常微分方程中變量變換方法的探討

1、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文常微分方程中變量變換方法的探討The Study on Method of Variable-transformed in Ordinary Differential Equations姓 名： 學(xué) 號： 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 龍 薇 （講師） 完成時間： 2008年4月20日 I / 17常微分方程中變量變換方法的探討張三【摘要】在這篇文章中，我們主要討論用變量變換方法來求解常微分方程。文章分為三部分。首先，我們介紹了常微分方程的基本概念和變量變換方法在方程中的地位與作用。在第二部分里，我們討論了一階常微

2、分方程中幾種能夠用變量變換方法求解的類型。例如，變量分離方程、一階線性微分方程、一階隱方程等等。最后，我們探討的是幾類能夠用變量變換方法求解的高階常微分方程。在這一部分里，我們先是討論了非齊次線性方程和歐拉方程這兩種二階方程。然后再研究了幾種可降階的高階微分方程。貫穿全文方法的就是變量變換?！娟P(guān)鍵詞】一階常微分方程 高階常微分方程 變量變換方法The Study on Method of Variable-transformed in Ordinary Differential Equations Zhang San【Abstract】In this paper, we mainly disc

3、uss solving ordinary differential equations by method of variable-transformed. This article is divided into three sections. In the first section, we introduce the basic concept of ordinary differential equations, and the status and role of method of variable-transformed in equations. Then, in sectio

4、n 2, we discuss about several types of first order ordinary differential equations, which can be solved with method of variable-transformed. For example, there are variable- separated equation, first order linear differential equation, first order implicit differential equation and so on. At last, w

5、hat we study are some classes of higher order ordinary differential equations which can be solved with method of variable- transformed. In this section, we firstly introduce two second order ordinary equations, non-homogeneous linear equation and Euler's equation. Then we study some types of hig

6、her order equations which can be reduced. Throughout this paper, the method of variable-transformed is used.【Key words】first order ordinary differential equations higher order ordinary differential equations method of variable-transformed 目錄1 引言12 基本概念1 2.1微分方程12.2常微分方程12.3 階數(shù) 22.4 線性和非線性22.5 通解和特解2

7、2.6 變量變換法23 一階常微分方程中變量變換方法的探討 33.1 可化為變量分離方程的類型3 3.1.1基本類型3 3.1.2其它類型5 3.2 一階線性方程7 3.2.1非齊次線性方程和伯努利(Bernoulli)方程7 3.2.2黎卡提(Riccati)方程8 3.3 一階隱方程104 高階常微分方程中變量變換方法的探討124.1兩種二階方程124.2非齊次線性方程和歐拉方程144.3 幾種可降階的高階方程155 小結(jié)18參考文獻19致謝191 引言本文主要講述的是常微分方程中變量變換方法的探討微分方程的求解方法各式各樣，一般是根據(jù)它的類型來選擇求解方法基于變量變換法是一種非常普遍的技

8、巧，而且在很多類型的方程上都有它的運用，這里就重點探討它的運用微分方程具有廣泛的社會實踐性，無論是在各類學(xué)科領(lǐng)域上，還是在實際生產(chǎn)生活中，都有舉足輕重的作用它所涉及范圍之廣，致使前人對它做了很深入的研究它可以解決很多問題，但得依賴于先把實際問題轉(zhuǎn)化為微分方程，然后再對方程求解由于方程類型比較繁雜，所以求解方法比較多，致使不便很好掌握通過各方面地學(xué)習(xí)與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)變量變換法在求解方程上運用得比較頻繁，可以說是一種比較常用的技巧而且它的過程清晰明了，簡單易懂因此對變量變換方法有必要進行探討，但由于多方面的原因，本文肯定還有很多欠考慮或者不完善之處，請大家多多諒解，并給出修改意見，本人一定會多方吸取，

9、同時本人也會多參考其它資料，并仔細斟酌，以使文章盡量減少疏漏之處本文主要采用的是探討式的研究方法，也即給出一個問題，然后探究式地用變量變換方法去解決它通過對不同方程都采用變量變換方法來探討，希望大家能找到運用該方法的技巧，以便日后能更廣泛、更靈活地運用于其它方程上本文內(nèi)容主要分為三塊：一是有關(guān)該文的一些預(yù)備知識，主要是一些常微分方程的概念；后兩塊就是關(guān)于求解常微分方程中一階和高階類型里變量變換方法的探討后面兩塊是本文的重點內(nèi)容，在文章中作了比較詳細的分析，全文的引線就是變量變換方法2 基本概念2.1 微分方程數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)是反映客觀世界運動過程中量與量的一種關(guān)系但在大量的實際問題中遇到

10、稍微復(fù)雜的一些運動過程時，反映運動規(guī)律的量與量之間的關(guān)系（即函數(shù)）往往不能直接寫出來，卻比較容易地建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式，數(shù)學(xué)上稱之為微分方程，當然其中未知數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是不可缺少的2.2 常微分方程我們已經(jīng)知道微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，我們稱這種微分方程為常微分方程；自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程本文所介紹的主要是常微分方程，有時就簡稱微分方程或方程方程 (2.1) (2.2)就是常微分方程的例子，這里是未知數(shù)，是自變量2.3 階數(shù)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方

11、程的階數(shù)例如，方程(2.1)是二階常微分方程一般的階常微分方程具有形式 ， (2.3)這里是的已知函數(shù)，而且一定含有；是未知函數(shù)，是自變量2.4 線性和非線性如果方程(2.3)的左端為及的一次有理整式，則稱(2.3)為階線性方程例如，方程(2.1)是二階線性微分方程一般階線性微分方程具有形式 (2.4)這里，是的已知函數(shù)不是線性方程的方程稱為非線性方程例如，方程 是二階線性方程，而(2.2)是一階非線性方程2.5 通解和特解如果函數(shù)代入方程（2.3）后，能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱函數(shù)為方程(2.3)的解我們把含有個獨立的任意常數(shù)的解稱為階方程(2.3)的通解如果方程(2.3)的解不包含任意常數(shù)，則

12、稱它為特解2.6 變量變換法微分方程的問題終歸要轉(zhuǎn)到求解上來，那么有什么求解方法呢？我們知道微分方程有很多種形式，但最簡單的一種就是變量分離方程，它可以用初等積分法求解而碰到其它類型，我們最常用的技巧就是用變量變換來改變方程的形狀，讓它轉(zhuǎn)化為我們能求解的類型，這種方法稱為變量變換法本文著重介紹的就是常微分方程中該方法的探討3 一階常微分方程中變量變換方法的探討本章將介紹一些能用變量變換方法求解的一階微分類型. 我們知道變量分離方程可以直接將變量分離然后積分求解，但一階常微分方程中不可能都是此類型因此，我們要根據(jù)實際情況將方程變形再求解3.1 可化為變量分離方程的類型形如 (3.1)的方程，稱為

13、變量分離方程，這里，分別是，的連續(xù)函數(shù)在很多書上都有介紹這類方程可以直接將變量分離然后用初等積分法就可求解變量分離方程是最基本的方程，而有些微分方程，表面上看并不是變量分離方程，但經(jīng)過一兩次適當變量變換就可化為變量分離方程下面將介紹這類方程3.1.1 基本類型我們這里說的基本類型是指與齊次方程有關(guān)的齊次方程是形如 (3.2)的方程，這里是的連續(xù)函數(shù)若作變換，方程(3.2)就化為一個變量分離方程 ，直接將變量分離便可用初等積分法求解接下來看看可化為齊次方程的類型一、基本形式： . (3.3)二、更為一般的形式： , (3.4) . (3.5)通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程(3.3)和方程(3.5)是(3.4

14、)的特殊形式，所以我們只要以方程(3.4)為例來研究就行 當時，方程(3.4)變?yōu)槠娲畏匠?當即,及不全為零時，我們簡單的以、來討論：1)且時，方程(3.4)變?yōu)槿糇髯儞Q，則得關(guān)于的新變量分離方程2)、中至多有一個為零當時，此時必有方程(3.4)為，這是一個變量分離方程當時，此時必有方程(3.4)為，這是一個變量分離方程當時，由，系數(shù)間關(guān)系為：于是，則方程(3.4)化為，作變換，則得到關(guān)于的變量分離方程 當及不全為零時，二元一次聯(lián)立方程組 有唯一解引進新變量，作變換，這時方程(3.4)化成齊次方程例解方程 解原方程可以改寫為，即，若令，則方程化為， (3.6)因為，且都不為零解二元一次聯(lián)立方程

15、組 ，得解引進新變量,作變換，將方程(3.6)化為齊次方程，解之，得通解 ，代回變量和，得方程(3.6)的通解 ，最后代回原變量和，得原方程的通解為，其中為任意常數(shù)用變量變換法求解微分方程是十分靈活的，依賴于方程的形式和求導(dǎo)的經(jīng)驗，在學(xué)習(xí)的過程中要多積累下面再給出幾個例子，以啟發(fā)我們的思路3.1.2 其它類型 形如的方程引入變量，則有， (3.7)而原方程可化為，將其代入方程(3.7)并用新變量替換，可得一個變量分離方程 例解方程解方程變形為令，則有，變量分離得 ，兩邊積分得 ，將代回原變量，得 ，其中為任意常數(shù) 形如的方程引入變量，則有，這是一個變量分離方程例解方程解令，則有 ，這是一個關(guān)于

16、的變量分離方程分離變量，得 ，將代回原變量，得 ，其中為任意常數(shù) 形如的方程若引入變量，則有，這是一個變量分離方程例解方程解方程可化為如右形式 令，則有，變量分離，得 ，將代回原變量，得原方程的通解，其中為任意常數(shù) 形如的方程引入變量，則有，這是一個變量分離方程例解方程解引入變量，則有 ，這是一個變量分離方程將方程分離變量并兩邊積分，得 ，將原變量代入上式，整理后得原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)還有很多，這里我們就不再介紹了5 小結(jié)該文到此已基本完成，現(xiàn)在我們做一下小結(jié)本文主要講述的是用變量變換的方法來探討常微分方程的求解所以，我們先介紹了常微分方程的一些基本概念（主要是為后面的講述作鋪墊）

17、和簡單說明了變量變換方法在微分方程中的廣泛運用接著把常微分方程分為一階和高階兩類，再分別探討變量變換方法在這兩類方程中的應(yīng)用其中一階中主要有變量分離方程、線性方程、隱方程這幾類而高階方程中，先是介紹了兩類二階方程，然后介紹了高階微分方程中的非齊線性方程和歐拉方程，最后是幾類可降階的高階方程主要內(nèi)容就是這些至于變量變換方法的靈活運用，只能靠我們平時慢慢地積累、練習(xí)和不斷地摸索與總結(jié)的這里我們大概地總結(jié)了常微分方程中一些能夠用變量變換方法求解的類型，不過還有其他類型，若大家有興趣的話還可以再深入地討論 參考文獻：1蔡燧林微分方程M杭州：浙江大學(xué)出版社，19982丁同仁，李承治常微分方程教程M北京：高等教育出版社，19913東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室常微分方程M北京：高等教育出版社，19824高素志，馬遵路，曾昭著，陳平尚 常微分方程M北京：北京師范大學(xué)出版社，19885王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松常微分方程（第二版）M北京：高等教育出版社，19836王興濤常微分方程M哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，20037王樹禾微分方程模型與混沌M合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，19998魏俊杰，潘家齊，蔣達清常微分方程（專生本）M北京：高等教育出