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1、線性代數(shù)筆記第一章 行列式 1第二章 矩陣 5第三章 向量空間 32第四章 線性方程組 49第五章 特征值與特征向量 . 錯(cuò)誤! 未定義書簽。第一章 行列式1.3.1 行列式的性質(zhì)給定行列式, 將它的行列互換所得的新行列式稱為 D 的轉(zhuǎn)置行列式,記為性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即( 這個(gè)性質(zhì)表明 : 行列式對(duì)行成立的性 質(zhì) , 對(duì)列也成立 , 反之亦然 )性質(zhì) 2 用數(shù) k 乘行列式 D 的某一行(列)的每個(gè)元素所得的新行列式等于kD。推論 1 若行列式中某一行(列)的元素有公因數(shù),則可將公因數(shù)提到行列式之外。推論 2 若行列式中某一行(列)的元素全為零,則行列式的值為0??梢宰C明:

2、任意一個(gè)奇數(shù)階反對(duì)稱行列式必為零。性質(zhì) 3 行列式的兩行(列)互換,行列式的值改變符號(hào)。以二階為例推論 3 若行列式某兩行(列),完全相同,則行列式的值為零。性質(zhì) 4 若行列式某兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例,則行列式的值為零。性質(zhì) 5 若行列式中某一行(列)元素可分解為兩個(gè)元素的和,則行列式可分解為兩個(gè) 行列式的和,注意 性質(zhì)中是指某一行(列)而不是每一行。性質(zhì) 6 把行列式的某一行(列)的每個(gè)元素都乘以 加到另一行(列),所得的行列式 的值不變。范德蒙德行列式例 10 范德蒙行列式=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4 克萊姆法則定理 1.4.1 對(duì)于 n 階行列式定理 1.4.2

3、 惟一的解 :如果n個(gè)未知數(shù),n個(gè)方程的線性方程組 的系數(shù)行列式 Dm 0,則方程組有定理143如果n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組 的系數(shù)行列式 Dm 0,則該方程組只有零 解,沒有非零解。推論 如果齊次方程組有非零解,則必有系數(shù)行列式D=0。第二章 矩陣一、矩陣的運(yùn)算1 、矩陣的加法設(shè) A= ( aij ) mMi , B= ( bij ) mn,則A+B= ( aij +bij ) mXn矩陣的加法適合下列運(yùn)算規(guī)則:( 1 )交換律: A+B=B+A( 2)結(jié)合律: ( A+B) +C=A+( B+C)(3) A+0=0+A=A此處0表示與A同型的零矩陣,即 A= (aj ) mn , 0

4、=0mM1(4) 矩陣A= (aij ) m,規(guī)定-A= (-a j ) m ,(稱之為A的負(fù)矩陣),則有A+ (-A) = (-A )+A=0 2、矩陣的數(shù)乘設(shè)A= (aj ) m, K為數(shù),則KA=( Kaij ) m n 矩陣的數(shù)乘適合下列運(yùn)算規(guī)則:( 1) K( A+B) =KA+KB(2) (K+L)A=KA+LA(3) (KL)A=K(LA)( 4) 1*A=A0,而右端的“ 0”表示一個(gè)與A行數(shù)列數(shù)相同的零矩陣。(5) 0*A=0 (左端的零是指數(shù)3、矩陣的乘法設(shè) A=( aij )mn, B=( bjk ) nl ,則A*B=C=( cik ) ml其中 C=2 aij bjk

5、 (j=1 , n)注意;兩個(gè)矩陣相乘必須第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù); 矩陣乘法不滿足交換律 , 即AB不一定等于 BA矩陣乘法有零因子,即 AM 0 (零矩陣),BM 0 (零矩陣),但有可能 A*B=0 (零矩陣)矩陣的乘法適合以下法則:( 1)結(jié)合律: ( AB)C=A( BC)( 2)分配律( A+B)C=AC+BCC ( A+B) =CA+CB(3) k (AB = ( kA) B=A ( kB),此處 k 是一個(gè)數(shù)。由于矩陣乘法的結(jié)合律,故對(duì)于方陣A來說,A的方幕是有意義的,即Ak=A*AA共k個(gè)A相乘,從而有k l k+l( 1) AkAl =Ak+l(2)(Ak)l=

6、Akl( 3) I nA=AIn=A4、矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A的行變成列,列變成行得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作 AT或A注意A是m n矩陣,則A為n m矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置適合下列運(yùn)算法則:(1) (AT)T=A(2) (A+B)T=AT+BT(3) (kA)T=kAT(4) (AB)T=BTAT5、方陣的逆矩陣設(shè)A, B為同階可逆矩陣。常數(shù)k豐0。則1.可逆,且2.AB 可逆,。 AA -1=A-1A=E3.也可逆,且-1 k k -1A-1)k=(Ak)-14.kA 也可逆,且 。(注: K 不能為 0)5.消去律 設(shè)P是與A, B同階的可逆矩陣,若 PA=PB則A=Bo若 a豐0, ab=ac

7、 貝U b=c。,并定6. 設(shè)A是n階可逆方陣。定義則有7. 設(shè) A 是 n 階可逆方陣,則,其中 k,l 是任意整數(shù)。2.3.1 逆矩陣的定義定義設(shè)A是一個(gè)n階方陣。若存在一個(gè)n階方陣B使得則稱A是可逆矩陣,也稱非奇異陣。并稱若這樣的B不存在,則稱A不可逆。 定理2.3.1 可逆矩陣A的逆矩陣是惟一的。定理 2.3.2 n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是,且當(dāng)時(shí),o推論設(shè)A, B均為n階方陣,并且滿足 AB=E則A,B都可逆,且2.4.1 分塊矩陣的概念對(duì)于行數(shù)列數(shù)較高的矩陣 A,為運(yùn)算方便,經(jīng)常采用分塊法處理。即可以用若干條橫線和豎線將其分成若干個(gè)小矩陣。 每個(gè)小矩陣稱為 A的子塊,以子

8、塊為元素的形式上的矩 陣稱為分塊矩陣。2.4.3 幾個(gè)特殊的分快矩陣的運(yùn)算(1)準(zhǔn)對(duì)角矩陣方陣的特殊分塊矩陣形如的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角陣或準(zhǔn)對(duì)角陣,其中,均為方陣。2)兩個(gè)準(zhǔn)對(duì)角(分塊對(duì)角)矩陣的乘積均為可逆3)準(zhǔn)對(duì)角矩陣的逆矩陣若陣??赡?,且4)準(zhǔn)上(下)三角矩陣的行列式可以證明 (1) 用初等行變換方法求逆矩陣時(shí),不能同時(shí)用初等列變換?。?)在求矩陣的秩時(shí),可以只用初等行變換,但也允許用初等列變換,而且不必化成簡(jiǎn)化 行階梯形矩陣定義 2.5.1 (線性方程組的初等變換) 稱下列三種變換為線性方程組的初等變換。( 1)兩個(gè)方程互換位置; (2)用一個(gè)非零的數(shù)乘某一個(gè)方程;( 3)把一個(gè)方程的

9、倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。 顯然,線性方程組經(jīng)初等變換后所得的新方程組與原方程組同解。 事實(shí)上,上述解線性方程組的過程,只要對(duì)該方程組的增廣矩陣做相應(yīng)的行變換即可。二、矩陣初等變換的定義定義 2.5.2 分別稱下列三種變換為矩陣的第一、第二、第三種行(列)初等變 (1)對(duì)調(diào)矩陣中任意兩行(列)的位置;(2)用一非零常數(shù)乘矩陣的某一行(列);( 3)將矩陣的某一行(列)乘以數(shù)k 后加到另一行(列)上去。把行初等變換和列初等變換統(tǒng)稱為初等變換。定義如果一個(gè)矩陣 A經(jīng)過有限次的初等變換變成矩陣B,則稱A與B等價(jià),記為AB。等價(jià)具有反身性 即對(duì)任意矩陣A,有A與A等價(jià); 對(duì)稱性若A與B等價(jià),則B與A等價(jià)

10、傳遞性 若A與B等價(jià),B與C等價(jià),則A與C等價(jià)。三、矩陣的行最簡(jiǎn)形式和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)單地說, 就是經(jīng)過行初等變換可以把矩陣化成階梯型, 進(jìn)而化成行最簡(jiǎn)形, 而經(jīng)過初 等變換(包括行和列的)可以把矩陣化成等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。階梯形矩陣的定義:滿足(1)全零行(若有)都在矩陣非零行的下方;(2) 各非零行中從左邊數(shù)起的第一個(gè)非零元(稱為主元)的列指標(biāo)j 隨著行 指標(biāo)的增加而單調(diào)地嚴(yán)格增加的矩陣稱為階梯形矩陣。(每個(gè)階梯只有一行) 行最簡(jiǎn)形式以稱滿足( 1)它是階梯形; ( 2)各行的第一個(gè)非零元都是 1;( 3)第一個(gè)非零元所 在列的其它元素均為零的矩陣為行最簡(jiǎn)形式。若允許再作初等列變換可繼續(xù)得這最后的式子

11、就是 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。一般,任何一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形都是分塊對(duì)角陣也可能為2.5.2 初等方陣定義 2.5.4 對(duì)單位陣施行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等方陣。 以三階方陣為例第一種:第二種:第三種 :顯然,初等陣都是非奇異陣。2.5.3 用初等變換法求逆矩陣因?yàn)槿我夥瞧娈愱囍唤?jīng)行初等變換就可化成單位陣,即則。于是有求逆矩陣這表明,當(dāng)對(duì)A作初等行變換將 A變成單位矩陣E時(shí),若對(duì)單位矩陣做完全相同的初等變換則單位矩陣 E 將變成的初等變換法 :寫出分塊矩陣作初等行變換,A化成單位陣時(shí), E 就化成為2.5.4 用初等變換法求解矩陣方程一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形ax=b (a豐0)矩陣方程的三種標(biāo)準(zhǔn)形

12、AX=BXA=B(3) AXB=C則解法:對(duì)第一類作分塊矩陣對(duì) A 作初等行變換,成 單 位 陣 時(shí) , 由 于 B 做 的 是 同 樣 的 初 等 行 變 換 , 則 得 到A變的是對(duì)于第二類的可先轉(zhuǎn)化為第一類的即由進(jìn)而求出 X按上例的方法求出. 初等變換的性質(zhì)定理 2.5.1 設(shè)線性方程組的增廣矩陣經(jīng)有限次的初等行變換化為為增廣矩陣的方程組同解。定理 2.5.2 任何矩陣都可以經(jīng)有限次初等行變換化成行最簡(jiǎn)形式,經(jīng)有限次初等變換 (包括行及列) 化成等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。 且其標(biāo)準(zhǔn)形由原矩陣惟一確定, 而與所做的初等變換無關(guān)。定理設(shè)A是一個(gè)mx n階的矩陣,貝U(1) 對(duì)A做一次初等行變換,就相當(dāng)于用

13、一個(gè)與這個(gè)初等變換相應(yīng)的m階初等矩陣左乘 A;(2) 對(duì)A做一次初等列變換,就相當(dāng)于用一個(gè)與這個(gè)初等變換相應(yīng)的n階初等矩陣右乘 A;推論 1 方陣經(jīng)初等變換其奇異性不變。定理對(duì)于任意的mx n階矩陣A,總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣 Q使得推論 2 n 階可逆陣(非奇異陣)必等價(jià)于單位陣。 因?yàn)榉褙悾涞葍r(jià)標(biāo)準(zhǔn)形不可逆。定理2.5.5 n階方陣A可逆的充分必要條件是 A能表示成若干個(gè)初等陣的乘積。 證 充分性是顯然的。下面證必要性。已知 A 為 n 階可逆陣,貝 A 與等 價(jià) , 故 存 在有 限 個(gè) n 階初 等 陣,亦即 A 能表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。必要性得證。推論3任意可逆陣A

14、 (非奇異陣)只經(jīng)過有限次的初等行 (列)變換就能化成單位陣。 對(duì)n階方陣A初等變換不改變其奇異性。定義261 矩陣A的最高階非零子式的階數(shù)稱為該矩陣的秩。記為r( A),有時(shí)也記為 秩( A)。事實(shí)上,如果 A有一個(gè)r階子式不等于零,而所有 r+1階子式都等于零,則 r(A)第三章 向量空間一、n維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì)定義 :設(shè)是一組 n 維向量構(gòu)成的向量組。使得如果存在一組不全為零的數(shù)則 稱向 量 組線性相關(guān)。否則,稱向量組線性無關(guān)。向量線性運(yùn)算的性質(zhì):向量的運(yùn)算滿足卜列 8條運(yùn)算律:設(shè)a,3, 丫都是n維向量,k, l 是數(shù),則1)a + 3 =3+a;(加法交換律)2)(a +3)

15、+Y =a +(3 + Y);(加法結(jié)合律)3)a +0=a;4)a +( -a)=05)1 Xa =a6)K(a +3)=ka +k3;(數(shù)乘分配律)7)(k+l )a=ka+l a;(數(shù)乘分配律)8)( kl )a=k(la);(數(shù)乘向量結(jié)合律)二、n維向量組的線性相關(guān)性1. 向量組的線性相關(guān)性的定義和關(guān)于線性相關(guān)的幾個(gè)定理(1) m個(gè)n維向量條件是至少存在某個(gè)線性相關(guān)的充分必要是其余向量的線性組合.線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意 一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合 .線性無關(guān),而2) 如 果向 量組線性相關(guān),則 3 可由線性表示 , 且表示法唯一 .(3)線性相關(guān)的向量組再增加向量

16、所得的新向量組必線性相關(guān) . (部分相關(guān),則整體 相關(guān);或整體無關(guān),則部分無關(guān))線性無關(guān), 則接長(zhǎng)向量( 4) 若向量組組必線性無關(guān)2. 判斷向量組的線性相關(guān)性的方法(1) 一個(gè)向量a線性相關(guān)2)含有零向量的向量組必線性相關(guān);(3)向量個(gè)數(shù)=向量維數(shù)時(shí),n維向量組線性相關(guān)4)向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù)時(shí) , 向量組必線性相關(guān);5)若向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān),則向量組必線性相關(guān);6)若向量組線性無關(guān),則其接長(zhǎng)向量組必線性無關(guān);向量組的秩=所(7)向量組線性無關(guān)含向量的個(gè)數(shù) ,向量組線性相關(guān)向量組的秩 所含向量的個(gè)數(shù);( 8)向量組必要條件是齊次方程組線性相關(guān)(無關(guān))的充分有(沒有)非零解 .向量組的秩

17、個(gè)向量組a 1 ,a 2,a m的部分組a i1 , a i2,a ir滿足如下條件:(1) a ii , a i2,a ir線性無關(guān)(2) 該向量組任意一個(gè)向量添加到這個(gè)部分組后得到的向量組線性相關(guān)則稱a ii , a i2,a ir為向量組a i ,a 2,a m的極大線性無關(guān)部分組。性質(zhì):(1) 一個(gè)向量組的任意向量可由極大無關(guān)組線性表示且表示式系數(shù)唯一;(2) 一個(gè)向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。一個(gè)向量組a 1, a 2,a m的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩,記作 r (a 1 ,a 2,_a m)。一個(gè)nrK n矩陣A,其行向量組的秩稱為矩陣 A的行秩;列向量組的秩

18、稱為矩陣 A的列秩。 性質(zhì):(1) 一個(gè)mK n矩陣A的行秩等于列秩等于矩陣A的秩。(2) 對(duì)mx n矩陣進(jìn)行初等變換不改變列向量之間的線性關(guān)系,進(jìn)行初等列變換不改變 行向量之間的線性關(guān)系, 因此可以用初等行變換求一組列向量的極大無關(guān)組并將其余向量用 極大無關(guān)組線性表示。三、向量組的極大無關(guān)組及秩1. 極大無關(guān)組的定義2. 向量組的秩 求向量組的秩和極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的 的方法四、子空間的定義,基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo)341向量空間的概念定 義 3.4.1 n 維實(shí)向 量的 全體構(gòu)成的 集合稱 為實(shí) n 維向 量 空間 , 記 作的一個(gè)非空子集,定義 3.4.2 設(shè) V 是滿足1)若1)若則

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