二項(xiàng)式分布及其應(yīng)用教師版

1、考點(diǎn)梳理1條件概率及其性質(zhì)(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)：0P(B|A)1； 如果B和C是兩互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)·P(A)P(A)·P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立

2、(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為k，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率考點(diǎn)自測(cè)1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需

3、要再贏兩局才能得冠軍若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A. B. C. D.解析問(wèn)題等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2×.故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1P2.答案A2小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概率是()A. B. C. D.解析所求概率PC·1·31.答案A3如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作

4、的概率為()A0.960 B0.864 C0.720 D0.576解析P0.9×1(10.8)20.864.答案B4如果XB，則使P(Xk)取最大值的k值為()A3 B4 C5 D3或4解析采取特殊值法P(X3)C312，P(X4)C4·11，P(X5)C510，從而易知P(X3)P(X4)>P(X5)答案D5把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于()A. B. C. D.解析法一P(B|A).法二A包括的基本事件為正，正，正，反，AB包括的基本事件為正，正，因此P(B|A).答案A考向一條件概率【例1】從1

5、,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.解析P(A)，P(AB).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A).答案B【訓(xùn)練1】如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析圓的面積是，正方形的面積是2，扇形的面積是，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)，根據(jù)條件概率的公式得P(B|A).答案考向二獨(dú)立事件的概率【例2】根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)

6、資料，某地車主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立(1)求該地1位車主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率；(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率解(1)設(shè)“購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”事件為A，“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)”事件為B由已知條件P(A)0.5，P(B)0.3，P(B)P()0.3，P(B)0.6，因此，1位車主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率為1P( )1P()P()1(10.5)(10.6)0.8.(2)一位車主兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率為PP( )0.2，因此3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率為C&#

7、215;0.2×0.820.384.【訓(xùn)練2】紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤(pán)已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()解(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因?yàn)镻(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對(duì)立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于

8、以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤(pán)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知F，E，D是兩兩互斥事件，且各盤(pán)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此P(0)P()0.4×0.5×0.50.1，P(1)P(F)P(E)P(D)0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6

9、5;0.5×0.50.35，P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由對(duì)立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為：0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11×0.352×0.43×0.151.6.考向三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求Y的分布列；(3

10、)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率解(1)將通過(guò)每個(gè)交通崗看做一次試驗(yàn)，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，故XB.所以X的分布列為P(Xk)Ck·6k，k0,1,2,3,4,5,6.(2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時(shí)經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k個(gè)路口沒(méi)有遇上紅燈，但在第k1個(gè)路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算P(Yk)k·(k0,1,2,3,4,5)，而Y6表示一路沒(méi)有遇上紅燈故其概率為P(Y6)6，因此Y的分布列為：Y0123P··2

11、·3Y456P·4·56(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為X1X1或X2或或X6，所以其概率為P(X1)(Xk)1P(X0)16.【訓(xùn)練3】 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響(1)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記X為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求X的分布列解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)

12、”為事件A，“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，該下崗人員沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是P( )P()·P()(10.6)(10.75)0.1.該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率為10.10.9.(2)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布XB(3,0.9)，P(Xk)C0.9k×0.13k，k0,1,2,3，X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729課堂練習(xí)一、選擇題1兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰

13、有一個(gè)一等品的概率為()A. B. C. D.解析記兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的事件為A，則P(A)P(A1)P(A2)××.答案B2甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A0.12 B0.42 C0.46 D0.88解析由題意知，甲、乙都不被錄取的概率為(10.6)(10.7)0.12.至少有一人被錄取的概率為10.120.88.答案D3在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是()A0.4,1

14、B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1解析設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則Cp(1p)3Cp2(1p)2，解得p0.4，故選A.答案A4一位國(guó)王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國(guó)王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來(lái)檢測(cè)方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚國(guó)王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為p1和p2.則()Ap1p2 Bp1<p2Cp1>p2 D以上三種情況都有可能解析p111011015，p21515則p1<p2.答案B5位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)

15、的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()A.5 BC5CC3 DCC5解析由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥苿?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為C3·2C5C5，故選B.答案B6袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是()A. B.C. D.解析在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時(shí)，袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球共4個(gè)球，所以取到白球的概率P，故選C.答案C7一個(gè)電路如圖所示，A、B、C、D、E、F為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率都是，且是相

16、互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()A. B.C. D.解析設(shè)A與B中至少有一個(gè)不閉合的事件為T(mén)，E與F至少有一個(gè)不閉合的事件為R，則P(T)P(R)1×，所以燈亮的概率P1P(T)P(R)P()P().答案B二、填空題8某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_(kāi)解析由題意得該籃球運(yùn)動(dòng)員兩次罰球都命中的概率為1，該隊(duì)員每次罰球的命中率為.答案9有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為_(kāi)解析設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件B(發(fā)芽，又成活為幼苗)出芽后

17、的幼苗成活率為：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)P(B|A)·P(A)0.9×0.80.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.答案0.7210明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是_解析設(shè)A“兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響”P(pán)(A)1P()1(10.80)(10.90)10.2×0.10.98.答案0.9811將一枚硬幣拋擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_(kāi)解析由題意知，正面可以出現(xiàn)6

18、次，5次，4次，所求概率PC6C6C6.答案12某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于_解析由已知條件第2個(gè)問(wèn)題答錯(cuò)，第3、4個(gè)問(wèn)題答對(duì)，記“問(wèn)題回答正確”事件為A，則P(A)0.8，PP(1P(A) P(A) P(A)0.128.答案0.128三、解答題13某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場(chǎng)的事件是獨(dú)立的，并且勝場(chǎng)的概率是.(1)求這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已

19、經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率；(2)求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰好勝了3場(chǎng)的概率；(3)求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中勝場(chǎng)數(shù)的期望和方差解(1)P2×.所以這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已負(fù)兩場(chǎng)的概率為；(2)6場(chǎng)勝3場(chǎng)的情況有C種，PC3320××.所以這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰勝3場(chǎng)的概率為；(3)由于服從二項(xiàng)分布，即B，E()6×2，D()6××.所以在6場(chǎng)比賽中這支籃球隊(duì)勝場(chǎng)的期望為2，方差為.14某公司是否對(duì)某一項(xiàng)目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們?nèi)硕加小巴狻?、“中立”、“反?duì)”三類票各一張，投票時(shí)，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒(méi)有影響，規(guī)定：若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票，則決定對(duì)該項(xiàng)目投