《廣義結構力學及其工程應用》 陳燊 - 2

1、 第2章 結構簡化與機動分析§2.1 緒論結構力學研究對象經(jīng)典的結構力學也稱狹義結構力學，主要研究由桿件組成的體系（桿件系統(tǒng)），更多涉及平面桿系。若該體系(或其中某些構件)能承擔荷載，并起傳力的骨架作用，則稱為結構。所謂桿件是指可以當作一維構件計算的三維物體，包括梁、柱、鏈桿、曲桿、轉軸等等，桿的橫截面尺寸比長度小得多。廣義結構力學除了研究可變形的桿件體系外，還包括可變形的連續(xù)體，如平板、殼體、塊體等等。所謂“殼”是指可以當作二維曲面彈性體計算的三維物體，殼的橫截面的厚度比曲面橫展尺寸小得多?！鞍濉笔侵盖蕿榱愕钠綒?；但實際上平板形變后都成為有曲率的殼體。而堤壩、地基等實體結構的三維

2、尺寸差異不大，應作為空間問題考慮，某些特殊情況可以簡化為平面問題處理。結構向復雜化系統(tǒng)發(fā)展有兩個特點：一是簡單的梁桿構件組成越來越復雜的桿件系統(tǒng)，未知量成千上萬；另一方面則發(fā)展成復雜的構件、板殼及其組合系統(tǒng)。因此現(xiàn)代廣義結構力學所研究的對象已大大超出了狹義結構力學的范疇。 結構計算簡圖計算簡圖由實際結構簡化抽象而成，取桿件軸線，或板殼中面，或塊體輪廓加上結構內(nèi)部的結點、結線聯(lián)系，或外部的支桿、支座等邊界約束，并考慮簡化或分配的荷載，構成力學計算模型。（1）聯(lián)系（約束）結點（內(nèi)部聯(lián)系）分鉸結點、剛結點和組合結點。支座（外部約束）分固定（或活動）鉸支座、固定端支座、滑動支座、彈簧支座。（2）荷載類

3、型集中荷載和分布荷載（各包括力或力偶），稱“主動力”，往往是已知的外力，連續(xù)體中的分布荷載有面力和體力之分。為了平衡主動力，支座必然產(chǎn)生約束反力，稱“被動力”，一般是未知的外力。當取分離體研究時，截面內(nèi)力或內(nèi)部聯(lián)系中的內(nèi)力可能暴露成外力，視為某種約束力來求解。（3）內(nèi)力素為了承受和傳遞荷載，構件內(nèi)部產(chǎn)生的作用力，稱“內(nèi)力” 。內(nèi)力元素一般分為四種：軸力（N）、剪力（Q）、扭矩（T）、彎矩（M）；與之相應的變形有軸向拉伸壓縮、剪切、扭轉、彎曲或各種組合形式。在平面桿件體系中只有軸力、剪力、彎矩，而扭矩為面外力。但作為內(nèi)力集度的應力則只有垂直于截面的正應力（）和截面上平行于截面的剪應力（）兩種分量

4、。它們的定義可參考材料力學和彈性力學的規(guī)定。結構類型一般分桿件結構、板殼結構、塊體結構（圖2.1.1）。常見的桿件結構（包括薄壁桿件結構）有：梁（桿軸為直線或雖為曲桿但主要受彎的結構）、拱（由曲桿組成，僅在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平推力的結構）、桁架（由等截面直桿理想鉸結形成、僅在結點處受荷載作用的結構）、剛架（由等直桿剛結或部分剛結、部分組合結點連接而成的結構）及組合結構（部分桿件屬桁架桿、索或拱，另一部分又屬于受彎的梁式桿的結構）。它們既可以是靜定結構，也可以是超靜定結構。后者內(nèi)力僅由平衡條件尚不能確定，須補充變形條件。圖2.1.1 結構分類根據(jù)結構軸線（面）和外力的空間位置，結構可分為空間

5、結構和平面結構。實際工程結構都是空間結構，但有些可簡化、分解為平面結構（或平面問題）來處理。平面結構各桿軸及外力均在同一平面內(nèi)，不出現(xiàn)扭轉或斜彎曲狀態(tài)。§2.2 實際結構體系的簡化實際結構是很復雜的，在對實際結構（如高層建筑、大跨度橋梁、大型水工結構）進行力學分析和計算之前必須加以簡化，用一個簡化圖形（結構計算簡圖）來代替實際結構，略其次要細節(jié)，顯示其基本特點，作為力學計算的基礎。這一過程通常稱為力學建模。結構計算簡圖的選擇經(jīng)歷一個復雜的過程，需要力學知識、結構知識、工程實踐經(jīng)驗和洞察力，經(jīng)過科學抽象、實驗論證，根據(jù)實際受力、變形規(guī)律等主要因素，對結構進行合理簡化。它不僅與結構的種類

6、、功能有關，而且與作用在結構上的荷載、計算精度要求、結構構件的剛度比、安裝順序、實際運營狀態(tài)及其它指標有關。計算簡圖的選擇可能因計算狀態(tài)（是考慮強度或剛度，計算穩(wěn)定或振動，還是鋼筋混凝土抗裂驗算）而異，也依賴于所要采用的計算理論和計算方法，方能完成結構構件線性或非線性的應力和應變狀態(tài)分析。實用上可以參考同類工程實例。對實際結構體系主要進行如下的簡化6。 結構整體的簡化除了具有明顯空間特征的結構外，在多數(shù)情況下，把實際的空間結構（忽略次要的空間約束）分解為平面結構。對于沿長度方向結構的橫截面保持不變的柱形結構，如隧洞、水管、廠房結構（圖2.2.1），可作兩相鄰橫截面截取平面結構（切片）計算。對于

7、多跨多層的空間剛架，根據(jù)縱橫向剛度和荷載（風載、地震力、重力等），截取縱向或橫向的平面剛架來分析（圖2.2.2）。若空間結構是由幾種不同類型的平面結構組成（如框剪結構），在一定條件下可以把各類平面結構合成一個總的平面結構，并算出每類平面結構所分配的荷載，分別計算每類平面結構（如圖2.2.3所示）。 圖2.2.1 直墻拱（隧洞） 圖2.2.2 多跨多層空間剛架圖2.2.3 框架剪力墻結構 桿件的簡化除了短桿深梁外，桿件用其軸線表示，桿件之間的連接區(qū)用結點表示，并由此組成桿件系統(tǒng)（桿系內(nèi)部結構）。桿長用結點間的距離表示，并將荷載作用點轉移到桿件的軸線上。對于微彎、微折或格構式桿件常以實體直桿代替（

8、圖2.2.4）。一些變截面桿件（如斜桿剛架），可逐桿逐段取為等截面，桿軸線取平行于某側平直表面（圖2.2.5）。在計算剛架的位移時，忽略軸向變形的影響（即抗拉壓剛度無窮大）；強梁弱柱時，在水平荷載作用下的橫梁剛度也常假設為無窮大，如圖2.2.6所示。 桿件間連接的簡化桿件間的連接區(qū)簡化為桿軸線的匯交點（稱結點），桿件連接理想化為鉸結點、剛結點和組合結點。各桿在鉸結點處互不分離，但可以相互轉動（如木屋架的結點）；各桿在剛結點處既不能相對移動，也不能相對轉動，因此相互間的作用除了力以外還有力偶（如現(xiàn)澆鋼筋混凝土結點）。組合結點即部分桿件之間屬鉸結點，另部分桿件之間屬剛結點（有時也稱半鉸結點或半剛結

9、點，如圖2.2.7a所示）。圖2.2.4 廠房排架 圖2.2.5 斜腿剛架 圖2.2.6 剪切型剛架當工程結構中桿件接合部加腋，結合區(qū)尺寸較大，剛度增大的影響不可忽略時，常將各桿端進入結合區(qū)的一段視為剛性段（稱為剛域），用有限元法分析時，將具有剛域桿件作為一個單元，首先建立單元桿端位移（桿端力）和彈性段桿端位移（桿端力）之間的轉換關系，然后利用轉換關系，由彈性段的剛度方程推出具有剛域單元的剛度矩陣和等效結點荷載，如圖2.2.8所示。在確定結點簡圖時，除要考慮結點的構造情況外，還要考慮結構的幾何組成情況（詳見§2.3機動分析）。例如工程中的鋼桁架和鋼筋混凝土桁架，雖然從結點構造上看接近

10、于剛結點，但其受力狀態(tài)卻與一般剛架不同，因為其幾何構造是桁架，幾何不變性不依靠結點的剛性，因此結點處彎矩很小。也就是說，軸力是主要的，彎曲內(nèi)力是次要的，把各結點簡化為鉸結點，按理想桁架計算主要內(nèi)力是合理的。但空腹梁則不同，如果把所有剛結點都改為鉸結點，則不能維持幾何不變，其承載性能依賴于結點的剛性，所以結點必須取為剛結點，按剛架計算，如圖2.2.9所示。圖2.2.7 組合結點與組合結構 圖2.2.8 具有剛域的結構 圖2.2.9 結點構造與幾何組成 結構與基礎間連接的簡化結構與基礎的連接區(qū)簡化為支座，按其受力特征分為五種：活動鉸支座（滾軸支座），固定鉸支座，定向支座（滑動支座），固定（端）支座

11、和彈性（彈簧）支座，前四種支座在理論力學中出現(xiàn)過。彈性支座在提供反力的同時產(chǎn)生相應的位移，反力與位移的比值保持不變，稱為彈性支座的剛度系數(shù)。彈性支座既可提供移動約束，也可提供轉動約束。當支座剛度與結構剛度相近時，宜簡化為彈性支座。當結構某一部分承受荷載時（如研究結構穩(wěn)定問題），其相鄰部分可看作是該部分的彈性支承，支座的剛度取決于相鄰部分的剛度（如將斜拉橋的斜拉索簡化為彈簧支座）。當支座剛度遠大于或遠小于該部分的剛度時，彈性支座則向前四種理想支座轉化，如圖2.2.10所示。圖2.2.10 彈性支座與理想支座 荷載的簡化結構承受的荷載分為體積力（結構的自重或慣性力）和表面力兩大類，都作用于桿件軸線

12、上，并簡化為分布荷載和集中荷載。§2.3 機動分析及計算機方法對于由結點連接而成的桿件體系，要判定它是能承載的結構（幾何不變體系，常見于土木工程），還是能運動的機構（幾何可變體系，常用于機械工程），必須通過幾何構造分析（也稱機動分析），了解結構的組成規(guī)律，才能正確選取結構及其計算簡圖，進一步分析結構的受力和變形。 機動法在分析桿系結構組成時，主要關注其幾何形狀和位置的穩(wěn)定，忽略桿件正常承載時的微小變形，因而把所有桿件視為剛體（平面體系稱為剛片）。根據(jù)三邊定長的三角形形狀惟一的幾何特性，建立三個簡單的判定規(guī)則（實質上歸結為一個三剛片規(guī)則，或稱三角形規(guī)則）。1. 三剛片規(guī)則 三個剛片用三

13、個不共線單鉸兩兩相連可組成靜定結構（幾何不變體系，且無多余約束，如三鉸結構）。2. 兩剛片規(guī)則 兩個剛片用一個單鉸和一個不通過鉸的鏈桿相連可構成靜定結構（當剛片為一直桿時，稱作梁式結構）?；蛘哒f，兩剛片用三根既不平行也不交于一點的鏈桿相連構成靜定結構（即無多余約束的幾何不變體系）。3. 二元體規(guī)則 在任意一個體系上增加或減少二元體（在體系上用兩根不共線的鏈桿連接一個新結點的構造稱為二元體）都不會改變原有體系的幾何構造性質。若在一個結構（幾何不變體系或剛片）上，增加二元體可以組成主從結構（如多跨靜定梁），原結構部分稱基本部分，后增加部分稱附屬部分。附屬部分的幾何不變性依賴于基本部分，因此附屬部分

14、向基本部分傳力是主從結構的特點。機動分析的技巧：a) 靈活選取剛片，并逐步擴大剛片。b) 拆除二元體或取內(nèi)部體系，簡化分析對象。c) 利用約束的等效代換以及剛片與鏈桿的互換。d) 利用虛實鉸、無窮遠鉸之間的轉換。桿系幾何可變性分析，實質上是剛體體系的運動可能性分析，因此可以聯(lián)系理論力學中運動學剛體平面運動速度瞬心知識，以運動的思路分析存在虛鉸（也稱瞬鉸）的體系幾何可變性。無窮遠處虛鉸的概念與應用較難理解與掌握，下面總結出三個較為方便的判定規(guī)則7。1. 一鉸在無窮遠，且組成無窮遠虛鉸的兩平行鏈桿與另二鉸連線不平行，體系為幾何不變；若平行，則瞬變；若平行且等長，則為常變（如圖2.3.1a）。2.

15、兩鉸在無窮遠，且組成二無窮遠虛鉸的兩對平行鏈桿互不平行，體系為幾何不變；若相互平行，則為瞬變；若四桿平行且等長，則為常變（如圖2.3.1b）。 3. 三鉸均無窮遠時，體系瞬變；若三對同側平行鏈桿各自等長，則為常變（如圖2.3.1c）。圖2.3.1 三剛片虛鉸無窮遠分析零載法對于復雜體系，當用簡單組成規(guī)則難以奏效時，可采用其它方法，如零載法8。零載法是以靜定結構的靜力解答惟一性為根據(jù)建立的靜力分析方法，只用于計算自由度W=0的體系，可以從零載下是否有非零的內(nèi)力存在來判定它是否幾何不變。零載法不能進一步區(qū)分體系是幾何常變還是瞬變（一般也無需區(qū)分），而統(tǒng)稱幾何可變體系（這種桿件體系不應選作結構）。對

16、于存在非二力桿（如復鏈桿）的體系，由于要考慮剪力與彎矩作用，可能使零載法變得難以操作。分析示例1：試用零載法對圖2.3.2所示體系進行幾何構造分析。 圖2.3.2 示例1圖 圖2.3.3 示例2圖解：（1）計算自由度： W=2jbr2×12204 （注：該公式適用于鏈桿體系，其中：j表示結點數(shù)；b表示鏈桿數(shù)；r表示支桿數(shù)。）（2）用零載法分析：在零荷載作用下，取整體考慮，由X=0，得HA=0。利用體系對稱性，有SDE=SDF 。由D結點（K形結點）分析可得SDE=SDF,故SDE=SDF=0，由T形結點和L形結點判定零桿，SGE=SGH=SGC=0和SGI=SIH=0，于是SEC=S

17、AE=SAG=SHD=0，即左半部桿力和反力都為零。由對稱可知，整個體系內(nèi)力、反力等于零被唯一確定，故體系為幾何不變，且無多余聯(lián)系。分析示例2：試用零載法對圖2.3.3a所示體系進行幾何構造分析。解：（1）計算自由度： W=3m2hr3×172×2270 （注：該公式中，m表示剛片數(shù)；h表示單鉸數(shù)，復鉸需折算成單鉸；r表示支座鏈桿數(shù)，即支桿數(shù)。）(2) 用零載法分析：設在零荷載下，鏈桿GF內(nèi)力有非零解（設為壓力），依次取結點G、H、K、D分析，可知各鏈桿HG、KH、DK均為壓桿（且水平分力都相等），各豎桿也為壓桿（因為靠近拱腳的鏈桿比靠近拱頂?shù)逆湕U傾角更大），左半跨也有同樣

18、的分析結果。截斷豎桿，隔離CB段和AC段（圖2.3.3b、c），分別對B點和A點取矩，欲使MB=0和MA=0同時成立，豎桿不能全為壓桿，與假設產(chǎn)生矛盾。即體系在零荷載下的內(nèi)力與反力不存在非零解，只有唯一的零解答，因此體系為幾何不變體系，且無多余聯(lián)系。 計算機分析法1. 計算機零載法分析（1）體系幾何可變性判據(jù)對于任一平面體系，剛度方程為 P=KU，若荷載向量P=0，則 KU=0， 其中，K為體系的總剛度矩陣，U為對應的結點位移列陣。體系內(nèi)力有唯一零解的條件是總剛度矩陣K的行列式的值不為零，即 。若滿足該式，則體系是幾何不變的，否則就是幾何可變，包括常變和瞬變，還需要進一步判別。（2）幾何常變與

19、瞬變的判據(jù)幾何常變體系是存在實際自由度（也存在計算自由度）的體系。若僅改變其結點的坐標位置，是不能改變其幾何可變性的。而瞬變體系是具備構成幾何不變條件的（計算自由度為零），只是其結點幾何位置的特殊性使其成為幾何可變。因此只要在改變其結點坐標位置后，觀察D值是否由零變成非零，即可判別瞬變與常變。（3）計算機編程如同矩陣位移法的處理步驟，利用結構靜力分析程序，集成總剛度矩陣。在輸入基本數(shù)據(jù)時，保留各結點的原始坐標值備用，若D0，則體系幾何不變；若D=0，則對每一結點循環(huán)，依次改變各結點坐標，重新集成總剛并計算D值，若變?yōu)榉橇悖瑒t體系瞬變；若仍為零，則體系為常變。由于結點的復雜性，必須提供兩端剛結（

20、或鉸結），一端剛結（鉸接）和另一端鉸結（剛結）等四種單元剛度矩陣。計算D值時，可用全主元消去法，將總剛化為上三角陣，則其行列式的值等于主對角線元素的乘積。因此總剛主對角線元素為零（不正定）或消元過程中發(fā)現(xiàn)主元有零者，體系即為幾何常變。 2. 計算機有限（單）元法分析9 （1）單元分析有限單元法作平面體系幾何構造分析時，同樣不考慮桿件的變形，將各桿視為剛體單元，每端結點定義三個結點位移分量（u,v,）。由于單元為剛體，六個結點位移分量中只有三個是獨立的。利用結點坐標為單元的六個結點位移分量提供了三個約束，表達為單元幾何約束方程。結點位移分量的幾何約束方程只與單元的長度及方位角有關（即只與單元兩結

21、點的相對位置有關），從而構造出單元幾何約束矩陣。與一般有限元法中的單元剛度矩陣不同，單元幾何約束矩陣不一定是方陣。單元坐標變換矩陣T，同一般有限元法。 （2.3.1）（2）整體分析集成整體幾何約束方程為 GD=0 （2.3.2）其中，G稱為整體幾何約束矩陣，D為整體結點位移列陣。與有限元法中的剛度集成法不同，集成G時無須對系數(shù)進行累加，只須矩陣列對應即可。當給定約束時，則引入支承條件，刪去G中的相應列和D中的相應行即可。（3）幾何可變性分析通過對給定約束條件處理之后的方程階數(shù)及秩的大小分析，即可確定體系的幾何不變性和靜定性。在M行N列的G矩陣中，N是結點位移的數(shù)目，M是幾何約束方程的個數(shù)，而r

22、則是獨立的幾何約束方程的個數(shù)，rmin(M,N),具有唯一平凡解D=0的充要條件是r=N.此時，體系的自由度為零，是幾何不變體系。若M=r，則所有M個約束都是獨立的、必要的約束；若Mr，則表明在M個約束中只有r個約束是彼此獨立的，因此有M-r個多余約束。若MN（即行多于列），則由于rN而有Mr，此體系必有多余約束。若rN，則獨立的約束數(shù)目少于結點位移的數(shù)目，體系幾何可變。令m=N-r，m為體系的自由度數(shù)。此時存在m個線性無關的基礎解，構成一個基礎解系，其線性組合構成無窮多組解。得到m個線性無關的基礎解，亦即得到體系的m個運動模態(tài)。令體系按m個運動模態(tài)發(fā)生微小變形，在此新的位置上重新計算G,若微

23、小運動后體系自由度m,=0，則原體系為瞬變體系；若m,=m，則體系常變；若0m,m，則體系部分瞬變、部分常變。 （4）示例分析 如圖2.3.4所示的二元體，假設兩單元長均為L，點1和點3與地基鉸接，G矩陣和D矩陣如下： （2.3.3）消去（2.3.3）式中與u1,v1,u3和v3對應的G矩陣的列及D列陣中的行，并利用1=2，3=2，簡化整體幾何約束方程為 （2.3.4）由（D0），可得sin(2-1)= 0，即2=1±k ( k=0,1,2,)時，幾何可變。當21±k時，（D=0），體系幾何不變。進一步分析幾何可變性，設1=0，考慮情況I: k=0,2=1=0時，由式（2.

24、3.4）解出u2=0，1=v2/L，3= - v2/L，可見結點2可作豎直運動（如圖2.3.5a所示），但微小運動后21，即二次分析可知體系為幾何不變，因此情況I對應瞬變體系。對于情況：k=1，2=1+=，由式（2.3.4）解出u2=0，1=2=v2/L=,發(fā)生微小變形后，1=，2=+，仍有2=1+，因此情況對應常變體系(如圖2.3.5b所示)。 圖2.3.4 有限元幾何分析簡例 圖2.3.5 二元體幾何可變性當桿系較為復雜時宜編制程序，由計算機分析。圖2.3.6a、b所示兩個體系均為無多余約束的幾何不變體系，但用機動法或零載法卻很難得到該結果。 圖2.3.6 計算機分析法應用 網(wǎng)架幾何不變性分析 網(wǎng)架要能承載同樣必須是幾何不變體系，但許多型式的網(wǎng)架結構本身內(nèi)部是幾何可變體系，只有加上適當?shù)闹ё蛭菝姘寮s束后才成為一個幾何不變體系。因此有必要對網(wǎng)架進行機動分析。1. 網(wǎng)架幾何不變的必