1-9.極限的計算---兩個重要極限

1、模塊基本信息一級模塊名稱函數(shù)與極限二級模塊名稱計算模塊三級模塊名稱極限的計算-兩個重要極限模塊編號1-9先行知識極限的計算-常用計算方法模塊編號1-8知識內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、兩個重要極限的證明1、理解兩個重要極限一般掌握2、型極限的計算（第一個重要極限公式）2、熟練掌握簡單的利用兩個重要極限公式求函數(shù)的極限3、型極限的計算（第二重要極限公式）3、一般掌握較復(fù)雜的利用兩個重要極限求函數(shù)的極限能力目標(biāo)1、培養(yǎng)學(xué)生的計算能力2、培養(yǎng)學(xué)生對知識的歸納能力時間分配45分鐘編撰陳亮校對王清玲審核危子青 修訂熊文婷二審危子青一、正文編寫思路及特點：思路：通過對兩個重要極限的特點分析，及例題層層遞進(jìn)的訓(xùn)練

2、。讓學(xué)生能夠靈活運用兩個重要極限求解相關(guān)函數(shù)的極限。特點：以兩個重要極限的基本模型為基礎(chǔ)，對類似的兩個重要極限進(jìn)行轉(zhuǎn)換計算，讓學(xué)生在對同類型的極限進(jìn)行計算過程中，掌握利用兩個重要極限進(jìn)行相關(guān)計算。二、授課部分（一）預(yù)備知識 型極限的計算（2） 新課講授1、無窮小的定義 定義：如果當(dāng)（或）時,函數(shù)的極限為零，那么函數(shù)就稱為（或）時的無窮小量（簡稱為無窮小）。引例 (說明：當(dāng)時，均為無窮小量.) 2、（第一個重要極限） (選講) 證明思路：函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則由于為型極限，之前我們有因式分解法，而對于顯然無法利用因式分解法進(jìn)行求解，所以我們利用如下解法。首先注意到, 函數(shù)對于一切x¹0都有定義

3、.如右圖，圖中的圓為單位圓, BCOA, DAOA. 圓心角ÐAOB=x OCADB1x (0<x<). 顯然 sin x=CB, x=, tan x=AD. 因為 SDAOB<S扇形AOB<SDAOD , 所以sin x<x<tan x, 即 sin x<x<tan x. 不等號各邊都除以sin x, 就有, 或 . 注意：此不等式當(dāng)-<x<0時也成立. 而,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則得 .使用說明: 在極限中, 只要是無窮小, 就有.例1. 求. （一級）解: 例2. 求. （一級）解: .例3. 求. （二級）解: =（選講）例4.

4、 求. （三級）解：令，則 . 3、 （第二個重要極限）考慮特殊情況.對n取不同正整數(shù)，可得數(shù)列的取值的表格如下：n12310203010022.5942.6532.6582.705 （注：表格中算出的值均為無理數(shù)）根據(jù)上述的表格，可得以下結(jié)論： 數(shù)列單調(diào)、有界； 數(shù)列的極限存在； 數(shù)列的極限為無理數(shù).使用說明：在極限中, 只要是無窮?。ㄐ蜆O限），就有. 例5. 求. （一級） 解: 令t=n, 則n®¥時, t ®¥. 于是 . 或 例6. 求. （一級）解: 令 則x ®0時, t ®¥. 于是 . 注：為的等價形式.例7. 求. (二級) 解: 令 則x ®¥時, t ®¥. 于是（選講）例8. 求. （三級)解：注：例6、例7和例8中的函數(shù)均為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)形如.若，則.三、能力反饋部分（一）第一個重要極限（1） （一級）（2）