一維隨機變量及其分布

1、第二章 一維隨機變量及其分布（一）作業(yè)設隨機變量X的分布列為 P=k= k=1,2,.求： (1)參數(shù)a. (2)PX4 (3)Y=2X+1的分布列。2一批產(chǎn)品包括10件正品, 3件次品, 不放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品為止, 假定每件產(chǎn)品被取到的機會相同, 求抽取次數(shù)的分布列和分布函數(shù).3服從柯西分布的隨機變量的分布函數(shù)是，求（1）常數(shù)；（2）；（3）概率密度。4服從拉普拉斯分布的隨機變量的概率密度 , 求（1）系數(shù)A；（2）分布函數(shù)F(x)；（3）5設隨機變量的分布列為2 1 0 求：及標準差。6抽樣調(diào)查表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績72分，已知90分以

2、上的考生站2.3%，試求考生成績在60至82分之間的概率。7設，求的分布密度。8.假設一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停工。若一周5個工作日無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍能獲利5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？ 9某工廠制造某種潤滑油，如在一段時間不用，將損失某些特性。設是該廠一年內(nèi)賣出的單位數(shù)（1單位等于1000千克），它在200，400上服從均勻分布，又設每賣出一個單位，工廠可獲得3000元利潤，而因賣不出去油失效每單位將損失1000元，問工廠在每年開工前應決定生產(chǎn)多少單位的潤滑油，才能使期望

3、利潤最大？（二）練習題一、填空題1隨機變量的分布函數(shù)是事件 的概率。2已知隨機變量只能取-1，0，1，2四個數(shù)值，其相應的概率依次是，則 3當?shù)闹禐?時，才能成為隨機變量的分布列。4一實習生用一臺機器接連獨立地制造3個相同的零件，第個零件不合格的概率，以表示3個零件中合格品的個數(shù)，則。5知的概率分布為，則的分布函數(shù) .6隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，則的分布列為 ；若，則 。7隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，且，則 。8已知離散型隨機變量可能取到的值為：-1，0，1，且，則對的概率分布是 。9若隨機變量在1，6上服從均勻分布，則方程有實根的概率為 。10用隨機變量來描述擲一枚硬幣的試驗結(jié)果. 則

4、的分布函數(shù)為 .11設隨機變量的概率密度為，若使得，則的取值范圍是 。12設離散型隨機變量的分布函數(shù)為： 且，則。13設，當時，= 。14設隨機變量，則的分布密度 ； 。若，則的分布密度 ； 15設，則 。16隨機變量，且，則的概率密度函數(shù)為 。17若隨機變量服從均值為3，方差為的正態(tài)分布，且則 。18若隨機變量，且，則。19設，若，則 。20設某批電子元件的壽命，若，欲使，允許最大的= 。21若隨機變量的分布列為，則的分布列為 。22已知隨機變量的概率分布為：01234p1/31/61/61/121/4則= ，= ，= 。二、選擇題1設是一個離散型隨機變量，則（ ）可以作為的概率函數(shù)。（）

5、(為任意實數(shù)) （） （）2已知隨機變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)的值為（ ）。 （）； （）；（）； （）。3若函數(shù)是一隨機變量的概率密度，則（ ）一定成立。的定義域為0,1; 非負；的值域為0,1; 在內(nèi)連續(xù)。4設隨機變量，則的分布函數(shù)為（ ） 5已知隨機變量服從參數(shù)為2的泊松分布，則隨機變量的數(shù)學期望為（ ）。 （）10； （）4； （）-2 ； （）-1/2 。6設與分別是隨機變量與的分布函數(shù)，為了使是某一個隨機變量的分布函數(shù)，在下列各組值中應取（ ） ； ； ； 。7設隨機變量X的密度函數(shù)為，且，是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)，有（ ）。()； ()；()； ()。8 設隨機變

6、量的密度函數(shù)為，且為偶函數(shù)，設是其分布函數(shù)，則（ ） （）為偶函數(shù) （B）為奇函數(shù) （C） 9設隨機變量服從正態(tài)分布，則隨的增大，概率應（ ）(A) 單調(diào)增大； (B) 單調(diào)減小； (C) 保持不變； (D)增減不定。10設，其密度函數(shù)為，分布函數(shù)為，則（ ） （A） (B) (C) (D) 11設隨機變量，其概率密度的最大值為（ ）。 0； 1； ； 12設隨機變量與均服從正態(tài)分布，；記，則有（ ）對任何實數(shù)，都有；對任何實數(shù)，都有 ；只對個別值，才有；對任何實數(shù)，都有。13設隨機變量，且，則c= ( ) 0 ； ； ； 14設服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為其分布函數(shù)，則（ ） ； ； ； 15設

7、隨機變量滿足，則對于任意常數(shù)，都有（ ）。 （）； （）； （）； （）。三、計算1一批產(chǎn)品20個, 其中有5個次品, 從這批產(chǎn)品中隨意抽取4個, 求這4個產(chǎn)品中的次品數(shù)的分布列.2一批產(chǎn)品包括10件正品3件次品，如果隨機地從中抽取，每次取出一件后，總放回一件正品，直到取出正品為止，求抽取次數(shù)的分布列。3一批產(chǎn)品分一、二、三級, 其中一級品是二級品的兩倍, 三級品是二級品的一半, 從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個檢驗質(zhì)量, 用隨機變量描述檢驗的可能結(jié)果, 寫出它的分布列及分布函數(shù).4投擲一枚不均勻的硬幣，正面出現(xiàn)的概率是p（0p1），以表示直至兩個面都出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，求的分布列。5已知某單位一天內(nèi)

8、燒壞燈泡的個數(shù)服從泊松分布，且一天內(nèi)不燒壞燈泡的概率為1/e,求一天內(nèi)燒壞燈泡多于2個的概率。6設離散型隨機變量的分布列為：-10123p0.150.25求：（1）求的分布列；（2）7.一制藥廠分別獨立地組織兩組技術(shù)人員試制不同類型的新藥。若每組成功的概率都是0.40，而當?shù)谝唤M成功時，每年的銷售額可達40000元，而當?shù)诙M成功時，每年的銷售額可達60000元，若失敗則分文全無，以記這兩種新藥的年銷售額，求的分布列及藥廠的期望利潤。8設隨機變量的分布密度函數(shù)為 ，且，求。9續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為試求：（1）系數(shù)、；（2）求）；（3）的分布密度函數(shù)。10設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為：，求：（

9、1）常數(shù)和； （2）的概率密度函數(shù)；（3）。11設隨機變量的概率密度為：，求（1）常數(shù)；（2）；（3）分布函數(shù)。12設隨機變量的分布密度函數(shù)為試求：（1）系數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù).13設連續(xù)型隨機變量的概率密度為試求（1）系數(shù); （2）分布函數(shù)； （3） 14設隨機變量在2，5上服從均勻分布，現(xiàn)對進行三次獨立觀測，試求有兩次觀測值在于是的概率。15某高校入學考試的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，如果85分以上為優(yōu)秀，問數(shù)學成績優(yōu)秀的考生大致占總?cè)藬?shù)的百分之幾？16在邊上的高為的中取一點，到的距離為，求的分布函數(shù)。17設隨機變量,求的分布函數(shù)與概率密度。18某銀行開展定期定額有獎儲蓄，定期一年，定額

10、60元。按規(guī)定10000全戶頭中，頭獎一個，獎金500元；二獎10個，各獎100元；三獎100個，各獎10元；四獎1000個，各獎2元，某人買了5個戶頭，他期望得獎多少元？19某保險公司對顧客進行人身保險，如果在一年內(nèi)投保人死亡，保險公司賠償10000元，若投保人受傷，保險公司賠償5000元，已知一年內(nèi)投保人死亡的概率為0.002，受傷的概率為0.005，為使保險公司的期望收益不低于保費的10%，該公司應該要求顧客至少交多少保險費？20一臺設備由三大部件構(gòu)成，在設備運轉(zhuǎn)中，各部件需調(diào)整的概率分別為，假設各部件狀態(tài)相互獨立，以表示同時需調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學期望與方差 21QUICKTUNE公

11、司的廣告聲稱完全清洗一輛汽車只需34.98美元，而且公司保證，如果不能在30分鐘內(nèi)完成，將免收費用. 已知清洗一輛汽車所需時間服從（分鐘），（分鐘）的正態(tài)分布，清洗總成本為24美元. 求清洗200輛汽車公司的期望利潤是多少？22某企業(yè)準備通過招聘考試招收300名職工，其中正式工280人，臨時工20人；報考人數(shù)1657人，考試滿分400分，考試后，考試總平均成績=166分，360分以上的高分考生31人，某考生的成績是256分，問他能否被錄??？能否被聘為正式工？ 23游客乘電梯從底層到電視塔觀光，電梯每個整點的5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行，假設一游客在早上8點的第分鐘到達底層電梯處，且在0

12、，60上服從均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學期望。（三）附加練習X是一個隨機變量，試證明對任意常數(shù)C，有，并由此證明：對取值于區(qū)間內(nèi)的隨機變量X，有2設某種產(chǎn)品每周需求量取1、2、3、4、5是等可能的，生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是3元，每件產(chǎn)品售價9元，沒有銷售出去的產(chǎn)品以每件1元的費用存入倉庫，問生產(chǎn)者每周生產(chǎn)多少件產(chǎn)品獲得的期望利潤最大？3設和都有是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且，試證明也是分布函數(shù)。4設為曲線與軸所圍成的區(qū)域，在中任取一點，設該點到軸的距離為，求的分布函數(shù)和分布密度。5某服裝商店銷售某種時裝，每出售一件獲得純利潤5元，如果到季節(jié)末尚有積壓，則降價處理，每件凈損失2元。據(jù)以往估計該商店出售