不等式中恒成立問題總結(jié)

1、不等式中恒成立問題在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有：一利用一元二次函數(shù)的判別式 對(duì)于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例1：若不等式的解集是R，求m的范圍。例2.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。二最值法

2、將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例4函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 例5已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。注：分離參數(shù)后，方向明確

3、，思路清晰能使問題順利得到解決。四若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例6設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。五、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問題降次、簡(jiǎn)化。例7對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。六、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例8設(shè) , ,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，