線性方程組的解法討論(本科畢業(yè)論文)

1、 本科生畢業(yè)論文論文題目: 線性方程組的解法討論作者、學號：XXX學院、年級：數學與信息科學學院2010級學科、專業(yè)：數學與應用數學指導教師：XXXX完成日期：2014年5月20日曲靖師范學院教務處線性方程組的解法討論摘 要科學技術、工程和經濟領域中的一些實際問題建立數學模型時通?？梢耘c線性方程組對應起來，因此，AX=b的求解是科學計算的中心問題.本文介紹了線性方程組的概念及解的基本理論，針對齊次線性方程組和非齊次線性方程組，結合例題討論了它們的解法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU分解法、逆矩陣及廣義逆矩陣法，并對每種方法的優(yōu)缺點及適用性進行了分析，得出線性方程組的解法雖多，但要根據線性方程

2、組的結構選擇合適的方法，方能順利求解的結論. 關鍵詞 ：線性方程組；高斯消元法；克拉姆法則；LU分解法；逆矩陣法Discussion about the Solution of Linear System of EquationsAbstract: Some practical problems of science and technology, engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations, and therefore, the solu

3、tion of AX=b is a central problem in scientific computing. This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution, according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example, discusses their solution, mainly Gaus

4、s elimination method, LU decomposition method, Crum method, inverse matrix and generalized inverse matrix method, and the advantages and disadvantages of each method and applicability are analyzed, that although the solution of linear equations, but to choose the appropriate method according to the

5、linear equation the form of a group, can be solved smoothly conclusions.Key words: linear System of equations； Gauss elimination method；Cramer rule；LU decomposition ；inverse matrix；目 錄1 引言12 文獻綜述12.1 國內外研究現狀12.2 國內外研究現狀評價22.3 提出問題23 線性方程組的概念及解的基礎理論23.1 齊次線性方程組33.2 非齊次線性方程組64 線性方程組的解法94.1 高斯消元法94.2 用

6、克拉默（Cramer）法則解線性方程組104.3 LU分解法114.4 逆矩陣法及廣義逆矩陣法125 結論155.1 主要發(fā)現155.2 啟示155.3 局限性155.4 努力方向15參考文獻161 引言求解線性方程組AX=b是科學計算的中心問題1.對于系數矩陣為低階稠密矩陣的線性方程組可以用直接法進行消元.對于大規(guī)模線性方程組的求解問題，特別是大規(guī)模稀疏線性方程組，直接法會顯得比較繁瑣.因此，探討線性方程組的解法就成了當前數學計算中的一個重點和難點.目前，求解線性方程組的主要方法有高斯消元法2，克拉姆法4，廣義逆矩陣法3，LU分解法9，如何選擇是大家關心的一個問題.在科技、工程、醫(yī)學、經濟等

7、各個領域中，很多問題常常歸結為線性方程.有些問題的數學模型雖不直接表現為求解線性方程，但其數值解法中卻需將該問題“離散化”或“線性化”為線性方程組10.隨著計算機存儲量的日益增大和計算機速度的迅速提高，使得求解線性代數方程組的直接求法如高斯消去法等在計算機上可以用來求解大規(guī)模線性代數方程組，并且由于處理稀疏矩陣存貯和計算技術的飛速發(fā)展，加之直接方法理論的日臻完善，進一步斷定了直接方法的巨大使用價值和可靠性，因而在近三十年來直接法被廣泛地采用，在科學研究和大型工程設計中出現了越來越多的數學問題，而這些問題往往需要求數值解，在進行數值求解時，經離散后，常常歸結為求解行如Ax=b的大型線性方程組.許

8、多源于工程技術的數學問題，都可以歸結為求解線性方程組.因此在各種數據處理中，線性方程組的求解是最常見的問題之一.因此，找到一種行之有效的方法來解線性方程組可以給計算帶來很大的便利，提高人們的工作效率.2 文獻綜述2.1 國內外研究現狀目前，國內外對線性方程組解法的研究已從各個方面進行了一定的探討，得出了一系列的成果，文獻1-2中作者簡單地敘述了線性方程組的思想方法，文獻3中漫談了線性方程組的改革，文獻4-5中系統(tǒng)地介紹了線性方程組的基本理論，文獻6中系統(tǒng)地講述了線性方程組的各種解法，文獻7-10中介紹了一些線性方程組的典例與解法，文獻11中韓艷麗介紹了線性方程組在處理矩陣秩問題中的應用，文獻1

9、1-12周均介紹了齊次與非齊次線性方程組重要理論的應用舉例，文獻13-14 花威談了線性方程組在高等代數中的應用.2.2 國內外研究現狀評價國內外對線性方程組的研究多偏重于計算方法和應用方面的研究，分別從商品利潤問題、交通問題、在解析幾何中的應用問題、解決高等代數等方面進行研究，對線性方程組的系統(tǒng)討論及怎樣選擇恰當的方法求解，給出的研究不多. 2.3 提出問題針對國內外研究現狀，本文把以上文章中的所有問題進行了綜合，對線性方程組的解法作了歸納總結，彌補其中的一些不完善的地方，并例舉一些具有針對性、典范性的例題.3 線性方程組的概念及解的基礎理論形如 (1.1)的方程組，叫做線性方程組，其中1,

10、 2, n代表n個未知量的系數，m是方程的個數；aij(i=1,2, ,m,j=1,2, ,n) 稱為方程組的系數bi(i=1,2, ,s)稱為常數項.3.1 齊次線性方程組若方程組(1.1)中全為0，即 （1.2）形如（1.2）的方程組叫做齊次線性方程組7.常記為矩陣形式: Ax=0其中系數矩陣的秩. 且方程組(1.2)的解空間為. 則可以得到下列結論, 這里表示方程組(1.1)解空間的維數9定理 齊次線性方程組一定有解：(1) 若齊次線性方程組，則只有零解；(2) 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.解的性質：記,(1)如果，那么； (2)如果為任意常數，那么.(3)齊次線性方程組的通解為

11、, 是任意常數，其中是的一個基礎解系.例115 解線性方程組解 方法一：將系數矩陣A化為階梯形矩陣 顯然有，則方程組僅有零解，即.方法二：由于方程組的個數等于未知量的個數（即）（注意：方程組的個數不等于未知量的個數（即），不可以用行列式的方法來判斷），從而可計算系數矩陣A的行列式：，知方程組僅有零解，即.例22 解線性方程組解 將系數矩陣A化為簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中，為自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程組的一個基礎解系為，.所以，原方程組的通解為 （，）.例33 求齊次線性方程組的一個基礎解系，并以該基礎解系表示方程組的全部解.解 將系

12、數矩陣化成簡化階梯形矩陣 可得，則方程組有無窮多解，其同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程組的一個基礎解系為,所以，原方程組的通解為（其中,為任意實數）.注：基礎解系不唯一，但是它們所含解向量的個數相同，且基礎解系所含解向量的個數等于n-r(A). 由上面的定理可知，若是系數矩陣的行數（也即方程的個數），是未知量的個數，則有：（1）當時，此時齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個數大于方程的個數就一定有非零解；（2）當時，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數行列式；（3）當且時，此時系數矩陣的行列式，故齊次線性方程組只有零解；（4）當時，此時，故

13、存在齊次線性方程組的同解方程組，使“”.3.2非齊次線性方程組1若方程組(1.1)中不全為0，即 （1.3）形如（1.3）的方程組叫做非齊次線性方程組，常記為矩陣形式: Ax=b.其中系數矩陣的秩. 且方程組(1.3)的解空間為. 則可以得到下列結論, 這里表示方程組(1.1)解空間的維數9稱為方程組(1.3)的增廣矩陣，關于非齊次線性方程組，有以下理論：(1)唯一解： 線性方程組有唯一解.(2)無解：線性方程組無解.(3)無窮多解：線性方程組有無窮多解.2.解的性質：記,.(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)非齊次線性方程組的通解為, 是任意常數,其中是的一個解(稱為特解)，是的一個基

14、礎解系. 例47 解線性方程組解 可見，則方程組有唯一解.所以方程組的解為 例51 解線性方程組解 ，可見，所以原方程組無解. 例6 解線性方程組解 可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中,為自由未知量）令得原方程組的一個特解.又原方程組的導出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到導出組的一個基礎解系為，.所以，原方程組的通解為（，）.4 線性方程組的解法4.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一種古老的方法4，基于高斯消元法的基本思想而改進、變形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）

15、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；（2）交換某兩個方程的位置；（3）用某個常數k乘以某個方程.這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換.高斯消元法的基本思想是：通過一系列的加減消元運算，也就是代數中的加減消去法，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量.現舉例說明如下：例7 解線性方程組解 分別將第一個方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四個方程上，整理得將此方程組第二個方程加到第四個方程上，使該方程兩邊全為零，并將第三個方程的兩邊乘以，得再將第三個方程的7倍加到第二個方程上，消去第二個方程中的未知量，整理得最后解得.小結：高斯（Gauss)消元法的思想比較簡單，操作起

16、來比較容易，但它只適用于未知數較少的線性方程組；當方程個數和未知數較多時，消元較為困難.4.2 用克拉默（Cramer）法則解線性方程組定理1 如果方程組Ax=b中D=|A|0，則Ax=b有解，且解是唯一的，解為是D中第i列換成列矩陣b所得的行列式.定理2 如果方程組Ax=b中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer法則解n元方程組有兩個前提條件：(1)未知數的個數等于方程的個數.(2)系數行列式不等于零定理33 當齊次線性方程組，時該方程組有唯一的零解.定理44 齊次線性方程組有非零解.例8 解線性方程組解 所以，方程組有唯一解.，因此，線性方程組的解為：.小結：Cramer法則用于判

17、斷具有n個未知數的n個線性方程的方程組解的情況12.當方程組的系數行列式不等于零時，方程組有解且解唯一.如果方程組無解或者有兩個不同的解時，則系數行列式必為零.如果齊次線性方程組的系數行列式不等于零，則沒有非零解.如果齊次線性方程組有非零解，則系數行列式必為零. 用克拉默（Cramer）法則解線性方程組比較簡單，操作起來也比較容易，但它只適用于解未知數的個數和方程個數相同的線性方程組，而且通常是解非齊次線性方程組，對齊次線性方程組，只能求出零解，非零解無法求出.4.3 LU分解法LU分解法是直接分解法中的一種算法10，將方程組Ax=b 中的稀疏矩陣A分解為一個上三角矩陣和一個下三角矩陣，其中A

18、=LU,令y=Ux,那么在方程租的運算中可以先解Ly=b,再解Ux=y在編程過程中分兩步進行，先對矩陣A進行LU分解，然后再解方程組.例9 用LU分解法解方程組 解 由LU分解小結：LU分解法的優(yōu)點是當方程組左端系數矩陣不變13，僅僅是方程組右端列向量改變，即外加激勵信號變化時，能夠方便地求解方程組. 設n階線性方程組Ax=b .將方程組左端系數矩陣A，分解成兩個三角陣的乘積14，即A=LU ，式中，L為主對角線以上的元素均為零的下三角矩陣, 且主對角線元素均為1的上三角矩陣；U為主對角線以下的元素均為零.4.4逆矩陣法及廣義逆矩陣法1. 線性方程組AX=b,當A可逆時，(注：A是方陣).例1

19、0 解線性方程組Ax=b,其中，b=(1，-2，4).解 ,所以，系數矩陣A可逆.，方程組變形為 x=A-1b因此，線性方程組的解為：.注：針對線性方程組AX=b,上述解法只適用于A是方陣且可逆的線性方程組.下面主要討論如何將上述方法加以推廣，使之能運用到一般的線性方程組的求解中.2. 設.如果存在，使得，則稱為矩陣的一個1-廣義逆矩陣，記作.矩陣的1-逆總是存在的，但一般不是惟一的12，矩陣的1-逆的全體記為.若，為的一個1-廣義逆矩陣2，則對為任意的矩陣，矩陣的一個1-廣義逆矩陣為,同時還可以表示為.廣義逆矩陣的計算：(1)設，且有和階置換矩陣使得則對任意的，矩陣是的一個1-廣義逆矩陣.若

20、存在使得則矩陣的1-逆的全體(2)設，則有惟一1逆的充分必要條件是，且，即可逆.這個惟一的1逆就是.定理1 12 設，,則是線性方程組有解的充要條件,其中.如果線性方程組有解，其通解可表示為，其中是任意的維列向量.定理214 設線性方程組有解，是矩陣的一1-廣義逆矩陣，并且，則為線性方程組的最小范數解.定理315 設為矩陣的一個1-廣義逆矩陣，且，則對任意的維列向量,一定是線性方程組的最小二乘解.例11 解線性方程組 解 令 ，.通過行初等變換得到 .取，再令，得.可以驗證 所以，線性方程組有解，且通解為(任意)7.小結：該方法對線性方程組解的討論更加完整，表達形式也更加簡潔系統(tǒng).在無窮多個解

21、向量中，此法可求出一個長度最短解向量，當方程組無解時，又可求出其最優(yōu)近似解，而且該方法在概率統(tǒng)計、線性規(guī)劃等領域中應用比較廣泛.5 結論5.1 主要發(fā)現線性方程組有多種解法，每種解法都有它的優(yōu)越性和局限性.線性方程組是線性代數的心臟，它可以應用到很多方面，根據其重要理論可以解決很多問題，使得一些問題得到意想不到的簡單解法.5.2 啟示線性方程組的解法雖多，要選擇一種適合的并不容易，我們需要先對線性方程組進行分類：齊次線性方程組和非齊次線性方程組.根據不同的線性方程組的不同特征，進而采用適當的方法求解.5.3 局限性線性方程組的解法還有多，由于本人的能力和時間有限，只對其中的幾種方法進行討論和分

22、析.5.4 努力方向除了文章所述線性方程組的理論知識和求解方法外，由于線性方程組的解法相當多，在今后的學習中將不斷的深入研究，以彌補文章中許多不足之處.參考文獻 1北京大學數學系.高等代數M.北京: 高等教育出版社, 1988:25-50.2張禾瑞.,郝鈵新.高等代數M.第四版.北京: 高等教育出版社, 1999:35-68.3丘維聲. 高等代數M.北京: 高等教育出版社, 1996:32-65. 4北京大學數學系幾何與代數教研代數小組.高等代數M.第二版.北京:高等教育出版社,1988:20-55.5熊廷煌.高等代數簡明教程M.武漢:湖北教育出版社,1987:30-55.6鄧建中,劉之行.計算方法M.西安:西安交通大學出版社,20