章末檢測卷(二)

1、章末檢測卷（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.由 1= 12,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42,，得到 1+ 3+ , + （2 n 1） = n2用的是（ ）A. 歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.特殊推理答案 A2在 ABC中, E、F分別為AB AC的中點，則有 EF/ BC這個問題的大前提為（）A. 三角形的中位線平行于第三邊B. 三角形的中位線等于第三邊的一半C. EF為中位線D. EF/ BC答案 A解析 這個三段論的推理形式是：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：ABC的中位線；結(jié)論：EF

2、/ BC3.對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)幕運算有如下分解方式：22= 1+ 332= 1+ 3+ 524 = 1+ 3+ 5 + 723= 3+ 533 = 7+ 9+ 1143= 13+ 15+ 17 + 19根據(jù)上述分解規(guī)律，若mi= 1 + 3+ 5 +, + 11, n3的分解中最小的正整數(shù)是 21,則m+ n=（）A. 10 B . 11 C . 12 D . 13答案 B2 1 + 11解析 I m= 1 + 3 + 5+ , + 11=X 6= 36, m= 6.33.2 = 3 + 5,3 = 7 + 9+ 11,34 = 13+ 15+ 17 + 19,3 5 = 21 +

3、 23+ 25 + 27+ 29,/ n3的分解中最小的數(shù)是 21,33- n = 5 , n= 5,. m+ n = 6 + 5= 11.4用反證法證明命題“2+ .3是無理數(shù)”時，假設(shè)正確的是 （）A. 假設(shè).2是有理數(shù)B. 假設(shè) .3是有理數(shù)C. 假設(shè)，2或.3是有理數(shù)D. 假設(shè) 2+3是有理數(shù)答案 D解析 應(yīng)對結(jié)論進行否定，則，2+ 3不是無理數(shù)，即2+ .3是有理數(shù).1112n5用數(shù)學(xué)歸纟納法證明1 +1 + 2 + i + 2+ 3 +，+ 1 + 2 + 3 +n = n+ 1 時，由 n= k至U n= k+1左邊需要添加的項是()2 1A R k k+ 2k k+11 2C.

4、D.-k+1 k+ 2k+ 1 k+2答案 D解析 由n= k到n= k + 1時，左邊需要添加的項是2(k + 1 廠(k+ 1 k+ 2故選D.6.已知 f(x + 1)=f x + 2'f (1) = 1(x N)，猜想f(x)的表達式為(A.B.C.1 x+2D.2x + 1答案B解析t,2f f1 22當(dāng) x= 1 時 f(2)= =-=當(dāng) x 1 時，f(2) f 1 + 2 3 2+ 1，1當(dāng)x = 2時,f=聽=4當(dāng)x = 3時,f(4)=二=2(4) f 3 + 25故可猜想f(x)= 一芻，故選B.x + 17已知 f (x + y) = f (x) + f(y)且

5、 f (1) = 2,則 f (1) + f(2) +, + f (n)不能等于()A. f (1) + 2f (1) + , + nf(1)B. f 嚀)C. n( n+ 1)D.n n+ 12答案 C解析 f (x + y) = f (x) + f(y),令 x = y= 1,. f(2) = 2f(1),令 x = 1, y= 2, f(3) = f(1) + f (2) = 3f (1)?f(n) = nf(1), f(1) + f (2) +, + f(n) = (1 + 2+, + n)f (1)=驢(1). - A、D正確；又 f (1) + f(2) +, + f (n) =

6、f(1 + 2+, + n)=f 呼). B也正確，故選C.&對“ a, b, c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 豐 0; a= b與b= c及a= c中至少有一個成立； a c,c, a b不能同時成立.其中判斷正確的個數(shù)為()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3答案 B解析 若(a b)2 + (b c)2+ (c a) 2= 0,則a= b= c,與“a, b, c是不全相等的正數(shù)”矛盾， 故正確.a= b與b= c及a= c中最多只能有一個成立，故不正確.由于“a, b, c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個

7、數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故不正確.9我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體.下列幾何體中，一定屬于相似體的有()兩個球體；兩個長方體；兩個正四面體；兩個正三棱柱；兩個正四棱椎.A. 4個B . 3個C . 2個D . 1個答案 C解析 類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知，屬于相似體.11“10 .數(shù)列an滿足 a1= , an+1= 1 匚，貝U a2 013 等于()2anA. 2 B 1 c . 2 D . 3答案 C解析1an+ 1 = 1 -a2 = 1a;=1,1a3= 1ar2,1a4= 1 a312,11a5= 1=

8、1, a6= 1= 2,a4a5- an+3k= an( n N , k N)- a2 013 = 33+ 3X670 = a3= 2.11.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f( x) = f(x + 4)，且f(x)在(2 ,+s)上為增函數(shù).已知X1 + X2<4 且(X1 2) ( X2 2)<0，貝U f(X1)+ f(X2)的值()A.恒小于0B.恒大于0D.可正也可負C.可能等于0答案 A解析 不妨設(shè)X1 2<0, X2 2>0,貝U X1<2, X2>2,. 2<X2<4 X1,f(X2)<f(4 xd，即f(X2)> f

9、(4 xd ,從而一f (X2)> f (4 X1)= f (X1),f (X1) + f (X2)<0.12.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是()A. 4n + 2B. 4n 2C. 2n + 4D. 3n+ 3答案 A解析方法一(歸納猜想法)觀察可知：除第一個以外，每增加一個黑色地板磚，相應(yīng)的白地板磚就增加四個，因此第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是一個“以6為首項，公差是4的等差數(shù)列的第n項”.故第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是4n+ 2.方法二(特殊值代入排除法)或由圖可知，當(dāng)n= 1時，a1= 6，可排除B答案當(dāng)n

10、= 2時，a2= 10,可排除C、D答案.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13 .從 1 = 12,2+ 3 + 4= 32,3 + 4 + 5+ 6+ 7= 52 中，可得到一般規(guī)律為 2 答案 n+(n+ 1) + (n+ 2) +, + (3n 2) = (2n 1)一Q解析 通過觀察可以得規(guī)律為n+(n+ 1) + (n+ 2) +, + (3n 2) = (2n 1).14.觀察下列等式：(1 + 1) = 2X12(2 + 1)(2 + 2) = 2 X 1X3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 23x 1X 3X5照此規(guī)律，第n個等式可為 .答案(n

11、+ 1)( n+ 2),( n+ n) = 2nx 1X 3X , X (2 n 1)解析 由已知的三個等式左邊的變化規(guī)律，得第n個等式左邊為(n+ 1)( n + 2),( n+ n)，由已知的三個等式右邊的變化規(guī)律，得第n個等式右邊為2n與n個奇數(shù)之積，即 2nX 1X 3X , X (2 n 1).15.在平面幾何中， ABC勺內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為AE ACEBC把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐 A BCD中 (如圖所示)，面DEC平分二面角A CI B且與AB相交于E,則得到的類比的結(jié)論是答案AE Sa acdEh Sa BCD解析 CE平分/ ACB而面CDE平分二面角A

12、 CD- BAE S ACD故結(jié)論為云=.EB Sa bcd.kkkk .、.16. 已知S= 1 + 2 + 3 + , + n ,當(dāng)k = 1,2,3 ,時，觀察下列等式:1 2 1s =尹+尹S2 = 1n3+ 2n2 + 6n326,1 21 41 31s=5n + 2 + 3n - 30n m6 + 2n + 12n+ Bn，可以推測，A- B=.1 答案141解析 由S, S, S3, S4, S5的特征，推測 A=7又各項的系數(shù)和為1,6151，111二 A+ 2+ 12+ 4 1，則 4-袒因此推測 A- B= 6 +12 = 4.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17.

13、(10分)1 , - 3, 2能否為同一等差數(shù)列中的三項？說明理由.解 假設(shè)1,3, 2能為同一等差數(shù)列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設(shè)公差為d,則1 =3 md,2=3 + nd,m, n為兩個正整數(shù)，消去 d得m= (3 + 1)n./ m為有理數(shù)，C 3 + 1) n為無理數(shù)， m( 3 + 1) n.假設(shè)不成立.即1 ,3, 2不可能為同一等差數(shù)列中的三項. 218. (12分)設(shè)a, b為實數(shù)，求證：a2 + b2"(a+ b).證明當(dāng)a+ bw0時，“(a + b0, a2+ b2¥(a+ b)成立.當(dāng)a+ b>0時，用分析法證明如下：要證 _a2+ b

14、2_22(a+ b),只需證(a + b)2> -2 a+ b 2,1 即證 a2 + b2> 2 a2 + b2 + 2ab)，即證 a2 + b2>2 ab./ a2 + b2>2ab對一切實數(shù)恒成立， ,a2+ b2_22(a+ b)成立.綜上所述，對任意實數(shù) a, b不等式都成立.19. (12分)已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).求證三個方程ax2 + 2bx+ c = 0, + a= 0, cx2 + 2ax+ b= 0至少有一個方程有兩個相異實根.證明反證法：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，2 2 2則 i = 4b - 4acw 0, 2= 4c 4

15、abw 0, 3= 4a - 4bc< 0.相加有 a -2ab+ b + b - 2bc+ c + c - 2ac+ a <0,(a-b)2 + (b-c)2+ (c - a) 2< 0.由題意a、b、c互不相等，.式不能成立.假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.1 220. (12分)設(shè)a, b, c為一個三角形的三條邊，s = -(a+ b+ c)，且s = 2ab,試證:2證明 要證s<2a,由于s2= 2ab,所以只需證s<s，即證b<s.b1因為s = 2(a+ b + c)，所以只需證 2b<a+ b + c,即證b&l

16、t;a+ c.由于a, b, c為一個三角形的三條邊，所以上式成立.于是原命題成立.21. (12分)數(shù)列an滿足a1 = 6,前n項和S= 耳匕乩2bx + 2cxs<2a.(1)寫出 a2, a3, a4；解(1)令 n= 2，: a1 = 6$ =十 a2,(2)猜出an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.1即 a1 + a2= 3a2. a2=祛令 n= 3,得 S3= 3|+1 a3,1即 a1 +a2+ a3=6a3, a3= 204X (4 + 1 X令 n = 4,得 S4=2a4,1即 a1 + a2+ a3 + a4= 10a4,a4= 3°.猜想an=1n+ 1

17、 n+2 ,F面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.當(dāng)n= 1時，a = 66結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n= k時，結(jié)論成立，即 a =,(k+ 1 k + 2)則當(dāng) n = k + 1 時，$= k k+ 1 ak=篤匸1 一2 k+22(k+ 1 k+ 2)2(k+ 2j即 S<+ ak+1= k+ 12k+ 2 ak+1.k2 k+ 2fk + 1 fk + 2 ak+1 =2ak+1.ak+1 =(k + 1：(k + 2 l 1 k(k+ 3(k+ 2)21(k + 2 k+ 3 .當(dāng)n= k+ 1時結(jié)論成立.由可知，對一切n N都有an=1(n+ 1(n+ 2)n的函數(shù)g(n)，使等式f (1) +1 1122. (12分)設(shè)f ( n) = 1+;+;+, + -，是否存在關(guān)于自然數(shù)2 3nf(2) +, + f ( n 1) = g(n) : f(n) 1對于n2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論.解 當(dāng) n= 2 時，由 f(1) = g(2) :f(2) 1,fX1得 g(2)=廠27 = 1= 2，(1+2 1當(dāng) n= 3 時，由 f(1) + f (2) = g(3) :f(3) 1,1得g=嚴=1+1+2 猜想 g(n) = n( n2).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n>2 時，等式 f(1) + f(2) +, + f(n 1)