2017高中創(chuàng)新設計物理教科版必修2學案萬有引力定律的應用

1、第3節(jié)萬有引力定律的應用學習目標核心提煉1.了解萬有引力定律在天文學上的應用，預言未知星體。2個應用預言未知天體，測天體質(zhì)量1個基本思路萬有引力提供向心力2個重要關系2.會用萬有引力定律計算天體的質(zhì)量和密度。3.掌握綜合運用萬有引力定律和圓周運動學知識分析具體問題的方法。一、預言彗星回歸和未知星體閱讀教材第49頁內(nèi)容，知道預言彗星回歸和未知星體所用到的理論依據(jù)。1預言彗星回歸：哈雷和克雷洛先后根據(jù)牛頓引力理論，預言彗星回歸的時間，并得到證實。2海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道。1846年9月23

2、日，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星海王星。2其他天體的發(fā)現(xiàn)：近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。思考判斷1天王星是依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的。(×)2海王星的發(fā)現(xiàn)確立了萬有引力定律的地位。()3牛頓根據(jù)萬有引力定律計算出了海王星的軌道。(×)二、計算天體質(zhì)量閱讀教材第50頁內(nèi)容，知道計算天體質(zhì)量的方法。1地球質(zhì)量的計算(1)思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。(2)關系式：mgG。(3)結(jié)果：M，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量。2太陽質(zhì)量的計算(1)思路：質(zhì)

3、量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力提供向心力。(2)關系式：Gmr。(3)結(jié)論：M，只要知道行星繞太陽運動的周期T和半徑r就可以計算出太陽的質(zhì)量。(4)推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計算行星的質(zhì)量M，公式是M。思維拓展如圖1所示是卡文迪許測量引力常量的示意圖。卡文迪許在實驗室里測量幾個鉛球之間的作用力，測出了引力常量G的值，從而“稱量”出了地球的質(zhì)量。圖1(1)卡文迪許測出G后，他是怎樣“稱量”地球的質(zhì)量的呢？(2)已知地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半徑R6.4×106 m，引力常量G6.67×1011

4、N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量。答案(1)在地球表面，物體受到的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mgG，解得地球的質(zhì)量M，只要測出G、g、R來，便可“稱量”地球的質(zhì)量。(2)M kg 6.0×1024 kg。預習完成后，請把你疑惑的問題記錄在下面的表格中問題1問題2問題3天體質(zhì)量和密度的計算要點歸納1天體質(zhì)量的計算“自力更生法”“借助外援法”情景已知天體(如地球)的半徑R和天體(如地球)表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動思路物體的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mgG行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當向心力：Gm或Gm2r或Gm2r結(jié)果天體

5、(如地球)質(zhì)量：M中心天體質(zhì)量：M或M或M2天體密度的計算(1)一般思路：若天體半徑為R，則天體的密度，將質(zhì)量代入可求得密度。(2)特殊情況衛(wèi)星繞天體做半徑為r的圓周運動，若天體的半徑為R，則天體的密度，將M代入得：。當衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則。已知天體表面的重力加速度為g，則。精典示例例1 我國航天技術飛速發(fā)展，設想數(shù)年后宇航員登上了某星球表面。宇航員從距該星球表面高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出一小球，測得小球做平拋運動的水平距離為L，已知該星球的半徑為R，引力常量為G。求：(1)該星球表面的重力加速度。(2)該星球的平均密度。思路探究(1)能否利用小球的

6、運動情況求出該星球表面的重力加速度？(2)該星球表面的重力加速度與星球半徑、星球質(zhì)量的關系式為GM_。提示(1)小球做平拋運動，由Lvt及hgt2可以求得該星球表面的重力加速度g。(2)gR2解析(1)小球在星球表面做平拋運動，有Lvt，hgt2，解得g。(2)在星球表面滿足mg又M·R3，解得。答案(1)(2)【誤區(qū)警示】求解天體質(zhì)量的注意事項(1)計算天體質(zhì)量的方法：M和M。不僅適用于計算地球和太陽的質(zhì)量，也適用于其他中心星體。(2)注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的球體半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑。若行星或衛(wèi)星繞近中心天體軌道運行，則有Rr。針對訓練1 過去幾千年來，人類對行星

7、的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的。該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為()A B1 C5 D10解析根據(jù)Gmr得M，代入數(shù)據(jù)得恒星與太陽的質(zhì)量比約為1.04，所以B項正確。答案B天體運動的分析與計算要點歸納1解決天體運動問題的基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運動可看作勻速圓周運動，所需要的向心力都由中心天體對它的萬有引力提供，所以研究天體時可建立基本關系式：Gma，式中a是向心加速度。2常用的關系式(1)Gmm2rmr。(2)mgG即gR2GM，該公式通常被稱

8、為黃金代換式。3四個重要結(jié)論：設質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動。(1)由Gm得v，r越大，v越小。(2)由Gm2r得，r越大，越小。(3)由Gm2r得T2，r越大，T越大。(4)由Gman得an，r越大，an越小。以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠越慢”。精典示例例2 國務院批復，自2019年起將4月24日設立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，距軌道近地點高度約為440 km，遠地點高度約為2 060 km。1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號衛(wèi)星運行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上

9、。設東方紅一號在遠地點的加速度為a1，東方紅二號的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關系為()圖2Aa2a1a3 Ba3a2a1Ca3a1a2 Da1a2a3解析東方紅二號和地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的角速度相同，東方紅二號的軌道半徑大于地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的半徑，由a2r得a2a3，東方紅一號和東方紅二號由萬有引力提供向心力：Gma，結(jié)合二者離地面的高度可得a1a2，選D。答案D針對訓練2 (多選)如圖3所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則()圖3Ab所需向心力最小Bb、c的周期

10、相同且大于a的周期Cb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Db、c的線速度大小相等，且小于a的線速度解析因衛(wèi)星運動的向心力是由它們所受的萬有引力提供，而b所受的引力最小，故A正確；由man得，an，即衛(wèi)星的向心加速度與軌道半徑的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯誤；由得，T2，即衛(wèi)星運動的周期與其軌道半徑三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正確；由Gm得，v，即地球衛(wèi)星的線速度與其軌道半徑的平方根成反比，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D正確。答案ABD1(萬有引力提供向心力)(2019·鄭州高一檢測)若

11、太陽質(zhì)量為M，某行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T，軌道可視為半徑為r的圓。已知萬有引力常量為G，則描述該行星運動的上述物理量滿足()AGM BGMCGM DGM解析行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對行星的引力提供向心力，有Gmr，所以GM，選項A正確。答案A2(重力加速度的估算)(2019·寧波高一檢測)若某黑洞的半徑R約45 km，質(zhì)量M和半徑R的關系滿足(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數(shù)量級為()A108 m/s2 B1010 m/s2C1012 m/s2 D1014 m/s2解析黑洞實際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，對黑洞表面

12、的某一質(zhì)量為m的物體有：F萬Gmg，又有，聯(lián)立解得g，代入數(shù)據(jù)得重力加速度g1012 m/s2，C項正確。答案C3(星球表面重力加速度的計算)(2019·濟寧高一檢測)火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為()A0.2g B0.4gC2.5g D5g解析由星球表面的物體所受的重力近似等于萬有引力知，對火星上的物體，m1g火對地球上的物體，m2g聯(lián)立式得0.4，則g火0.4 g。答案B4(天體密度的計算)(2019·石家莊高一檢測)假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球

13、自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。地球的密度為()A BC D解析在地球兩極處，Gmg0；在赤道處，GmgmR，故R，則，B正確。答案B5(天體質(zhì)量和密度的計算)假設在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星。若它貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T1，已知萬有引力常量為G。求：(1)該天體的密度；(2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得在該處做圓周運動的周期為T2，該天體密度的另一表達式。解析(1)設衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M，衛(wèi)星貼近天體表面運動時有GmR，M，根據(jù)數(shù)學知識可知天體的體積為VR3故該天體的密度為(2)衛(wèi)星距天體表面距離為h時，忽略自轉(zhuǎn)有Gm(Rh)M答案(1)(2)基

14、礎過關1有兩個行星A、B，在這兩個行星表面附近各有一顆衛(wèi)星，如果這兩顆衛(wèi)星運行的周期相等，則行星A、B的密度之比()A11 B21C12 D無法計算答案A2(2019·衡水高一檢測)“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘。已知引力常量G6.67×1011N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×103 km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為()A8.1×1010 kg B7.4×1013 kgC5.4×1019 kg D7.4×1022 kg解析“嫦

15、娥一號”圍繞月球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力：Gm(hR)，則M(hR)3，代入數(shù)據(jù)解得M7.4×1022 kg，D對。答案D3若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及其公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為()A B C D解析無論地球繞太陽公轉(zhuǎn)還是月球繞地球公轉(zhuǎn)，統(tǒng)一表示為Gmr，即M，所以，選項A正確。答案A4人造衛(wèi)星離地球表面距離等于地球半徑R，衛(wèi)星以速度v沿圓軌道運動，設地面上的重力加速度為g，則()Av BvCv Dv解析人造衛(wèi)星的軌道半徑為2R，所以Gm，又因為mgG，聯(lián)立可得：v，選項D正確。答案D5一衛(wèi)星在某一行星表面附近

16、做勻速圓周運動，其線速度大小為v。假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N。已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A BC D解析由Nmg得g。在行星表面Gmg，衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則Gm，聯(lián)立以上各式得M，故選B。答案B6所有繞太陽運轉(zhuǎn)的行星，其軌道半徑的立方和運轉(zhuǎn)周期的平方的比值即k，那么k的大小決定于()A只與行星質(zhì)量有關B只與恒星質(zhì)量有關C與行星及恒星的質(zhì)量都有關D與恒星質(zhì)量及行星的速率有關解析由mr2得k，所以k的大小只與恒星質(zhì)量有關，B正確。答案B能力提升7(2019·洛陽高一檢測)(多選)

17、設想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經(jīng)過長時間開采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運動，則與開采前相比()A地球與月球間的萬有引力將變小B地球與月球間的萬有引力將變大C月球繞地球運動的周期將變長D月球繞地球運動的周期將變短解析設地、月間的距離為r，它們的質(zhì)量分別為M、m，則它們之間的引力大小FG，隨著礦藏的開發(fā)，M變大，m變小，M·m變小，地、月間的萬有引力變小，故A正確，B錯誤；由Gmr得周期T2，由于M變大，故月球繞地球運動的周期變小，C錯誤，D正確。答案AD8(多選)宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個雙星系統(tǒng)。它們以相互間的萬有引力彼此

18、提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運動，若已知它們的運轉(zhuǎn)周期為T，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R2，那么，這雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的質(zhì)量關系是()A這兩顆恒星的質(zhì)量必定相等B這兩顆恒星的質(zhì)量之和為C這兩顆恒星的質(zhì)量之比為m1m2R2R1D其中必有一顆恒星的質(zhì)量為解析兩星有共同的周期T，由牛頓第二定律得Gm1R1m2R2，所以兩星的質(zhì)量之比m1m2R2R1，C正確；由上式可得m1，m2，D正確，A錯誤；m1m2，B正確。答案BCD9如圖1所示，兩個星球A、B組成雙星系統(tǒng)，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。已知A、B星球質(zhì)量分別為mA、mB，萬有引力常量為G。求(其中L為兩星球中心間的距離，T為兩星球的運動周期)。圖1解析設A、B兩個星球做圓周運動的半徑分別為rA、rB。則rArBL，對星球A：GmArA對星球B：GmBrB聯(lián)立以上三式求得答案10某人在某一星球上以速度v豎直上拋一物體，經(jīng)時間t落回拋出點，已知該星球的半徑為R，若要在該星球上發(fā)射一顆靠近該星運轉(zhuǎn)的人造星體，則該人造星體的速度大小為多少？解析星球表