1819階段復(fù)習(xí)課　三角恒等變形

1、第三課三角恒等變形核心速填1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos()coscos_sin_sin_.cos()coscos_sin_sin_.sin()sincos_cos_sin_.sin()sincos_cos_sin_.tan().tan().2二倍角公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3升冪縮角公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4降冪擴(kuò)角公式sin xcos x，cos2x，sin2x.5輔角公式y(tǒng)asin xbcos xsin(x)體系構(gòu)建題型探究三角函數(shù)的求值問題已知tan，且<<，求的值

2、. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012185】解2cos .tan，tan 3，cos ，2cos 2×.規(guī)律方法三角函數(shù)求值主要有三種類型，即：(1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式.(2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.當(dāng)然在這個(gè)過程中要注意角的范圍.(3)“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的

3、范圍.跟蹤訓(xùn)練1已知0<<，0<<，且3sin sin(2)，4tan 1tan2，求的值解3sin sin(2)，即3sin()sin()，整理得2sin()cos 4cos()sin .即tan()2tan .又4tan 1tan2 ，tan ，tan() 2tan 2×1.，.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn).解原式2.規(guī)律方法三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，主要有以下幾類：對(duì)三角的和式，基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式；對(duì)三角的分式，基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或較簡(jiǎn)式子；對(duì)二次根式，則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式.在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想，是一個(gè)“化

4、異為同”的過程，涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”；角的變換，即“單角化倍角”、“單角化復(fù)角”、“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段.以實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn).跟蹤訓(xùn)練2化簡(jiǎn)sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.解原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)·(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2(1cos2)cos2sin2sin2cos2·sin2cos2sin2(sin2cos2)cos2sin2cos21.三角恒等變換求證：

5、83;·tan. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012186】思路探究等式兩邊涉及到的角有4x,2x，x，等角，故可將左邊4x,2x，x化為的形式證明左邊··tan 右邊等式成立規(guī)律方法1三角恒等式的證明，就是運(yùn)用三角公式，通過適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，消除三角恒等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異，這些差異有以下幾個(gè)方面：(1)角的差異；(2)三角函數(shù)名稱的差異；(3)三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的差異針對(duì)上面的差異，選擇合適的方法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化2證明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右歸一、恒等變形、分析法、綜合法3三角恒等式的證明可分為兩類：不附條件的三角恒等式的證明和附條件的三角恒等式的證明不附條件的三角

6、恒等式的證明多用綜合法、分析法、恒等變形等附條件的三角恒等式的證明關(guān)鍵在于恰當(dāng)、合理地運(yùn)用條件，或通過變形觀察所給條件與要證等式之間的聯(lián)系，找到問題的突破口，常用代入法或消元法證明跟蹤訓(xùn)練3求證：.證明左邊，右邊，左邊右邊，故原等式成立三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值思路探究本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模及兩角和與差的三角函數(shù)(1)按向量數(shù)量積與向量加法運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求解、化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn)f(x)，并參照x，求出最大值和最小值解(1)a·bco

7、s cos sin sin cos 2x，|ab|2|cos x|.x，cos x>0，即|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122，且x，cos x1.當(dāng)cos x時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)cos x1時(shí)，f(x)取得最大值為1.規(guī)律方法三角函數(shù)與平面向量相結(jié)合是近幾年來高考的亮點(diǎn)，它常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的結(jié)合，向量與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的結(jié)合等幾個(gè)方面.此類題目所涉及向量的知識(shí)往往比較基礎(chǔ)，所涉及的三角函數(shù)往往是討論三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值.跟蹤訓(xùn)練4已知向量m(cos ，sin )和n(sin

8、，cos )，(，2)，且|mn|，求cos的值解mn(cos sin ，cos sin )，|mn| 2 .由已知|mn|，得cos.又cos2cos21，所以cos2.<<2，<<.cos<0.cos.三角恒等變換的綜合應(yīng)用探究問題1三角恒等變換的基本方向是什么？提示：基本方向是變角、變函數(shù)、變結(jié)構(gòu)2三角恒等變換的基本技巧是什么？提示：基本技巧是弦切互化，異名化同名，異角化同角(角分析法)；升冪或降冪，分式通分，無理化有理，常數(shù)的處理(如1的代換)；變量集中(引進(jìn)輔助角)如acos bsin sin()(為輔助角)3三角恒等變換的基本目標(biāo)是什么？提示：基本目標(biāo)

9、是復(fù)角化單角，異名化同名，轉(zhuǎn)換運(yùn)算形式試著相約或相消，達(dá)到項(xiàng)數(shù)盡量少，種類(名稱)盡量少，次數(shù)盡量低，分母中盡量不含三角函數(shù)；盡可能不帶根號(hào)，能求出值的求出值來，絕對(duì)值要討論已知向量a(2sin x，cos x)，b(cos x，2cos x)，定義函數(shù)f(x)a·b1.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)畫出函數(shù)g(x)f(x)，x的圖像，由圖像寫出g(x)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：64012187】思路探究本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角公式及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)式為f(x)Asin(x)B的形式，然后求解解f(x)

10、2sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin.(1)T.(2)2k2x2kkxk(kZ)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)母題探究1將例5的條件變?yōu)椤耙阎猣(x)sinsin2cos2x”，試求f(x)2的x的取值范圍解f(x)sinsin2cos2xsin 2xcos cos 2xsin sin 2xcos cos 2x·sin cos 2x1sin 2xcos 2x12sin1，f(x)2，2sin12，sin，2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，f(x)2的x的取值范圍是.2將例5中的條件變?yōu)椤癴(x)sin 4x2sin xcos xcos4x”，試求該函數(shù)在0，上的單調(diào)增區(qū)間解f(x)sin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xsin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為