《數(shù)學(xué)分析》第六章 微分中值定理及其應(yīng)用

1、第六章 微分中值定理及其應(yīng)用（計(jì)劃課時(shí)： 8時(shí) ） § 1中值定理 （ 3時(shí) ）一 思路: 在建立了導(dǎo)數(shù)的概念并討論了其計(jì)算后，應(yīng)考慮導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)方面的一些作用?；谶@一目的，需要建立導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的某種聯(lián)系。還是從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)：=.若能去掉導(dǎo)數(shù)定義中的極限符號(hào),即,則目的就可達(dá)到.這樣從幾何上說就是要考慮曲線的割線與切線之間的平行關(guān)系. 一方面要考慮給定割線, 找平行于該割線的切線; 另一方面要考慮給定切線, 找平行于該切線的割線. (1)若給定的割線是水平的、斜的或曲線的方程以參數(shù)方程的形式給出，則分別可找出相應(yīng)的切線平行于該割線，再分析所需要的條件，就可建立起Rolle定理

2、、Lagrange定理、Cauchy定理. 這三個(gè)微分中值定理用一句話概括：對(duì)于處處連續(xù)、處處有切線曲線的每一條割線都可以找到平行于該割線的切線. (2)若給定切線, 找平行于該切線的割線, 則不一定能實(shí)現(xiàn). 二 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 敘述為Th1. ( 證 ) 定理?xiàng)l件的充分但不必要性.2. Lagrange中值定理: 敘述為Th2. ( 證 ) 圖解 .用分析方法引進(jìn)輔助函數(shù), 證明定理. Lagrange中值定理的各種形式. 關(guān)于中值點(diǎn)的位置.系1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). (證)系2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且系3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).

3、若存在 , 則右導(dǎo)數(shù)也存在, 且有(證)但是, 不存在時(shí), 卻未必有不存在. 例如對(duì)函數(shù) 雖然不存在,但卻在點(diǎn)可導(dǎo)(可用定義求得).Th3 (導(dǎo)數(shù)極限定理) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). 若極限存在, 則也存在, 且 ( 證 )由該定理可見, 若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo),則區(qū)間I上的每一點(diǎn),要么是導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)點(diǎn),要么是的第二類間斷點(diǎn).這就是說,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間I上點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), 導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I上不可能有第二類間斷點(diǎn). 3. Cauchy中值定理:Th 4 設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間上連續(xù), 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 和在內(nèi)不同時(shí)為零, 又 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 .證 分析引出輔助函數(shù) . 驗(yàn)證在上滿足Rol

4、le定理的條件, 必有, 因?yàn)榉駝t就有.這與條件“和在內(nèi)不同時(shí)為零”矛盾. Cauchy中值定理的幾何意義. Ex 1P163 14； 三 中值定理的簡單應(yīng)用: ( 講1時(shí) ) 1. 證明中值點(diǎn)的存在性: 例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 則, 使得 .證 在Cauchy中值定理中取.例2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且有.試證明: .2. 證明恒等式: 原理.例3 證明: 對(duì), 有 .例4 設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)且又 則 .(證明 . )例5 設(shè)對(duì),有 ,其中是正常數(shù).則函數(shù)是常值函數(shù). (證明 ).3. 證明不等式: 原理. 例6 證明不等式: 時(shí), .例7 證明不等式: 對(duì)，有. 4.

5、 證明方程根的存在性: 例8 證明方程 在內(nèi)有實(shí)根.例9 證明方程 在內(nèi)有實(shí)根.四 單調(diào)函數(shù) （結(jié)合幾何直觀建立）1 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)的充要條件Th 5設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)(或) 在內(nèi) ( 或 ).例10 設(shè).試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:確定定義域. 函數(shù)的定義域?yàn)?求導(dǎo)數(shù)并分解因式.確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和不存在的點(diǎn).令,得將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)作為分點(diǎn)插入函數(shù)的定義域,列表討論各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.列表(-1,1)02 可導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充要條件Th6設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)( 或) > 對(duì) 有 ( 或; > 在內(nèi)任子區(qū)間上3 可導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充分條件推論 見P124例11

6、 證明不等式 Ex 1P124125 17. §2 不定式的極限 ( 2時(shí) ) 一. 型:Th 1 (Hospital法則 ) ( 證 ) 應(yīng)用技巧.例1 例2 .例3 . ( 作代換 或利用等價(jià)無窮小代換直接計(jì)算. )例4 . ( Hospital法則失效的例 )二 型:Th 2 (Hospital法則 ) ( 證略 )例5 .例6 .注: 關(guān)于當(dāng)時(shí)的階.例7 . ( Hospital法則失效的例 )三. 其他待定型: .前四個(gè)是冪指型的.例8例9.例10.例11.例12.例13.例14設(shè) 且 求解 . Ex 1P132133 15. §3 Taylor公式 ( 3時(shí) )

7、 一. 問題和任務(wù): 用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的可能性; 對(duì)已知的函數(shù), 希望找一個(gè)多項(xiàng)式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 16851731 )多項(xiàng)式:分析前述任務(wù)，引出用來逼近的多項(xiàng)式應(yīng)具有的形式定義 (Taylor 多項(xiàng)式 及Maclaurin多項(xiàng)式)例1 求函數(shù)在點(diǎn)的Taylor 多項(xiàng)式. 三. Taylor公式和誤差估計(jì):稱 為余項(xiàng). 稱給出的定量或定性描述的式為函數(shù)的Taylor公式. 1. 誤差的定量刻畫( 整體性質(zhì) ) Taylor中值定理:Th 1 設(shè)函數(shù)滿足條件: > 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù); > 在開區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).則對(duì) 使 .證 1P138139.稱這種形

8、式的余項(xiàng)為Lagrange型余項(xiàng). 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式. Lagrange型余項(xiàng)還可寫為 .時(shí), 稱上述Taylor公式為Maclaurin公式, 此時(shí)余項(xiàng)常寫為 .2. 誤差的定性描述( 局部性質(zhì) ) Peano型余項(xiàng):Th 2 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 且存在, 則 , . 證 設(shè), . 應(yīng)用Hospital法則次,并注意到存在, 就有 = .稱為Taylor公式的Peano型余項(xiàng), 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項(xiàng)為. 并稱帶有這種形式余項(xiàng)的Taylor公式為具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式( 或M

9、aclaurin公式 ). 四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開: 1. 直接展開:例2 求 的Maclaurin公式.解 .例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函數(shù)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .解 . .例5 把函數(shù)展開成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式. 2. 間接展開: 利用已知的展開式, 施行代數(shù)運(yùn)算或變量代換, 求新的展開式.例6 把函數(shù)展開成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .解 ,.例7 把函數(shù)展開成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .解 , 注意, .例8 先把函數(shù)展

10、開成具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式.利用得到的展開式, 把函數(shù)在點(diǎn)展開成具Peano型余項(xiàng)的Taylor公式.解 . =+例9 把函數(shù)展開成具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 ，并與的相應(yīng)展開式進(jìn)行比較.解 ; .而 . 五. Taylor公式應(yīng)用舉例: 1. 證明是無理數(shù):例10 證明是無理數(shù).證 把展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式, 有 .反設(shè)是有理數(shù), 即和為整數(shù)), 就有 整數(shù) + .對(duì)也是整數(shù). 于是, 整數(shù) = 整數(shù)整數(shù) = 整數(shù).但由 因而當(dāng) 時(shí)，不可能是整數(shù). 矛盾.2. 計(jì)算函數(shù)的近似值:例11 求精確到的近似值.解 .注意到 有 .

11、 為使,只要取. 現(xiàn)取, 即得數(shù)的精確到的近似值為 .3. 利用Taylor公式求極限: 原理:例12 求極限 .解 , ; .4 證明不等式： 原理.例13 證明: 時(shí), 有不等式 . Ex 1P141 13. §4 函數(shù)的極值與最大（?。┲担?4時(shí) ） 一 可微函數(shù)極值點(diǎn)判別法:極值問題:極值點(diǎn),極大值還是極小值, 極值是多少.1. 可微極值點(diǎn)的必要條件: Th1 Fermat定理(取極值的必要條件).函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為可疑點(diǎn), 可疑點(diǎn)的求法.2. 極值點(diǎn)的充分條件: 對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn), 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極（結(jié)合幾何直觀建立極值點(diǎn)的判別法）Th 2 (

12、充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 在鄰域和內(nèi)可導(dǎo). 則 > 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn); > 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); > 若在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則不是極值點(diǎn).或列表為不存在極小值點(diǎn)不存在極大值點(diǎn)不存在非極值點(diǎn)不存在非極值點(diǎn)Th 3 (充分條件“雨水法則”)設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)且存在.則 > 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); > 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn).證法一 當(dāng)時(shí), 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與異號(hào),證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項(xiàng).Th 4 (充分條件 ) 設(shè),而.則 > 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn); > 為偶數(shù)時(shí), 是極值點(diǎn)

13、. 且對(duì)應(yīng)極小; 對(duì)應(yīng)極大.例1 求函數(shù)的極值. 例2 求函數(shù)的極值. 例3 求函數(shù)的極值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是極值點(diǎn)判別的充分條件.如函數(shù)它在處取極小值,但因.所以無法用Th 4對(duì)它作出判別.二 函數(shù)的最大值與最小值:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且僅有有限個(gè)可疑點(diǎn). 則 =; .函數(shù)最值的幾個(gè)特例:> 單調(diào)函數(shù)的最值:> 如果函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn), 則當(dāng)為極大值點(diǎn)時(shí), 亦為最大值點(diǎn); 當(dāng)為極小值點(diǎn)時(shí), 亦為最小值點(diǎn).> 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn), 則該點(diǎn)亦為最大(或小)值點(diǎn).> 對(duì)具有實(shí)際意義的函數(shù), 常用實(shí)際判斷原則確定最大(或

14、小)值點(diǎn).例4 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值.B最值應(yīng)用問題:例5 、兩村距輸電線(直線A1.5km)分別為 和（如圖），1km長. 現(xiàn)兩村合用一臺(tái)變壓器供電. 問變壓器設(shè)在何處,輸電線總長最小.DEC解 設(shè)如圖，并設(shè)輸電線總長為.則有 , , 解得 和 ( 舍去 ). 答： 三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式:我們?cè)谇懊婧喗檫^用中值定理或Taylor公式證明不等式的一些方法. 其實(shí), 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法至少可以提出七種 ( 參閱3P112142 ). 本段僅介紹利用單調(diào)性或極值證明不等式的簡單原理.1. 利用單調(diào)性證明不等式: 原理: 若, 則對(duì), 有不等式.例5證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù)和, 成立

15、不等式 證 取在內(nèi).于是, 由 , 就有 , 即 . 2. 不等式原理: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且; 又 則 時(shí), (不等式原理的其他形式.)例6 證明: 時(shí), .例7 證明: 時(shí), .3. 利用極值證明不等式:例8 證明: 時(shí), . Ex 1P146147 19. §5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)（ 2時(shí) ）一 凸性的定義及判定：1 凸性的定義：由直觀引入. 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義 見書P146凸性的幾何意義: 曲線的彎曲方向;曲線與弦的位置關(guān)系;曲線與切線的位置關(guān)系. 引理(弦與弦斜率之間的關(guān)系)2 利用一階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向Th1 (凸的等價(jià)描述) 見書P14

16、6例1 (開區(qū)間內(nèi)凸函數(shù)的左、右可導(dǎo)性,從而開區(qū)間內(nèi)凸函數(shù)是連續(xù)的)3 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向:Th2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi) 在內(nèi)嚴(yán)格上凸; 在內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì) 設(shè), 把在點(diǎn)展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 .其中和在與之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即嚴(yán)格上凸. 若有 上式中, 即嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設(shè),并設(shè) ,分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴(yán)格下凸.可類證的情況.例2 討論函數(shù)的凸性

17、區(qū)間.例3 若函數(shù)為定義在開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),則為的極值點(diǎn)的充要條件是為的穩(wěn)定點(diǎn)，即4 凸區(qū)間的分離: 的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二. 曲線的拐點(diǎn): 拐點(diǎn)的定義.Th3 (拐點(diǎn)的必要條件)Th4 (拐點(diǎn)的充分條件)不存在拐點(diǎn)不存在拐點(diǎn)不存在非拐點(diǎn)不存在非拐點(diǎn)注:函數(shù)的凹凸性、拐點(diǎn)歸結(jié)為其一階導(dǎo)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn).例4 討論曲線的拐點(diǎn).極大值拐點(diǎn) 三 Jensen不等式及其應(yīng)用:Jensen不等式: 設(shè)在區(qū)間上恒有( 或, 則對(duì)上的任意個(gè)點(diǎn) , 有Jensen不等式: ( 或,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.證 令, 把表為點(diǎn)處具二階Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式，仿前述定理

18、的證明，注意 即得所證.對(duì)具體的函數(shù)套用Jensen不等式的結(jié)果,可以證明一些較復(fù)雜的不等式.這種證明不等式的方法稱為Jensen不等式法或凸函數(shù)法.具體應(yīng)用時(shí),往往還用到所選函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.例2 證明: 對(duì) 有不等式 .例3 證明均值不等式: 對(duì), 有均值不等式 .證 先證不等式. 取. 在內(nèi)嚴(yán)格上凸, 由Jensen不等式, 有 .由 . 對(duì)用上述已證結(jié)果, 即得均值不等式的左半端.例4 證明: 對(duì), 有不等式 . ( 平方根平均值 )例5設(shè)，證明 .解 取, 應(yīng)用Jensen不等式.例6 在中, 求證 .解 考慮函數(shù)在區(qū)間內(nèi)凹, 由Jensen不等式, 有.例7 已知. 求證 .解 考慮函數(shù), 在內(nèi)嚴(yán)格上凸. 由Jensen不等式, 有 . . 例8 已知 求證 . ( 留為作業(yè)