20182019數(shù)學北師大版選修21練習21 拋物線及其標準方程 2

1、A.基礎達標1已知點P為拋物線y22px上任一點，F(xiàn)為焦點，則以P為圓心，以|PF|為半徑的圓與準線l()A相交B相切C相離 D位置由F確定解析：選B.圓心P到準線l的距離等于|PF|，所以相切2設拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是6，則點P到該拋物線焦點的距離是()A12 B8C6 D4解析：選B.由拋物線定義知：P到焦點的距離等于P到準線的距離，故P到焦點距離6(2)8.3在同一坐標系中，方程a2x2b2y21與axby20(a>b>0)的曲線大致是()解析：選D.a2x2b2y21其標準方程為1，因為a>b>0，所以<，表示焦點在y軸上的橢圓；axby20

2、其標準方程為y2x，表示焦點在x的負半軸的拋物線4一個動圓的圓心在拋物線y28x上，且動圓恒與直線x20相切，則動圓必過定點()A(0，2) B(0，2)C(2，0) D(4，0)解析：選C.由拋物線定義知圓心到準線x20的距離等于到焦點F(2，0)的距離，所以動圓必過定點(2，0)5當a為任意實數(shù)時，直線(2a3)xy4a20恒過定點P，則過點P的拋物線的標準方程是()Ax232y或y2xBx232y或y2xCy232x或x2yDy232x或x2y解析：選C.該直線可化為(2x4)a(3xy2)0，令得故該直線恒過定點P(2，8)，經(jīng)驗證C符合要求6準線方程為x1的拋物線的標準方程為_解析：

3、由題意可設該拋物線的標準方程為y22px(p>0)，其準線為x1，得p2.故該拋物線的標準方程為y24x.答案：y24x7已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點， 若·4，則點A的坐標是_解析：因為拋物線y24x的焦點為F(1，0)，設A的坐標為(，y0)，則(，y0)，(1，y0)，由·4得y12y640，即y0±2，所以點A的坐標為(1，2)或(1，2)答案：(1，2)或(1，2)8設拋物線y22x的準線為l，P為拋物線上的動點，定點A(2，3)，則|AP|與點P到準線l的距離之和的最小值為_解析：設該拋物線的焦點為F，連接AF交拋

4、物線于點P0，由拋物線定義可知P到準線l的距離等于|PF|，故|AP|與點P到l距離之和|AP|PF|AP0|P0F|AF|.答案：9已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，3)到焦點F的距離為5，求m的值、拋物線方程及其準線方程解：設所求拋物線方程為x22py(p>0)，則焦點F的坐標為.因為M(m，3)在拋物線上，且|MF|5，故解得所以所求的拋物線方程為x28y，m±2，準線方程為y2.10一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值解：以拱頂為原點，拱高所

5、在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系設拋物線方程為x22py(p>0)，則點B的坐標為(，)，由點B在拋物線上，所以()22p·()，p，所以拋物線方程為x2ay.將點E(0.8，y)代入拋物線方程，得y.所以點E到拱底AB的距離為|y|>3.解得a>12.21，因為a取整數(shù)，所以a的最小整數(shù)值為13.B.能力提升1已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A4 B2C1 D8解析：選C.如圖，F(xiàn)(，0)，過A作AA準線l，所以|AF|AA|，所以x0x0x0，所以x01.2在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動

6、點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C(62) D.解析：選A.因為AOB90°，所以點O在圓C上設直線2xy40與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2xy40的距離，所以點C在以O為焦點，以直線2xy40為準線的拋物線上，所以當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|，所以圓C的最小半徑為，所以圓C面積的最小值為()2.3已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過點P作直線l的垂線PM，垂足為M，已知PFM為等邊三角形，則PFM的面積為_解析：設l與x軸交于點A，則|

7、AF|p，因為AFM60°，所以|MF|2|AF|2p，所以SPFM(2p)2p2.答案：p24設拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的方程為_解析：設(0，2)為點A，因為|MF|5，所以M(5，)，由題意可得：·0，(5，2)，(，2)，·(5)·(2)(2)0，得p2或p8，故C的方程為y24x或y216x.答案：y24x或y216x5過拋物線焦點F的直線交該拋物線于P、Q兩點，弦PQ的垂直平分線交拋物線的對稱軸于R點求證：|FR|PQ|.證明：建立直角坐標系，如圖所示設R點

8、坐標為(x，0)，P點坐標為(x1，y1)，Q點坐標為(x2，y2)，所以|FR|x.由題設，知|RP|RQ|，即(xx1)2y(xx2)2y，因為y2px2，y2px1，代入方程，得(xx1)2(xx2)22p(x2x1)因為x1x2，所以xp.所以|FR|，|PQ|PF|FQ|(x1)(x2)(x1x2)p，所以|FR|PQ|.6(選做題)已知點A(3，2)，點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.(1)求點M的軌跡方程；(2)是否存在M，使|MA|MF|取得最小值？若存在，求此時點M的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)由于動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動點M到F的距離與它到直線l：x的距離相等，由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程應為y22px(p>0)的形式，而，所以p1，2p2，故軌跡方程為y22x.(2)存在M.理由如下：由題意得A(3，2)在拋物線內(nèi)部