315　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1、3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法題號空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1,8平行問題3,10垂直問題2,6,11夾角與距離4,5,13綜合問題7,9,12【基礎(chǔ)鞏固】1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,則p·q等于(A)(A)-1 (B)1(C)0 (D)-2解析:因?yàn)閜=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.故選A.2.已知=(1,2,-1),=(x,-2,3),若,則x等于(B)(A)1 (B)7

2、(C)-1 (D)-4解析:由題,x-4-3=0,解得x=7,故選B.3.已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,12),且ab,則x+y的值為(C)(A)1(B)6(C)7(D)15解析:因?yàn)閍b,所以存在實(shí)數(shù)使得b=a,所以解得=3,x=1,y=6.所以x+y=7.故選C.4.若a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),則sin<a,b>等于(A)(A) (B) (C) (D)1解析:由題意得,cos<a,b>=-,所以sin<a,b>=.故選A.5.若ABC的頂點(diǎn)分別為A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1),則AC邊上的中線BM

3、的長為(C)(A)3 (B)2(C)2 (D)5解析:因?yàn)锳BC的頂點(diǎn)分別為A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1),所以AC的中點(diǎn)M(1,1,2),所以AC邊上的中線BM的長為|BM|=2.故選C.6.已知空間向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b與b垂直,則|a|=解析:由題意得2a-b=(4,2n-1,2),因?yàn)?a-b與b垂直,所以(2a-b)·b=0,所以-8+2n-1+4=0,解得n=,所以a=(1,2),所以|a|=.答案:7.(2019·山東新市期末)已知點(diǎn)A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則|AB|的

4、最小值為. 解析:因?yàn)辄c(diǎn)A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),所以|AB|=.所以當(dāng)x=時(shí),|AB|取最小值.答案:8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).是否存在實(shí)數(shù),使得=+成立?若存在,求出,的值;若不存在,說明理由.解:存在.依題意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得=+成立,則有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以解得故存在=1,使得=+成立.【能力提升】9.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為(A)(A) (B

5、) (C)4(D)8解析:因?yàn)閏os<a,b>=,所以sin<a,b>=,所以面積S=|a|b| sin<a,b>=,故選A.10.已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),則滿足DBAC,DCAB的點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 解析:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y,z),由已知易得=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),因?yàn)镈BAC,DCAB,所以存在實(shí)數(shù),使得=,=,所以所以且所以解得=-1,x=-1,y=1,z=2,即D(-1,1,2).答案:(-1,1,2)11.若=(-4,6,-1),=(4

6、,3,-2),|a|=1,且a,a,則a=解析:設(shè)a=(x,y,z),由題意有代入坐標(biāo)可解得或答案:(,)或(-,-,-)12.在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為2的菱形,DAB=60°,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,PO平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐P-ABCD的體積;(2)若E是PB的中點(diǎn),求異面直線DE與PA所成角的余弦值.解:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的菱形,且DAB=60°,所以O(shè)A=OC=,OB=OD=1,S菱形ABCD=×2×2=2.在RtPOB中,PBO=60°,所以PO=OB&

7、#183;tan 60°=.所以=S菱形ABCD·PO=×2×=2.(2)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0,),A(0,-,0),P(0,0,).所以E(,0,),所以=(,0,),=(0,-,-).所以·=0+0+×(-)=-,|=,|=.所以cos<,>=-.因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角,所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.【探究創(chuàng)新】13.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,若點(diǎn)P滿足=-+,則|的值為(A)(A)(B)2(C)(D)解析:設(shè)BD中點(diǎn)為O,連接OA,OC,則OC平面ABD,以O(shè)為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸