矩陣的基本概念(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§1 矩陣及其運(yùn)算教學(xué)要求 ： 理解矩陣的定義、掌握矩陣的基本律、掌握幾類特殊矩陣（比如零矩陣，單位矩陣，對稱矩陣和反對稱矩陣 ) 的定義與性質(zhì)、注意矩陣運(yùn)算與通常數(shù)的運(yùn)算異同。能熟練正確地進(jìn)行矩陣的計(jì)算。 知識(shí)要點(diǎn) ：一、矩陣的基本概念矩陣，是由 個(gè)數(shù)組成的一個(gè) 行 列的矩形表格，通常用大寫字母 表示，組成矩陣的每一個(gè)數(shù)，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素 表示，其中下標(biāo) 都是正整數(shù)，他們表示該元素在矩陣中的位置。比如， 或 表示一個(gè) 矩陣，下標(biāo) 表示元素 位于該矩陣的第 行、第 列。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。 特別地，一個(gè) 矩陣 ，也稱為一個(gè) 維列

2、向量；而一個(gè) 矩陣 ，也稱為一個(gè) 維行向量。 當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù) 與烈數(shù) 相等時(shí)，該矩陣稱為一個(gè) 階方陣。對于方陣，從左上角到右下角的連線，稱為主對角線；而從左下角到右上角的連線稱為付對角線。若一個(gè) 階方陣的主對角線上的元素都是 ，而其余元素都是零，則稱為單位矩陣，記為 ，即： 。如一個(gè) 階方陣的主對角線上（下）方的元素都是零，則稱為下（上）三角矩陣，例如， 是一個(gè) 階下三角矩陣，而 則是一個(gè) 階上三角矩陣。今后我們用 表示數(shù)域 上的 矩陣構(gòu)成的集合，而用 或者 表示數(shù)域 上的 階方陣構(gòu)成的集合。 二、矩陣的運(yùn)算1、矩陣的加法 ： 如果 是兩個(gè)同型矩陣（即它們具有相同的行數(shù)和列數(shù)，比如說 ），則

3、定義它們的和 仍為與它們同型的矩陣（即 ）， 的元素為 和 對應(yīng)元素的和，即： 。 給定矩陣 ，我們定義其負(fù)矩陣 為： 。這樣我們可以定義同型矩陣 的減法為： 。由于矩陣的加法運(yùn)算歸結(jié)為其元素的加法運(yùn)算，容易驗(yàn)證，矩陣的加法滿足下列 運(yùn)算律： （ 1）交換律： ； （ 2）結(jié)合律： ； （ 3）存在零元： ； （ 4）存在負(fù)元： 。 2 、數(shù)與矩陣的乘法 ： 設(shè) 為一個(gè)數(shù)， ，則定義 與 的乘積 仍為 中的一個(gè)矩陣， 中的元素就是用數(shù) 乘 中對應(yīng)的元素的道德，即 。由定義可知： 。容易驗(yàn)證數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 3 、矩陣的乘法：

4、設(shè) 為 距陣， 為 距陣，則矩陣 可以左乘矩陣 （注意：距陣 德列數(shù)等與矩陣 的行數(shù)），所得的積為一個(gè) 距陣 ，即 ，其中 ，并且 。 據(jù)真的乘法滿足下列 運(yùn)算律（假定下面的運(yùn)算均有意義）： （ 1）結(jié)合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）數(shù)與矩陣乘法的結(jié)合律： ； （ 5）單位元的存在性： 。 若 為 階方陣，則對任意正整數(shù) ，我們定義： ，并規(guī)定： 由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，我們有： ， 。 注意： 矩陣的乘法與通常數(shù)的乘法有很大區(qū)別，特別應(yīng)該注意的是： （1 ）矩陣乘法不滿足交換律：一般來講即便 有意義， 也未必有意義；倘使 都有意義，二者也未必相等（請讀者自

5、己舉反例）。正是由于這個(gè)原因，一般來講， ， 。 （2 ）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即 未必能推出 或者 （請讀者自己舉反例）。 （3 ）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。 4 、矩陣的轉(zhuǎn)置 ： 定義：設(shè) 為 矩陣，我們定義 的轉(zhuǎn)置為一個(gè) 矩陣，并用 表示 的轉(zhuǎn)置，即： 。矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 5、對稱矩陣 ： 定義1.11 階方陣 若滿足條件： ，則稱 為對稱矩陣；若滿足條件： ，則稱 為反對稱矩陣。若設(shè) ，則 為對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng) 對任意的 成立； 為反對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng) 對任意的 成立。從而反對稱局針對角線上的元素必為零。對稱矩陣具有如下性質(zhì)： （1 ）對于任意 矩陣 ， 為 階對稱矩陣；而 為 階對稱矩陣； （2 ）兩個(gè)同階（反）對稱矩陣的和，仍為（反）對稱矩陣； （3 ）如果兩個(gè)同階（反）對稱矩陣 可交換，即 ，則它們的乘積 必為對稱矩陣，即 。 思考題：1 、設(shè) 為第 個(gè)分量為 ，而其余分