二次三項式的因式分解教學(xué)設(shè)計朱斌

1、一元二次方程的應(yīng)用（一）二次三項式的因式分解教學(xué)設(shè)計說明上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)朱斌一、內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課是上海教育出版社九年義務(wù)教育課本數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期§17.4（1）的內(nèi)容是一元二次方程的應(yīng)用第一節(jié)課，內(nèi)容是使用解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，在實數(shù)范圍內(nèi)來對二次三項式ax2+bx+c(a0)因式分解本課程是對七年級學(xué)習的因式分解的再思考，七年級第一學(xué)期的整式中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了在有理數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，特別地，對二次三項式ax2+bx+c(a0)，一般使用十字相乘法進行分解在七年級第二學(xué)期實數(shù)一章，經(jīng)歷了從有理數(shù)到實數(shù)的數(shù)系拓展，但并沒有解決二次三項式ax2+bx

2、+c(a0)在實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解問題：（1） 二次三項式ax2+bx+c(a0)在實數(shù)范圍內(nèi)能否分解？判據(jù)是什么？為什么？（2） 如果可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解，如何分解？（3） 常數(shù)a,b,c滿足什么條件時，二次三項式ax2+bx+c(a0)可以在有理數(shù)范圍內(nèi)分解？在八年級系統(tǒng)學(xué)習一元二次方程之后，具有對其進行研究的基礎(chǔ)通過從特殊到一般的探究過程，使用學(xué)生比較熟悉的配方法作為手段，由淺入深地研究二次三項式的因式分解，最終掌握通過解與二次三項式ax2+bx+c(a0)相聯(lián)系的一元二次方程對二次三項式ax2+bx+c(a0)進行因式分解的方法同時，學(xué)生可以從無到有地對問題（1）、（2）進行研究，給有

3、余力的同學(xué)提供思考問題（3）的基礎(chǔ)，有利于學(xué)生以發(fā)展的眼光來認識數(shù)學(xué)教材中，一元二次方程的公式法就是通過配方法推導(dǎo)的，這節(jié)課通過配方法引入，更好地幫助學(xué)生理解二次三項式的因式分解和一元二次方程求解之間的聯(lián)系同時，也為高中的進一步的數(shù)系擴充做準備，幫助學(xué)生在將來學(xué)習復(fù)數(shù)后，能夠更加自然地想到如何處理復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的二次三項式因式分解建立二次三項式ax2+bx+c(a0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之間完整的對應(yīng)關(guān)系鑒于此，本課時的教學(xué)重點為：1、 理解關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)能否在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解的判據(jù)2、 掌握對于b2-4ac0的二次三項式ax2+bx+c(a0)在實

4、數(shù)范圍內(nèi)因式分解的方法二、目標與目標解析教學(xué)目標1知道二次三項式的分解與一元二次方程的解的聯(lián)系，會判斷二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)是否可以因式分解，并能在實數(shù)范圍內(nèi)通過解一元二次方程對二次三項式進行分解2經(jīng)歷分析、存疑、解釋、歸納、釋義、總結(jié)等過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維策略，感受從存疑到尋求解釋的數(shù)學(xué)思辨形式，提高歸納、抽象概括的能力與代數(shù)式變形能力；在解題中體會化歸的數(shù)學(xué)思想3在不斷深入、層層遞進的分析中，激發(fā)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，增強探究和鉆研精神；在理解方程求根和代數(shù)式變形關(guān)系的過程中，體會數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的內(nèi)在聯(lián)系三、教學(xué)問題診斷分析1面對學(xué)生差異，重視因材施教授課的對象為上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)八

5、年級的學(xué)生，學(xué)生總體水平較高，理解能力和運算能力都比較強同時，有部分同學(xué)在課余已經(jīng)提前學(xué)習過該內(nèi)容，知道通過解方程ax2+bx+c=0(a0)可以對ax2+bx+c(a0)進行因式分解但是只是機械運用，并不能真正理解方程求根和多項式因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系因此，本節(jié)課的核心任務(wù)有兩個：（1） 幫助學(xué)生掌握如何通過求解方程ax2+bx+c=0(a0)的解來對多項式ax2+bx+c(a0)進行因式分解（2） 揭示方程ax2+bx+c=0(a0)和多項式ax2+bx+c(a0)因式分解的關(guān)系因此，本課時通過具體的問題引入，使用了和課本不同的方法來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習課本中使用了觀察、歸納的方法切入，直接歸納出

6、二次三項式因式分解的公式然后，通過多項式展開和求根公式來進行證明面對授課學(xué)生的情況和需求，本課時著重于幫助他們利用已有的知識，自行探索二次三項式因式分解方法，并通過具體問題加以驗證本節(jié)課中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，對二次三項式ax2+bx+c(a0)進行配方，通過配方成平方差（或平方和）的形式來處理在此基礎(chǔ)上直接發(fā)現(xiàn)二次三項式因式分解的公式，并找到其與一元二次方程求根公式之間的聯(lián)系讓學(xué)生對這節(jié)課的知識點有更深入的理解和感受2喚醒相關(guān)舊知，鋪設(shè)配方通途對于八年級的學(xué)生，只有配方法是最容易想到的對二次三項式進行因式分解的合理方法但是，難點在于幫助他們自然地想到使用配方的手段來處理因

7、此，在教學(xué)內(nèi)容的引入部分，給出兩個簡單的因式分解問題，幫助學(xué)生意識到，可以使用平方差的方法解決上述形式的二次二項式對于一般的二次三項式ax2+bx+c(a0)，則可以通過配方轉(zhuǎn)化為上述的二次二項式的形式練習題的前三個是變式訓(xùn)練：(1) ；(2)兩題回顧七年級的做法，并幫助學(xué)生注意到他們之間的關(guān)系(3)無法直接用過去的因式分解方法解決，此處學(xué)生若無法主動得出結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注(1)(2)(3)小題的聯(lián)系，即：，3運用配方方法，得出初步結(jié)論學(xué)生運用配方方法，應(yīng)該能夠很好地處理問題(3)，然后拋出問題(4)，研究的因式分解這個問題，對學(xué)生是一個重大難點，處理方式可能會有多種不同的方法經(jīng)過嘗試后，應(yīng)該

8、會得出無法因式分解的結(jié)論但是可能會有以下幾種情況，視具體情形來進行處理(1) 學(xué)生知道結(jié)論，但是無法說清楚理由，又分成以下幾種情形：a) 無法清晰講出原因；b) 應(yīng)用配方：得到平方和，所以無法分解；c) 過去提前學(xué)過，知道其與方程x2-2x+4=0是否有實根有關(guān)，但是不知道原因?qū)τ谇闆rb)的學(xué)生，應(yīng)該讓其知曉，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表無法因式分解對于情況c)的學(xué)生，首先肯定他的結(jié)果，并且可以告訴學(xué)生這是今天要學(xué)習的內(nèi)容，并且告訴他們應(yīng)該要理解每一個數(shù)學(xué)定理的來龍去脈此時，可以提醒學(xué)生，將問題化歸為的因式分解研究，利用待定系數(shù)法，不考慮二次項系數(shù)，一定分解為，其中m和n為常數(shù)，于是

9、，將得到：，即a2=-3，不存在實數(shù)a，因此無法因式分解同時也代表一切化為平方和形式的二次三項式都無法在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解(2) 學(xué)生能夠解釋原因因為部分學(xué)生能力較強，完全有可能有學(xué)生能夠解釋原因應(yīng)該都是想到使用待定系數(shù)法研究，有以下幾種可能：a) 通過代數(shù)式運算（比如：等），得到矛盾b) 利用特殊值法，若取x=m，則m2-2m+4=0，不存在這樣的實數(shù)mc) 直接應(yīng)用韋達定理，得到m和n為方程的兩根，得到矛盾對于使用韋達定理的同學(xué)，應(yīng)當予以鼓勵，但是必須指出，其他同學(xué)可能還不清楚什么是韋達定理，應(yīng)盡可能用學(xué)過的知識來進行思考對于使用a),b)方法說明的同學(xué)，應(yīng)當給予肯定，但是之后應(yīng)當繼續(xù)引導(dǎo)

10、學(xué)生思考，怎樣發(fā)現(xiàn)x2-2x+4不可以在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，有什么判別方法最終回到配方法，來進行說明并讓學(xué)生總結(jié)，得出初步結(jié)論：(1) 如果可以通過配方轉(zhuǎn)化為平方差的形式，則可以在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解；(2) 如果通過配方轉(zhuǎn)為成為平方和的形式，則不可以在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解4特殊走向一般，歸納最終結(jié)論讓學(xué)生使用配方法研究：ax2+bx+c(a0)的因式分解因為之前很少遇到全為字母的形式，而且牽涉到比較復(fù)雜的討論，學(xué)生可能會遇到的錯誤有以下幾種，應(yīng)用實物投影儀，進行展示，指出這些容易出錯的地方，并由老師最終板演，讓學(xué)生進行歸納：(1) ，學(xué)生直接將二次項系數(shù)a除掉讓學(xué)生意識到，對于方程，可以利用等式

11、性質(zhì)作上述處理，但是多項式不能做上述操作(2) ，學(xué)生默認a是正數(shù)，并且直接將a寫成，應(yīng)當指出這種錯誤，并且說明為了減少討論和運算難度，應(yīng)該將字母a提出來(3) ，這種錯誤是不對的正負進行討論，直接開平方(4) 其他運算錯誤老師應(yīng)指出以上錯誤，幫助學(xué)生理解代數(shù)式變形中的等價性在得到正確的結(jié)果后，由學(xué)生進行總結(jié)，并思考和已經(jīng)學(xué)過的什么知識有聯(lián)系引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與方程：(a0)之間的聯(lián)系，并能用(a0)的求根來進行二次三項式：(a0)的因式分解學(xué)生應(yīng)該能發(fā)現(xiàn)方程和多項式因式分解之間有關(guān)系，但是b2-4ac0的情況，對于給出最終結(jié)論可能有一定的難度教師應(yīng)寫出來，幫助學(xué)生進行比較：的兩個實數(shù)根：；，以得

12、到最終結(jié)果鑒于以上，本課時內(nèi)容的教學(xué)難點如下：1、 通過配方法研究多項式ax2+bx+c如何在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解2、 通過對于ax2+bx+c的因式分解，發(fā)現(xiàn)其與一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系四、教學(xué)支持條件分析本課時內(nèi)容主要以老師黑板板演和學(xué)生解答展示為主通過師生之間的對話，關(guān)注怎么做？為什么？層層推進借助不同的問題，不斷深入研究，從特殊到一般，加深學(xué)生對該知識點的理解（1）黑板 用以老師的推導(dǎo)過程和結(jié)論的展示，左半邊黑板在使用投影儀的時候會被遮住，主要進行一些解題過程的展示，右邊黑板進行主要結(jié)論的推導(dǎo)和提綱性的說明（2）實物投影儀 用以學(xué)生的解答展示，提供典型錯誤和正確做法，幫

13、助學(xué)生更好理解（3）投影儀 將總結(jié)內(nèi)容做成PPT進行投影，加深學(xué)生對于所學(xué)知識的印象從特殊到一般研究二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解得到通過一元二次方程求解實數(shù)范圍內(nèi)分解二次三項式的方法通過配方法熟悉具體二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解方法通過具體習題加以鞏固，并研究特殊的形如ax2+bxy+cy2的二元二次三項式的因式分解五、教學(xué)過程設(shè)計教師活動學(xué)生活動與預(yù)設(shè)設(shè)計意圖1、 復(fù)習引入1、因式分解的意義回顧：什么是因式分解？2、 習題引入（1） x2-4（2） x2-3如何因式分解？3、引出本節(jié)課研究內(nèi)容：形如ax2+bx+c(a0)的二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解回顧因式分解的意

14、義將一個多項式化為幾個整式的積的形式學(xué)生口答：x2-4=(x-2)(x+2)喚醒學(xué)生對于因式分解的記憶，并為之后的研究作鋪墊回顧因式分解的基本方法公式法（平方差）并通過這兩個習題了解實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解為接下來研究的配方法結(jié)合平方差公式作預(yù)備同時指出，在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式，在實數(shù)范圍內(nèi)才能分解因式2、 學(xué)習新知1、 練習：嘗試將以下多項式分解因式（1） x2-2x+1（2） x2-2x-3（3） x2-2x-4上面的三個二次三項式都能在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，那么是否所有的二次三項式都能分解因式呢？（4） x2-2x+4無法分解引入問題x2+3的因式分解反證：如果可以分解，則：x2+3=(x

15、+a)(x+b)，比較系數(shù)，得到：，即a2=-3，不可能不存在實數(shù)a，即不能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解因此x2-2x+4=(x+1)2+3在實數(shù)范圍內(nèi)無法因式分解2、 總結(jié)結(jié)論對上述因式分解問題進行總結(jié)(1) 用什么方法進行分解？(2) 怎樣的二次三項式可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解？3、 研究新知使用配方法研究ax2+bx+c(a0)的因式分解老師巡視，挑選學(xué)生的常見錯誤進行分析然后在黑板進行板演運算，得出最后結(jié)論4、 比較歸納請學(xué)生回答問題將以上結(jié)果和已經(jīng)學(xué)過的知識進行比較，觀察ax2+bx+c(a0)的因式分解和什么有關(guān)將兩者進行比較、聯(lián)系和歸納，并介紹自己的結(jié)果5、 鞏固新知使用上述結(jié)論，對前述的四個

16、練習題進行驗證由老師進行引導(dǎo)，學(xué)生口答學(xué)生在練習紙上完成，老師巡視后通過實物投影儀展示(1)x2-2x+1=(x+1)2(2)x2-2x-3=(x-3)(x+1)(4) x2-2x+4 = (x-1)2+3所以無法分解學(xué)生回答：無法分解因為該式無法轉(zhuǎn)化為平方差的形式教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生意識到使用平方差無法分解并非意味著因式分解無法進行引導(dǎo)學(xué)生從因式分解的意義出法，通過待定系數(shù)法來進行研究注：此處學(xué)生的回答可能多種多樣，還包括：（1） 直接對x2-2x+4進行待定系數(shù)研究，將引出這樣比較復(fù)雜的二次三項式（2） 使用余式定理和因式定理來進行研究等等(1) 可以通過配方結(jié)合平方差公式進行分解(2) 如果配

17、方得到兩個平方的差，則可以分解；如果得到兩個平方的和，則不能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解完成配方，常見錯誤：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=正確過程：(1)當b2-4ac0時，原式=(2)當b2-4ac<0時，原式無法在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解學(xué)生回答：和一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有關(guān)（1） 如果ax2+bx+c=0(a0)沒有實數(shù)根，ax2+bx+c(a0)無法在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解；（2） 如果ax2+bx+c=0(a0)有兩個實數(shù)根x1和x2，則：ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)學(xué)生分別研究方程：x2-2x+1=0x2-2x-3=0x2-2x-4=0x2-2

18、x+4=0的解的情況，并利用上述結(jié)論直接得出多項式因式分解的結(jié)論其中（1）（2）為了幫助學(xué)生喚醒對于過去學(xué)習因式分解的常見方法引導(dǎo)他們認識到過去的方法并非對于一切二次三項式都能直接應(yīng)用為學(xué)生第（3）題能夠想到通過配方并運用平方差公式解決作鋪墊第（3）題用過去學(xué)習的四種方法無法解決，但是通過配方法，結(jié)合運用平方差公式即可幫助學(xué)生在課后體會因式分解和一元二次方程求根之間的關(guān)系幫助學(xué)生理解因式分解的本質(zhì)，知道多項式分解的形式并利用多項式的意義，得出矛盾體會二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能否因式分解的判據(jù)對于課堂生成，應(yīng)抓住機會，善于引導(dǎo)，幫助學(xué)生借助多項式的恒等變形解決問題并在此過程中，讓學(xué)生體會多項式和方

19、程之間的關(guān)系通過總結(jié)，體會可以因式分解的條件，為下一步從特殊到一般的研究作準備并幫助同學(xué)體會因式分解和一元二次方程求根之間的關(guān)系常見錯誤(1) 分不清楚多項式和方程的區(qū)別，應(yīng)將二次項系數(shù)提出來，而不是直接除掉(2) 默認a為正數(shù)，未考慮a<0的情形另外將a放到平方中，增加了運算難度(3) 不討論b2-4ac的正負，直接用平方差展開對于前述的結(jié)論沒有真正理解通過錯誤解答的展示，幫助同學(xué)回顧配方的過程，認識配方解題的關(guān)鍵，加強整式變形的能力通過對ax2+bx+c(a0)進行因式分解，觀察到其能否分解的關(guān)鍵在于b2-4ac，以及分解式中的常數(shù)和ax2+bx+c=0(a0)的兩根非常相近，得出上

20、述結(jié)論關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和學(xué)生對于代數(shù)式的變形能力通過具體問題的操練，幫助學(xué)生熟悉通過一元二次方程分解二次三項式的方法3、 運用新知例題：應(yīng)用解一元二次方程的方法分解因式(1)x2+x-3(2)2x2-3x-1完成上述二次三項式的因式分解，并找到兩位同學(xué)進行板演(1)設(shè)x2+x-3=0，則：原式=(2)設(shè)2x2-3x-1=0，則：原式=通過例題的練習，幫助學(xué)生鞏固使用通過一元二次方程對二次三項式因式分解的方法關(guān)注公式中的二次項系數(shù)和與4、 拓展延伸對含有兩個字母的二次三項式進行因式分解(1)x2+xy-3y2(2)2x2-3xy-y2請同學(xué)思考，口述，老師完成該題的解答將x看作主元，將y看作字

21、母系數(shù)來處理(1)設(shè)x2+yx-3y2=0，則：原式=(2)設(shè)2x2-3yx-y2=0，則：原式=對于形如：ax2+bxy+cy2(ac0)的二次三項式，通過將字母y看作系數(shù)，將上式轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的ax2+bx+c(a0)形式的問題通過該習題，培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力，能夠?qū)⑿聠栴}轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的舊問題進行研究此時，判別式b2y2-4acy2在開平方后，可以化為關(guān)于y的單項式，原式就可以進行因式分解了5、 課堂總結(jié)再次對今天的學(xué)習內(nèi)容進行總結(jié)（1） 從具體問題入手，經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程；（2） 使用配方結(jié)合平方差的方法，對二次三項式ax2+bx+c(a0)在實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解進行了研究（3）

22、 學(xué)會通過解對應(yīng)一元二次方程的方法對二次三項式進行因式分解的方法教師強調(diào)：今后，因式分解的范圍就從有理數(shù)范圍擴充到實數(shù)范圍學(xué)生交流與討論通過課堂總結(jié)，幫助學(xué)生了解（1） 學(xué)習內(nèi)容：使用解一元二次方程的方法對二次三項式因式分解（2） 研究手段：通過配方法結(jié)合平方差公式進行研究（3） 研究途徑：通過從特殊到一般、從具體到抽象的途徑來進行研究希望能夠幫助學(xué)生更好地記憶和理解本節(jié)課的知識點和數(shù)學(xué)方法作業(yè)布置1、數(shù)學(xué)練習冊，§17.42、校本練習冊，§17.4六、目標檢測設(shè)計對于本課時的教學(xué)目標的檢測，主要都放在教學(xué)的過程中穿插進行本節(jié)課中，學(xué)生共要筆算三次問題，分別是：練習題：用已經(jīng)學(xué)過的方法，對下列二次三項式進行因式分解研究：使用配方法，研究二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解例題：使用解一元二次方程的方法，完成下列因式分解的問題1練習題（1） x2-2x+1（2）x2-2x-3（3）x2-2x-4（4）x2-2x+4先給出練習題（1）（2）（3），再巡視和展示完成后，再給出習題（4）繼續(xù)研究練習題（1）（2）著重在于喚