可知扇形面積公式為() 【導學號：31062125】ABC D無法確定C扇形的弧長對應三角形的底，扇形的半徑對應三角形的高，因此可得扇形面積公式S.2觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內畫上合適的圖形為()圖2­1­6A. B.C. D.A觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結果. 3等差數(shù)列an中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質，在等比數(shù)列bn中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個不等關系_解析將乘積與和對應，再注意下標的對應，有b4b8>b5b7.答案b4b8>b5b74觀察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為_. 【導學號：31062126】解析由前三個式子可得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次加1，等號的