181924 242 拋物線的幾何性質(zhì)

1、2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(重點)2.會用拋物線的幾何性質(zhì)處理簡單問題(難點)3.直線與拋物線的公共點問題(易錯點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知教材整理1拋物線的幾何性質(zhì)閱讀教材P52表格的部分，完成下列問題類型y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖象性質(zhì)焦點FFFF準(zhǔn)線xxyy范圍x0，yRx0，yR xR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)拋物線是中心對稱圖形()(2)拋物線的范圍

2、是xR.()(3)拋物線是軸對稱圖形()(4)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.()(5)拋物線x22py(p0)上任意一點P(x0，y0)到其焦點的距離是x0.()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2若橢圓1的左焦點在拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線上，則p_.解析由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程知a24，b23，所以c2a2b21，所以橢圓的左焦點為(1,0)，因為橢圓左焦點在拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線上，所以1，故p2.答案2教材整理2拋物線的焦點弦、通徑閱讀教材P52例1上面的部分，完成下列問題拋物線的焦點弦即為過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦弦

3、長公式為ABx1x2p，在所有的焦點弦中以垂直于對稱軸的焦點弦弦長最短，A0B02p，稱為拋物線的通徑1過拋物線y24x的焦點F做垂直于拋物線對稱軸的直線，交拋物線于A，B兩點，則線段AB的長為_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392097】解析易知線段AB為拋物線的通徑，所以AB4.答案42如圖2­4­2，過拋物線x24y的焦點作直線垂直于y軸，交拋物線于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則OAB的面積是_圖2­4­2解析F(0，1)，將y1代入得xA2，AB4，SOAB×4×12.答案2合 作 探 究·攻 重 難依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求拋物

4、線標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py (p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為_(2)已知拋物線的焦點F在x軸正半軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，若OAB的面積等于4，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392098】自主解答(1)雙曲線C1：1(a0，b0)的離心率為2，2，ba，雙曲線的漸近線方程為x±y0，拋物線C2：x22py(p0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，p8.所求的拋物線方程為x216y.(2)不妨設(shè)拋物線的方程為y22

5、px，如圖所示，AB是拋物線的通徑，AB2p，又OFp，SOAB·AB·OF·2p·pp24，故p2.答案(1)x216y(2)y24x名師指津利用拋物線幾何性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點：解決焦點弦問題.再練一題1拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x216y2144的短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析橢圓的方程可化為1，其短軸在y軸上，拋物線的對稱軸為y軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py

6、或x22py(p0)，由拋物線焦點到頂點的距離為3得3，p6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或x212y.答案x212y或x212y與拋物線有關(guān)的最值問題求拋物線yx2上的點到直線4x3y80的最小距離. 【導(dǎo)學(xué)號：71392099】精彩點撥本題的解法有兩種：法一，設(shè)P(t，t2)為拋物線上一點，點P到直線的距離為d，再利用二次函數(shù)求最小距離；法二，設(shè)直線4x3ym0與直線4x3y80平行且與拋物線相切，求出m的值后，再利用兩平行線間的距離公式求最小距離自主解答法一：設(shè)P(t，t2)為拋物線上的點，它到直線4x3y80的距離d.當(dāng)t時，d有最小值.法二：如圖，設(shè)與直線4x3y80平行的拋物線的切

7、線方程為4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距離為.名師指津拋物線中最值的求解策略(1)可借助于拋物線的有關(guān)知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，但要注意拋物線的范圍.(2)當(dāng)條件中有關(guān)于拋物線上的點P到焦點F的距離問題，一定要考慮拋物線的定義，注意點P到F的距離與點P到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化.再練一題2已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_解析因為拋物線的方程為y24x，所以焦點坐標(biāo)F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1，所以設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為PB，則PBPF，P到直線l1：4x3y60的距離為PA，所以PAPBPAPFFD

8、，其中FD為焦點到直線4x3y60的距離，所以FD2，所以距離之和最小值是2.答案2拋物線的幾何性質(zhì)探究問題1從幾何性質(zhì)上看，拋物線與雙曲線有何區(qū)別和聯(lián)系？提示(1)拋物線的幾何性質(zhì)和雙曲線幾何性質(zhì)比較起來，差別較大，它的離心率為1，只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線，它沒有對稱中心(2)拋物線與雙曲線的一支，盡管它們都是不封閉的有開口的光滑曲線，但是它們的圖象性質(zhì)是完全不同的事實上，從開口的變化規(guī)律來看，雙曲線的開口是越來越闊，而拋物線開口越來越趨于扁平2如何認(rèn)識拋物線的焦點弦？提示如圖，AB是拋物線y22px(p>0)過焦點F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

9、AB的中點M(x0，y0)，相應(yīng)的準(zhǔn)線為l.(1)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切；(2)AB2(焦點弦長與中點關(guān)系)；(3)ABx1x2p；(4)若直線AB的傾斜角為，則AB；如當(dāng)90°時，AB叫拋物線的通徑，是焦點弦中最短的；(5)A，B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2，y1·y2p2；(6).3設(shè)拋物線上任意一點P(x0，y0)，焦點弦端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標(biāo)準(zhǔn)形式下的焦半徑PF、焦點弦AB，如何表示提示標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)焦半徑

10、PFPFx0PFx0PFy0PFy0焦點弦ABABx1x2pABpx1x2ABy1y2pABpy1y2已知過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且ABp，求AB所在的直線方程. 【導(dǎo)學(xué)號：71392100】精彩點撥求AB所在直線的方程的關(guān)鍵是確定直線的斜率k，利用直線AB過焦點F，ABx1x2pp求解自主解答由題意可知，拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB.由拋物線的定義，知AFdAx1，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.當(dāng)x1x2時，AB2p<p，故直線A

11、B與x軸不垂直設(shè)直線AB的方程為yk.由得k2x2p(k22)xk2p20，x1x2，即p，解得k±2.故直線AB的方程為y2或y2.再練一題3斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y24x的焦點，與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長解由題意知拋物線焦點為F(1,0)，kAB1，所以AB的方程為yx1，代入y24x得(x1)24x，即x26x10，320，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x26，ABAFFBx1x228，線段AB的長為8.直線與拋物線的位置關(guān)系探究問題4直線與拋物線有幾種位置關(guān)系？交點的個數(shù)怎樣？直線與拋物線的交點個數(shù)能否用判別式來判斷？提示三種位置關(guān)系，相交兩個或

12、一個交點；相切一個交點；相離沒有公共點當(dāng)判斷交點個數(shù)時，要注意二次項系數(shù)不為零時，才可使用判別式進(jìn)行判斷5設(shè)直線l：ykxb，拋物線y22px(p>0)，如何判斷直線與拋物線的交點個數(shù)？提示直線與拋物線交點的個數(shù)等價于方程組的解的個數(shù)，也等價于方程ky22py2bp0的解的個數(shù)(1)若k0，當(dāng)>0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當(dāng)0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當(dāng)<0時，直線和拋物線相離，無公共點(2)若k0，則直線l與拋物線y22px(p>0)相交，有一個公共點特別地，當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為xm，則當(dāng)m>0時，l與拋物線相交，有兩個公

13、共點；當(dāng)m0時，l與拋物線相切，有一個公共點；當(dāng)m<0時，l與拋物線相離，無公共點(3)直線與拋物線只有一個公共點并不一定表示直線與拋物線相切，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個公共點求過定點P(0,1)且與拋物線y22x只有一個公共點的直線方程. 【導(dǎo)學(xué)號：71392101】精彩點撥當(dāng)直線和拋物線只有一個公共點時，應(yīng)該有兩種情況：一是直線和拋物線相切；二是直線與拋物線的對稱軸平行，容易忽略的是第二種情況，還有第一種情況中應(yīng)考慮斜率不存在的情形自主解答若直線的斜率不存在，則過點P(0,1)的直線方程為x0.由得直線x0與拋物線只有一個公共點；若直線的斜率存在，則由題

14、意，設(shè)直線的方程為ykx1.由消去y得k2x22(k1)x10.當(dāng)k0時，有即直線y1與拋物線只有一個公共點；當(dāng)k0時，有4(k1)24k20，k，即方程為yx1的直線與拋物線只有一個公共點綜上所述，所求直線的方程為x0或y1或yx1.再練一題4設(shè)直線y2xb與拋物線y24x交于A，B兩點，已知弦AB的長為3，則b_.解析由消去y，得4x24(b1)xb20.由>0，得2b1>0，即b<.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21b，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|·3，12b9，即b4.答案4當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1經(jīng)過拋物線y22

15、px(p>0)的所有焦點弦中，弦長的最小值為_解析通徑長為2p.答案2p2過拋物線y24x的焦點作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1x28，則PQ的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：71392102】解析PQx1x2210.答案103直線l：yxb與拋物線C：x24y相切于點A，則實數(shù)b的值為_解析由得x24x4b0，因為直線l與拋物線C相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1.答案14已知拋物線C：yx2，則過拋物線焦點F且斜率為的直線l被拋物線截得的線段長為_解析由題意得l的方程為yx1，即x2(y1)代入拋物線方程，得y(y1)2，即y23y10.設(shè)線段端點坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段長度為y1y2p5.答案55已知拋物線y22px(p0)，過C(4,0)作拋物線的兩條