高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)及例題

1、導(dǎo) 數(shù)考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影導(dǎo)數(shù)的概念多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的最大值和最小值考試要求：（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(nN+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值（5）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值§14. 導(dǎo) 數(shù) 知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1. 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)

2、的簡(jiǎn)稱(chēng)）的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點(diǎn)，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.注：是增量，我們也稱(chēng)為“改變量”，因?yàn)榭烧韶?fù)，但不為零.以知函數(shù)定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則與關(guān)系為.2. 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與點(diǎn)處可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么點(diǎn)處連續(xù).事實(shí)上，令，則相當(dāng)于.于是如果點(diǎn)處連續(xù)，那么在點(diǎn)處可導(dǎo)，是不成立的.例：在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)，因?yàn)?，?dāng)0時(shí)，；當(dāng)0時(shí)，故不存在.注：可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).可導(dǎo)的

3、偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說(shuō)，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為4. 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：（為常數(shù)）注：必須是可導(dǎo)函數(shù).若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)，則在處均不可導(dǎo)，但它們和在處均可導(dǎo).5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6. 函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果0，則為增函數(shù)；如果0，則為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有=0，則為常數(shù).注：是f（x）

4、遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極大值；如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極小值.也就是說(shuō)是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是=0. 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). 當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可

5、能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.注： 若點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則=0. 但反過(guò)來(lái)不一定成立. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點(diǎn).例如：函數(shù)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn).8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9. 幾種常見(jiàn)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.（為常數(shù)） （） II. III. 求導(dǎo)的常見(jiàn)方法：常用結(jié)論：.形如或兩邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.無(wú)理函數(shù)或形如這類(lèi)函數(shù)，如取自然對(duì)數(shù)之后可變形為，對(duì)兩邊求導(dǎo)可得.導(dǎo)數(shù)中的切線問(wèn)

6、題例題1：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）例題2：已知斜率，求曲線的切線方程與直線的平行的拋物線的切線方程是（）注意：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選例題3：已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法求過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程例題4：已知過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程練習(xí)題：已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程看看幾個(gè)高考題1.（2009全國(guó)卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為 2.（2010江西卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切

7、線的斜率為3.（2009寧夏海南卷）曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為 。4.（2009浙江）（本題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù) （I）若函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值；5.（2009北京）（本小題共14分）設(shè)函數(shù).（）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；.1 函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)1利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性:一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的 ；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的 。2利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟：(1) 確定函數(shù)f(x)的定義域；(2) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(3) 解不等式f ¢(x)0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f 

8、2;(x)0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【例題講解】a) 求證：在上是增函數(shù)。b) 確定函數(shù)f(x)=2x36x2+7在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).【課堂練習(xí)】1確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3已知函數(shù)，則（ ） A在上遞增 B在上遞減 C在上遞增 D在上遞減函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_函數(shù)圖象及其導(dǎo)函數(shù)圖象1. 函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為_(kāi) 2. 函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_3. 如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi) _ 4. 若函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則其

9、導(dǎo)函數(shù)的圖象是（ ）5. 函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，則圖象的頂點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限O12xyO12xyxyyO12yO12xO12xABCD6. (2007年廣東佛山)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是（）7. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f ¢(x)的圖象可能為()8. （安微省合肥市2010年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科）函數(shù)的圖像如下右圖所示，則的圖像可能是（ ）xoy9. (2010年3月廣東省深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試文科)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的

10、圖象如右圖，則的圖象可能是( ) 10. （2010年浙江省寧波市高三“十?！甭?lián)考文科）如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時(shí)間變化的可能圖象是（ ）(A) (B) (C) (D)11. (2008廣州二模文、理)已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示 , 則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀是（ ）12. （2009湖南卷文）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是 ( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D13. （福建卷11）如果函數(shù)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是( )14. （2008年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的

11、導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（ ） 15. (2008珠海一模文、理)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖像畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ）ABCDxyx4OoO16. (湖南省株洲市2008屆高三第二次質(zhì)檢)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下，則（ ）函數(shù)有1個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)有2個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)有3個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)有1個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)17. (2008珠海質(zhì)檢理)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）(A).1 (B).2 (C).3 (D).418. 【湛江市·文】函數(shù)的圖