三角形的五心整理

1、中英文學校自主招生平面幾何講義（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性質：1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 證明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交于G。 過E作EH平行BF。 AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF 推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 證明二證明方法：在ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據重心性質知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高h1，h

2、可知Oh1=1/3Ah 則，S(BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(ABC)；同理可證S(AOC)=1/3S(ABC)，S(AOB)=1/3S(ABC) 所以，S(BOC)=S(AOC)=S(AOB)3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）證明方法：設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離平方和為： (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2 =3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x

3、12+x22+x32+y12+y22+y32=3(x-1/3*(x1+x2+x3)2+3(y-1/3(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標）時上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 最終得出結論。4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系橫坐標：(X1+X2

4、+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/35、三角形內到三邊距離之積最大的點。6。在ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，則M點為ABC的重心，反之也成立。7.設ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）8.相同高三角形面積比為底的比，相同底三角形面積比為高的比。證明方法： D為BC中點，BD=CD,又hABD=hACD，hBOD=hCOD，SABD=SACD，SBOD=SCOD，即SAOF+SBOF+SBOD=SAOE+SCOE+SCOD,SBOD=SCOD,SAOF+SBOF=SAOE+SC

5、OE.同理，E為AC中點，SAOF+SBOF=SBOD+SCOD.SAOE+SCOE=SBOD+SCOD.又SBOF/SBOD+SCOD=OF/OC,SAOF/SAOE+SCOE,即SBOF=SAOF。BF=AF，CF為AB邊上的中線，即三角形的三條中線相交于一點。重心順口溜三條中線必相交，交點命名為“重心” 重心分割中線段，線段之比聽分曉； 長短之比二比一。二、三角形的外心定義三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點,三角形的三個頂點就在這個外接圓上三條中垂線共點證明.l、m分別為線段AB、AC的中垂線AF=BF=CFBC中垂線必過點F三角形外心的性質

6、設ABC的外接圓為G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2性質1：（1）銳角三角形的外心在三角形內； （2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；（3）鈍角三角形的外心在三角形外.性質2：BGC=2A，（或BGC=2(180°-A).性質3：GAC+B=90°證明：如圖所示延長AG與圓交與PA、C、B、P四點共圓P=BP+GAC=90°GAC+B=90°性質4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是ABC外心的充要條件是：（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB

7、+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性質5：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。性質6：點G是平面ABC上一點，那么點G是ABC外心的充要條件(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.三角形外心的做法分別作三角形兩邊的中垂線交點計作O 以O為圓心OA為半徑畫圓圓O即為所求

8、外心的求法設三角形三邊及其對角分別為a、b、c，A、B、C正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4SABC）三、三角形內心定義在三角形中,三個角的角平分線的交點是這個三角形內切圓的圓心，而三角形內切圓的圓心就叫做三角形的內心,(該點到三邊距離相等)。三條角分線共點證明證明：如圖所示作B、C角分線與AC、AB交與F、DCD與BF交與I連接AI交BC于E由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1BF、CD為角分線由角分線定理有AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/ABBE/CE=AB/AC由角平分線定理的逆定理有AE為A的角分

9、線證畢三角形內心的性質設ABC的內切圓為I(r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r2、BIC=90°+A/23、如圖 在RTABC中，A=90°內切圓切BC于D則SABC=BD*CD 4、點O是平面ABC上任意一點，點I是ABC內心的充要條件是：向量OI=a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)/(a+b+c)5、ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC內心I的坐標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b

10、+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)6、(歐拉定理)ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI2=R2-2Rr7、點O是平面ABC上任意一點，點O是ABC內心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量08、雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。9、ABC中，內切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(A/2)/2。10、（內角平分線定理）ABC中，0

11、為內心，A 、B、 C的內角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形內心的做法做出三角形的外接圓O 過O分別作AC、BC（任意兩邊）垂線與圓O交于E、F連接AF、BE交于I，點I即為內心三角形內接圓半徑1、在RtABC中，C=90°，r=(a+b-c)/22、在RTABC中，C=90°，r=ab/a+b+c3任意ABC中r=（2*SABC）/CABC （C為周長） 四、三角形垂心三角形垂心的性質設ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=

12、(a+b+c)/21、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H關于三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上。 4、 ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。 6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。 7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則

13、AB/AP·tanB+ 三角形的垂心與外心的位置關系AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。 9、 設O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。 11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。 12、西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上

14、。13、 設銳角ABC內有一點T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。五、三角形旁心1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。三角形五心2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。三角形旁心的性質設ABC在A內的旁切圓I1(r1)與AB的延長線切于點P1。內切圓半徑為r。1、三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。2、旁心到三角形三邊的距離相等。3、三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。4、BI1C=90°-A/2.5、AP1=r1·cot(A/2

15、)=(a+b+c)/2.6、AI1B=C/2.7、SABC=r1(b+c-a)/2.8、r1=rp(p-a).9、r1=(p-b)(p-c)/r.10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r.11、r1=r/(tanB/2)(tanC/2).12、直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。中英文學校自主招生平面幾何講義（四點共圓）一、證明四點共圓有下述一些基本方法：方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從

16、而即可肯定這四點共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓（割線定理的逆定理）方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓既連成的四邊形三邊中

17、垂線有交點，即可肯定這四點共圓上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明 判定與性質：圓內接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內對角。 如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=，B+D=， 角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于內對角） ABPDCP（三個內角對應相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四點共圓的圖片EB*EA=EC*ED

18、（割線定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理方法6同斜邊的兩個RT三角形的四個頂點共圓，其斜邊為圓的直徑編輯本段四點共圓的定理二、四點共圓的判定定理方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓 （可以說成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓） 方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓 （可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內對角。那么這四點共圓）拓展托勒密定理1 若ABCD四點共圓（ABCD按順序都在同一個圓上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。例題：證明對于任意正整數n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數。 解答：歸納法。我們用歸納法證明一個更強的定理：對于任意n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數，且這n個點共圓，并且有兩點是一條直徑的兩端。n=1，n=2很輕松。當n=3時，一個邊長為整數的勾股三角形即可：比如說邊長為3，4，5