一元二次方程學(xué)案

1、§22.1.1一元二次方程的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)過程試一試 解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.（1）x24； （2）x210;解:x=_ 解: 左邊用平方差公式分解因式，得 x=_ _0，必有 x10，或_0,得x1_，x2_.概括(1)這種方法叫做直接開平方法.(2)這種方法叫做因式分解法.思考（1） 方程x24能否用因式分解法來解？要用因式分解法解，首先應(yīng)將它化成什么形式？（2） 方程x210能否用直接開平方法來解？要用直接開平方法解，首先應(yīng)將它化成什么形式？（1）x24； （2）x210;做一做1.試用兩種方法解方程x29000.(1)直接開平方法 (2) 因式分解法2.

2、解下列方程：（1）x220; （2）16x2250.解（1）移項(xiàng)，得x22. (2) 移項(xiàng)，得_.直接開平方，得. 方程兩邊都除以16，得_所以原方程的解是 直接開平方，得x_.，. 所以原方程的解是 x1_，x2_.3.解下列方程：（1）3x22x=0； （2）x23x.解（1）方程左邊分解因式，得_所以 _，或_原方程的解是 x1_，x2_（2）原方程即_=0.方程左邊分解因式，得_0.所以 _，或_原方程的解是x1_，x2_練習(xí)1. 解下列方程：（1）x2169；（2）45x20；（3）12y2250； （4）x22x0；（5）（t2）（t+1）=0； （6）x（x1）5x0.2. 小明

3、在解方程x23x時(shí)，將方程兩邊同時(shí)除以x，得x=3，這樣做法對嗎？為什么會(huì)少一個(gè)解？范例講解:（）例 解下列方程：（1）（x1）240； （2）12（2x）290.分析兩個(gè)方程都可以轉(zhuǎn)化為 2a的形式，從而用直接開平方法求解.解（1）原方程可以變形為（_）2_，（3） 原方程可以變形為_，有_.所以原方程的解是x1_，x2_.課后練習(xí)解下列方程：（1）（x2）2160； （2）(x1)2180；（3）(13x)21； （4）(2x3)2250.(5) x（3x2）6(3x2)0.§22.1.2一元二次方程的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)過程一. 試一試:解下列方程：（1） x22x5； (2)x2

4、4x30.思考能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化為 2a的形式，應(yīng)用直接開方法求解？解（1）原方程化為x22x151，_,_,_.（2）原方程化為x24x434_,_,_.二.歸納上面，我們把方程x24x30變形為(x2)21，它的左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的_式，右邊是一個(gè)_常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.三練一練 配方.填空：（）（1）x26x（ ）（x ）2；（2）x28x（ ）（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；從這些練習(xí)中你發(fā)現(xiàn)了有什么特點(diǎn)?(1)_(2)_四.范例例: 用配方法解下列方程：（1）x26x70；（2）x23x10.解（1）移項(xiàng)，

5、得x26x_.方程左邊配方，得x22·x·3_27_，即 （_）2_.所以 x3_.原方程的解是x1_，x2_.（2）移項(xiàng)，得x23x1.方程左邊配方，得x23x（_）21_，即 _所以 _原方程的解是： x1_x2_五、練習(xí)：用配方法解方程：（1）x28x20 （2）x25 x60.(3) x2pxq0(p24q0).（）（4）4x26x（ ）=4（x ）4（x ）2（2x ）2.（）思 考討 論 如何用配方法解下列方程？請你和同桌討論一下：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，如何應(yīng)用配方法？(1)4x212x10; (2)3x22x30. (3) ax2bxc0(a0).§

6、22.1.3一元二次方程的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)過程思考:.顯然，前面所學(xué)的方程如4x212x10都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？概括: 前面所學(xué)的_式方程中都只含有_未知數(shù)，并且未知數(shù)的_次數(shù)是_，這樣的方程叫做一元二次方程.通常可寫成如下的一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知數(shù)，a_0)其中a、b、c分別叫做二次項(xiàng)_、_系數(shù)和_項(xiàng).練習(xí)2. 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：（1） 3x2x=2；化為一般形式_二次項(xiàng)系數(shù)a=_、一次項(xiàng)系數(shù)b=_常數(shù)項(xiàng)c=_（2） 7x3=2x2; 化為一般形式_二次項(xiàng)

7、系數(shù)a=_、一次項(xiàng)系數(shù)b=_常數(shù)項(xiàng)c=_（3） x(2x1)3x(x2)=0化為一般形式:_二次項(xiàng)系數(shù)a=_、一次項(xiàng)系數(shù)b=_常數(shù)項(xiàng)c=_（4） 2x(x1)=3(x5)4.化為一般形式:_二次項(xiàng)系數(shù)a=_、一次項(xiàng)系數(shù)b=_常數(shù)項(xiàng)c=_3. 關(guān)于x的方程mx23x=x2mx+2是一元二次方程的條件是什么？4.（）已知關(guān)于x的一元二次方程（m2）x23xm24=0有一個(gè)解是0，求m的值.探 索 用配方法解 一元二次方程ax2bxc0(a0).因?yàn)閍0，方程兩邊都除以a，得_0.移項(xiàng)，得 x2x_，配方，得 x2x_,即 (_) 2_因?yàn)?a0，所以4 a20，當(dāng)b24 ac0時(shí)，直接開平方，得

8、_.所以 x_即 x_由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程ax2 bxc0的求根公式：x( b24 ac0)利用這個(gè)公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)a、b、c的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法.例解下列方程:(1) 2 x2x60； (2) x24x2；(3) 5x24x120； (4) 4x24x1018x.解(1)這里a_，b_，c_，b24ac_ _所以x_即原方程的解是 x1_，x2_(2)將方程化為一般式，得_0.因?yàn)?b24ac_所以 x_原方程的解是 x1_，x2_ (3)因?yàn)?_，所以 x_原方程的解是 x1_，x2_.(4)整理，得_0.因?yàn)?b24ac_，

9、所以 x1x2_課后作業(yè)應(yīng)用方程公式解方程：(1) x26x10； (2)2x2x6；(3)4x23x1x2； (4)3x(x3) 2(x1) (x1).（5）（x-2）（x+5）8；（6）（x1）22（x1）.§22.1.4一元二次方程的解法（練習(xí)兩節(jié)課）學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)過程。1. 解下列方程（1）2x260；（2）274x2；（3）3x24x；（4）x（x1）3（x1）0；（5）（x1）22；（6）3（x5）22（5x）.2. 解下列方程（1）（2x1）210；（2）（x3）22；（3）x22x80； （4）3x24x1；（5）x（3x2）6x20；（6）（2x3）2x2.3. 當(dāng)

10、x取何值時(shí)，能滿足下列要求？（1）3x26的值等于21；（2） 3x26的值與x2的值相等.4. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）3x24x2x；（2）（x3）21；（3）x2(1)x0；（4）x（x6）2（x8）；（5）（x1）（x1）；（6）x（x8）16；（7）（x2）（x5）1；（8）（2x1）22（2x1）.5. 已知y12x27x1，y26x2，當(dāng)x取何值時(shí)y1y2？思考根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會(huì)，小結(jié)一下解一元二次方程一般有哪幾種方法？通常你是如何選擇的？和同學(xué)交流一下.§22.1.5一元二次方程的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)過程。按提出的問題思考后填空問題1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓

11、房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？分析設(shè)長方形綠地的寬為x米，則長為米，不難列出方程_整理可得_x_，x1_，x2_但_，應(yīng)舍去.所以x_，x10_，因此綠地的寬和長應(yīng)分別約為_米和_米.問題2學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.分析設(shè)這兩年的年平均增長率為x，則今年年底的圖書數(shù)是_萬冊；同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的_倍，即_萬冊.可列得方程_7.2問題3根據(jù)題意，列出方程（不必求解）：學(xué)校中心大草坪上準(zhǔn)備建兩個(gè)相等的圓形花壇，要使花壇的面積是余下草坪面積的一半.已知草坪是長

12、和寬分別為80米和60米的矩形，求花壇的半徑.設(shè)_列得方程_例1如圖22.2.1，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的邊長.解設(shè)截去正方形的邊長為x厘米，根據(jù)題意，得練習(xí)（）1. 學(xué)生會(huì)準(zhǔn)備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的長方形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙.經(jīng)試驗(yàn)，彩紙面積為相片面積的時(shí)較美觀，求鑲上彩紙條的寬.（精確到0.1厘米）2. 豎直上拋物體的高度h和時(shí)間t 符合關(guān)系式hv0tgt2，其中重力加速g以10米/秒2計(jì)算.爆竹點(diǎn)烯后以初速度v0

13、20米/秒上升，問經(jīng)過多少時(shí)間爆竹離地15米？（）3. 小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲蓄，到期后自動(dòng)轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得5145元.求這種儲蓄的年利率.（精確到0.1%）§22.1.6一元二次方程的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)過程。例1某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）解設(shè)原價(jià)為_，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得_解這個(gè)方程，得x_由于降價(jià)的百分率不可能大于1，所以x_不符合題意，因此符合本題要求的x為_29.3%.答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.例2根據(jù)科學(xué)分析，舞臺上

14、的節(jié)目主持人應(yīng)站在舞臺前沿的黃金分割點(diǎn)（即該點(diǎn)將舞臺前沿這一線段分為兩條線段，使較短線段與較長線段之比等于較長線段與全線段之比），視覺和音響效果最好.已知學(xué)校禮堂舞臺寬20米，求舉行文娛會(huì)演時(shí)主持人應(yīng)站在何處？設(shè)_列得方程_練習(xí)（）1.市第四中學(xué)初三年級初一開學(xué)時(shí)就參加課程改革試驗(yàn)，重視學(xué)生能力培養(yǎng).初一階段就有48人在市級以上各項(xiàng)活動(dòng)中得獎(jiǎng)，之后逐年增加，到三年級結(jié)束共有183人次在市級以上得獎(jiǎng).求這兩年中得獎(jiǎng)人次的平均年增長率.2.學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地是一塊長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為600平方米，求小道的寬.（精

15、確到0.1米） （）3、某商店二月份營業(yè)額為50萬元，春節(jié)過后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5個(gè)百分點(diǎn)（即增加了5%），營業(yè)額達(dá)到48.3萬元.求四、五兩個(gè)月平均增長的百分率.（）4、校準(zhǔn)備在圖書館后面的場地邊建一個(gè)面積為50平方米的長方形自行車棚.一邊利用圖書館的后墻，并利用已有總長為25米的鐵圍欄.請你設(shè)計(jì)，如何搭建較合適？§22.一元二次方程根的判別式（選學(xué)）學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)過程。方程根的判別式x_ 一元二次方程ax2bxc0（a0）只有當(dāng)系數(shù)a、b、c滿足條件b24ac_0時(shí)才有實(shí)數(shù)根.觀察上式我們不難發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根有三種情況： 當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有個(gè)的實(shí)數(shù)根；（填相等或不相等） 當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有個(gè)的實(shí)數(shù)根x1x2 當(dāng)b24ac0時(shí)，方程實(shí)數(shù)根.這里的叫做一元二次方程的根的判別式，用來表示，用它可以直接判斷一個(gè)一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，如對方程x2x10，可由b24ac0直接判斷它實(shí)數(shù)根；方程根的判別式應(yīng)用例應(yīng)用判別式來判斷一個(gè)一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根（）x22x80； （）3x24x1；因?yàn)閎24ac所以方程實(shí)數(shù)根（）x（3x2）6x20；（）x2(1)x0；（5）x（x8）16；（）（x2）（x5）1；例應(yīng)用判別式來確定方程中的待定系數(shù)m取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程x2-2xm20