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1、習(xí)題二1化下列矩陣為Smith標(biāo)準(zhǔn)型:(1);(2);(3);(4).解:(1)對(duì)矩陣作初等變換,則該矩陣為Smith標(biāo)準(zhǔn)型為;(2)矩陣的各階行列式因子為,從而不變因子為故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為;(3)對(duì)矩陣作初等變換故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為;(4)對(duì)矩陣作初等變換在最后的形式中,可求得行列式因子,于是不變因子為故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為.2.求下列矩陣的不變因子:(1);(2);(3);(4).解:(1)該矩陣的右上角的2階子式為1,故而,所以該矩陣的不變因子為;(2)當(dāng)時(shí),由于,故不變因子為,當(dāng)時(shí),由于,且該矩陣中右上角的3階子式為且,則,故,所以該矩陣的不變因子為;(3)該矩
2、陣的右上角的3階子式為,故而,所以該矩陣的不變因子為 ;(4)該矩陣的行列式因子為,所以該矩陣的不變因子為.3求下列矩陣的初等因子:(1);(2).解:(1)該矩陣的行列式因子為,故初等因子為;(2) 該矩陣的行列式因子為,故不變因子為因此,初等因子為.4求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1)設(shè)該矩陣為,則,故的初等因子為,則的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為;(2)設(shè)該矩陣為,則,故的初等因子為,從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為;(3)設(shè)該矩陣為,則,故的初等因子為從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為;(4)設(shè)該矩陣為,則,故的初等因子為,從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為;
3、(5)設(shè)該矩陣為,則,故的初等因子為,從而的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為;(6)設(shè)該矩陣為,則,該矩陣的各階行列式因子為,則不變因子為,故初等因子為,則的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為.5設(shè)矩陣,求.解:矩陣的特征多項(xiàng)式為,故的特征值為,.屬于特征值的特征向量為,屬于的特征向量為.設(shè),則.,故.6.設(shè)矩陣,求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,并求相似變換矩陣,使得.解:(1) 求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.,故其初等因子為,故的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.(2)求相似變換矩陣.考慮方程組即解之,得.其通解為=,其中為任意常數(shù).考慮方程組,故當(dāng)時(shí),方程組有解.取,解此方程組,得.則相似變換矩陣.7.設(shè)矩陣,試計(jì)算.解: 矩陣的特征多項(xiàng)式為,由于,其中.且,故=.8.證明:任意可逆矩陣的逆矩陣可以表示為的多項(xiàng)式.證明:設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為,則,即,因?yàn)榭赡?故,則9.設(shè)矩陣,試計(jì)算.解: 矩陣的特征多項(xiàng)式為,則,而,故.10.已知3階矩陣的三個(gè)特征值為1,1,2,試將表示為的二次式.解: 矩陣的特征多項(xiàng)式為,則設(shè),由得解之,得,因此.11.求下列矩陣的最小多項(xiàng)式:(1);(2);(3)階單位陣;(4)階方陣,其元素均為1;(5).解:(1) 設(shè),則,故該矩陣的最小多項(xiàng)式為.(2) 設(shè),則,故該矩陣有三個(gè)不同的特征值,因此其最小多項(xiàng)式為(3) 階
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