第2章_材料的結構--第2節(jié)-晶面晶向指數(shù)

1、12晶向晶向（crystal directions） ：通過晶體中任意兩個通過晶體中任意兩個結點的連線的方向，代表了結點的連線的方向，代表了晶體中原子列的方向。晶體中原子列的方向。晶面：晶面： （crystal planes）晶體結構中不在同一直線上任三個陣點所構成的晶體結構中不在同一直線上任三個陣點所構成的平面，代表了晶體中原子面的方向。平面，代表了晶體中原子面的方向。.什么是晶向和晶面什么是晶向和晶面?3（1 1）. .不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。（2 2）. .材料的許多性質和行為材料的許多性質和行為( (如各種物理性質

2、、力學行為、如各種物理性質、力學行為、相變、相變、X X光和電子衍射特性等光和電子衍射特性等) )都和晶面、晶向密切相關；都和晶面、晶向密切相關；、如何表征晶向和晶面？如何表征晶向和晶面？4（1 1）. .解析法：用一組解析法：用一組(3(3或或4 4個個) )數(shù)字表征晶面和晶向。數(shù)字表征晶面和晶向。這組數(shù)就稱為晶面指數(shù)或晶向指數(shù)。它是材料科學工這組數(shù)就稱為晶面指數(shù)或晶向指數(shù)。它是材料科學工作者的共同語言。作者的共同語言。晶向符號晶向符號( (指數(shù)指數(shù)) ) ：表示晶向方位的數(shù)字符號。：表示晶向方位的數(shù)字符號。晶面符號晶面符號( (指數(shù)指數(shù)) )：表示晶面在空間方位的符號。：表示晶面在空間方位

3、的符號。（2 2）. .圖示法：用各種晶體投影圖表征晶面或晶向。圖示法：用各種晶體投影圖表征晶面或晶向。為了便于確定和區(qū)別晶體中不同方位的晶向和晶面，國際國際上通用密勒指數(shù)上通用密勒指數(shù)（iller indices ）來統(tǒng)一標定晶向指數(shù)來統(tǒng)一標定晶向指數(shù)與晶面指數(shù)。與晶面指數(shù)。5一一. . 晶向符號晶向符號( (三軸，如立方三軸，如立方) )用三指數(shù)用三指數(shù)u，v，w表示晶向符號。表示晶向符號。確定確定三軸坐標系下晶向指數(shù)三軸坐標系下晶向指數(shù) 的步驟如下：的步驟如下： 設坐標設坐標以晶胞的某一陣點以晶胞的某一陣點O為原點，過原點為原點，過原點O的晶軸為坐標軸的晶軸為坐標軸x, y , z, 以

4、晶胞點陣矢量的長度作為坐標軸的長度單位。以晶胞點陣矢量的長度作為坐標軸的長度單位。6(2) (2) 求坐標求坐標過原點過原點O作一直線作一直線OP，使其平行于待定晶向。，使其平行于待定晶向。在直線在直線OP上任取（除原點外）上任?。ǔc外）一個陣點一個陣點P，確定，確定P點的點的3個個坐標值坐標值X、Y、Z。方法上可作平方法上可作平行六面體，從行六面體，從而求而求X、Y、Z，不能向各晶軸不能向各晶軸面作垂線求坐面作垂線求坐標。標。7(3)以軸單位以軸單位a、b、c來度量，得系數(shù)來度量，得系數(shù)U、V、W.U=X/a，VY/b，WZ/cr = U a + V b + W c OP8(4) (4)

5、 化為互質整數(shù)比化為互質整數(shù)比將這將這3個坐標值化為互質的最小整數(shù)個坐標值化為互質的最小整數(shù)u，v，w。不求倒數(shù)不求倒數(shù)。(5)(5) 列括號列括號，u v wu v w即為待定晶向的晶向指即為待定晶向的晶向指數(shù)。數(shù)。若晶向上一坐標值為負值則在指數(shù)上加一負號。若晶向上一坐標值為負值則在指數(shù)上加一負號。不加不加逗號逗號e.g., x-axis 100 y-axis 010 z-axis 001111110 U V W 晶向晶向Miller指數(shù)指數(shù)X/a：Y/b：Z/cu：v：w910（1 1）找出該晶向上兩點的坐標）找出該晶向上兩點的坐標(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和和(x(

6、x2 2,y,y2 2,z,z2 2););（2 2）將）將(x(x1 1-x-x2 2) )，(y(y1 1-y-y2 2) )，(z(zl l-z-z2 2) )化成互質整數(shù)化成互質整數(shù)u u，v v，w;w;（3 3）滿足）滿足u u：v v：w w(x(x1 1一一x x2 2) )：(y(y1 1一一y y2 2) ) ：(z(zl lzz2 2) )。若原點不在待標晶向上，還可以這樣操作：若原點不在待標晶向上，還可以這樣操作：1121112（1 1）與原點位置無關；每一符號代表一組在空間相互平）與原點位置無關；每一符號代表一組在空間相互平行且方向一致的所有晶向。行且方向一致的所有晶

7、向。 晶向符號特征及規(guī)律：晶向符號特征及規(guī)律：（2 2）若晶向所指的方向相反，則晶向數(shù)字相同符號相反。）若晶向所指的方向相反，則晶向數(shù)字相同符號相反。 110110與與平行的晶向平行的晶向, ,方向相反。方向相反。 11011013（3 3）有些晶向在空間位向上不同，但晶向原子排）有些晶向在空間位向上不同，但晶向原子排列情況相同，這些晶向可歸為一個列情況相同，這些晶向可歸為一個晶向族晶向族，用表示。如用表示。如111111晶向族包括晶向族包括111111、T11T11、1T11T1、11T11T、TT1TT1、1TT1TT、T1TT1T、TTT TTT 。 同一晶向族中晶向上原子排列因對稱關同

8、一晶向族中晶向上原子排列因對稱關系而等同。系而等同。 14 晶向族：等價晶向晶向族：等價晶向 e.g., =100+010+001 +100+010+001 (立方晶體立方晶體)區(qū)別區(qū)別: :晶族晶族(crystal group)(crystal group)15=?=?=110+101+011+T10+1T0+T01+10T+0T1+01T+TT0+T0T+0TT16晶向族晶向族: :任意交換指數(shù)的位置和改變符號后的所有指數(shù)。任意交換指數(shù)的位置和改變符號后的所有指數(shù)。 =?=? =111+ 11+1 1+11 =111+ 11+1 1+11 TT1TT11TT1TTT1TT1TTTTTTT1

9、11 =?=? =?=?17二二. . 晶面指數(shù)晶面指數(shù)( (三軸，如立方三軸，如立方) )1 1、確定、確定立方晶系晶面指數(shù)立方晶系晶面指數(shù)（）的步驟如下（）的步驟如下: : 設坐標設坐標： 在點陣中設定參考坐標系，設置方法與確定晶向指數(shù)時在點陣中設定參考坐標系，設置方法與確定晶向指數(shù)時相同；相同；原點設在待求晶面以外原點設在待求晶面以外。 晶面符號中應用最廣的是晶面符號中應用最廣的是米氏符號米氏符號，由英國學者米勒爾在，由英國學者米勒爾在1839年創(chuàng)立。年創(chuàng)立。18 求截距系數(shù)求截距系數(shù)： 順序求待標晶面在三個軸上的順序求待標晶面在三個軸上的截距系數(shù)截距系數(shù)(p(p、q q、r)r)，即由

10、該晶，即由該晶面在三個晶軸上的截距用相應面在三個晶軸上的截距用相應的軸單位去度量而求得。的軸單位去度量而求得。 因為截距的具體值不便應用，因為截距的具體值不便應用，且軸單位相同用具體值也不必且軸單位相同用具體值也不必要，所以取截距系數(shù)。要，所以取截距系數(shù)。 截距系數(shù)相同的晶面，由于晶截距系數(shù)相同的晶面，由于晶系的不同，其在各晶軸上所截的真系的不同，其在各晶軸上所截的真正長短也并不一定相等。正長短也并不一定相等。19 取倒數(shù)取倒數(shù)：取各截距系數(shù)的倒數(shù)；取各截距系數(shù)的倒數(shù)； 1/x, 1/y, 1/z 化整數(shù)化整數(shù)：將三倒數(shù)化為互質的整數(shù)比將三倒數(shù)化為互質的整數(shù)比h：k：l 取倒數(shù)是為了使一些平行

11、于某晶軸的晶面能標定其取倒數(shù)是為了使一些平行于某晶軸的晶面能標定其符號，否則如符號，否則如：1等無法標定。不存在某位為零等無法標定。不存在某位為零而無法求倒問題，因為晶面符號表示一系列平行晶面，而無法求倒問題，因為晶面符號表示一系列平行晶面，如某面的截距為零，則平移即可。如某面的截距為零，則平移即可。 求比是因為對諸如截距系數(shù)為：求比是因為對諸如截距系數(shù)為：1、2、4；2、4、8等晶面，其位向實際上完全相同，性質也一樣，而這些平等晶面，其位向實際上完全相同，性質也一樣，而這些平行的晶面在晶體中近于無窮多個，用截距系數(shù)或倒數(shù)作符行的晶面在晶體中近于無窮多個，用截距系數(shù)或倒數(shù)作符號將會有無數(shù)個，不

12、現(xiàn)實也沒必要。由于其方位相同，性號將會有無數(shù)個，不現(xiàn)實也沒必要。由于其方位相同，性質相同，所以應采用同一符號，故應質相同，所以應采用同一符號，故應求比求比并且并且化簡化簡。h：k：l1/p：1/q：1/r20 加括號加括號：去掉比號，加一小括弧，去掉比號，加一小括弧，記為記為（hklhkl），），即表示該晶面的米氏符號，即表示該晶面的米氏符號，如果所求晶面在晶軸上截距如果所求晶面在晶軸上截距為負數(shù)（為負數(shù)（該晶面與該軸負方向相截該晶面與該軸負方向相截）則在指數(shù)上加一負）則在指數(shù)上加一負號。號。其中其中h h、k k、l l稱為晶面指數(shù)（米勒指數(shù)），它們是一稱為晶面指數(shù)（米勒指數(shù)），它們是一組小

13、的、互質的整數(shù)。組小的、互質的整數(shù)。21222.2.晶面指數(shù)特點與規(guī)律：晶面指數(shù)特點與規(guī)律：（1)與原點位置無關；每一晶面符號對應一組相互平行的晶面。晶面符號代表在原點同一側的一組相互平行且無限大的晶面符號代表在原點同一側的一組相互平行且無限大的晶面，晶面，而不是某一晶面而不是某一晶面。(2) (2) 若晶面指數(shù)相同，但正負符號相反，則兩晶面是以點為若晶面指數(shù)相同，但正負符號相反，則兩晶面是以點為對稱中心，且相互平行的晶面。如（對稱中心，且相互平行的晶面。如（110110）和（）和（TT0TT0）互）互相平行。相平行。 （3） 晶面指數(shù)是截距系數(shù)的倒數(shù)，因此，截距系數(shù)越大，晶面指數(shù)是截距系數(shù)的

14、倒數(shù)，因此，截距系數(shù)越大，則相應的指數(shù)越小，而當晶面平行某一晶軸時，其截距則相應的指數(shù)越小，而當晶面平行某一晶軸時，其截距系數(shù)為系數(shù)為，對應的指數(shù)為，對應的指數(shù)為1/0.（100100）與）與 平行的晶面平行的晶面, ,方向相反。方向相反。 （ 0000）123（4)立方晶系中：相同指數(shù)（指數(shù)和符號均相同）的晶向和晶面互相垂直，即同指數(shù)的晶向是晶面的法線方向。如：如：111 （111）、）、110 （110）、）、100 （100）。該）。該規(guī)律適用于三根晶軸相互垂直時，如果三軸不相互垂直，則規(guī)律適用于三根晶軸相互垂直時，如果三軸不相互垂直，則(hkl)與與hkl不垂直。不垂直。晶面晶面（hk

15、l）的法線與晶向）的法線與晶向hkl的方向平行，這就是晶面指的方向平行，這就是晶面指數(shù)的幾何意義。數(shù)的幾何意義。 （100100）與）與 100100？有何關系？有何關系？24動畫動畫-晶面指數(shù)的確定方法晶面指數(shù)的確定方法25例例: (由晶面符號畫出晶面由晶面符號畫出晶面)263 3、晶面族、晶面族 在晶體內在晶體內凡晶面間距和凡晶面間距和晶面上原子排晶面上原子排列分布情況完列分布情況完全相同，只是全相同，只是空間位向不同空間位向不同的一組晶面的的一組晶面的集合集合稱為稱為晶面晶面族族。27晶面族表示方法：晶面族表示方法：用花括號用花括號hklhkl表示表示。它代表它代表由對稱性相聯(lián)系的若干組

16、等效晶面的總和。由對稱性相聯(lián)系的若干組等效晶面的總和。 如如100包括包括(100)、(010)、(001)、(T00)、(0T0)、(00T)。 110110 ？111111？28 h k lh k l 晶面族：等價晶面晶面族：等價晶面晶面族：任意交換指數(shù)的位置和改變符號后的所有結果。晶面族：任意交換指數(shù)的位置和改變符號后的所有結果。110=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)+(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT)晶面族中等價晶面的個數(shù)用于多晶晶面族中等價晶面的個數(shù)用于多晶x x射線衍射中多重性因射線衍射中多重性因子的表示。

17、子的表示。立方立方晶系晶系晶體晶體29)121() 112()112()211()112() 121 ()211()121()211()211 ()121()112(112 111=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+(TT1)+(1TT)+(T1T)(TTT)立方晶系：立方晶系：再加上以上各指數(shù)均取相反數(shù)的符號。再加上以上各指數(shù)均取相反數(shù)的符號。立方晶系：立方晶系：30)132() 123()213()321()231()213()123()312()321() 312()132()213()123() 132()312()231()213()231 ()321()132()31

18、2() 321 ()231()123(123 再加上以上各指數(shù)均取相反數(shù)的符號。再加上以上各指數(shù)均取相反數(shù)的符號。31立方晶體中重要晶面的原子排列和面密度立方晶體中重要晶面的原子排列和面密度plane indicesBCCFCCatomic arrangementplanar densityatomic arrangementplanar density100110111221414aa224 . 121414aa2258. 023613aa2221414aa224 . 12212414aa223 . 223213613aaaaaa2a2a2a2aaaa2a2a2a232linear indi

19、cesBCCFCCatomic arrangementlinear densityatomic arrangementlinear densityaa1212aa7 . 02212aa16. 131212aa1212aa4 . 121212aa58. 03212aaa2a2a3a3立方晶體中重要晶向的原子排列和線密度立方晶體中重要晶向的原子排列和線密度33 為何用四軸坐標? 該系統(tǒng)的獨特對稱性決定的。.34)100(110100)011 (六方晶系的晶向指數(shù)和六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)同樣可以應用晶面指數(shù)同樣可以應用上述三軸方法標定，這上述三軸方法標定，這時取時取a1，a2（b），），c為為

20、晶軸，而晶軸，而a1軸與軸與a2軸的軸的夾角為夾角為120度，度，c軸與軸與a1，a2軸相垂直。軸相垂直。但這種但這種三軸方法標定的三軸方法標定的晶面指數(shù)和晶向指數(shù)，晶面指數(shù)和晶向指數(shù)，不能完全顯示六方晶系不能完全顯示六方晶系的對稱性的對稱性。用三個指數(shù)表示晶面和晶向，晶體學上等價的晶面和晶向不用三個指數(shù)表示晶面和晶向，晶體學上等價的晶面和晶向不具有類似的指數(shù)。具有類似的指數(shù)。35為了使晶體學上等價的晶面或晶向具有類似的指數(shù)，對六方為了使晶體學上等價的晶面或晶向具有類似的指數(shù)，對六方晶體來說，就得采用四指數(shù)表示。晶體來說，就得采用四指數(shù)表示。對六方晶系采用對六方晶系采用a a1 1，a a2

21、2，a a3 3及及c c四個晶軸，其中四個晶軸，其中a a1 1、a a2 2、a a3 3處于同一底面上，且處于同一底面上，且a a1 1，a a2 2，a a3 3之間的夾角均為之間的夾角均為120120，表示晶體底面的表示晶體底面的(六次六次)對稱性，對稱性，C C軸軸垂直于底面。這樣，其晶面指數(shù)就以垂直于底面。這樣，其晶面指數(shù)就以( (hkilhkil) )表示。表示。36晶面指數(shù)晶面指數(shù)(h k i l)(h k i l)四四個指數(shù)來表示。個指數(shù)來表示。 確定步驟確定步驟方法同立方晶方法同立方晶系系一樣一樣， (h k i l)(h k i l)為在四個坐為在四個坐標軸的截距系數(shù)倒

22、數(shù)的標軸的截距系數(shù)倒數(shù)的化簡?；?。底面指數(shù)為底面指數(shù)為(0001)(0001)。1 1、晶面指數(shù)、晶面指數(shù)37 可以證明: i (hk)0110()100()0011 ()011 (根據(jù)幾何學可知，三維空間獨立的坐標軸最多不超過三根據(jù)幾何學可知，三維空間獨立的坐標軸最多不超過三個。前三個指數(shù)中只有兩個是獨立的，它們之間存在以個。前三個指數(shù)中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關系：下關系：i ( h + k ) 。a3一(a1+a2)38六方晶體中常見的晶面六方晶體中常見的晶面39(1)(1)平移晶向平移晶向( (或坐標或坐標) )，讓原點為晶向上一點，讓原點為晶向上一點，取另一點的坐標取另一

23、點的坐標; ;(2)必須滿足必須滿足u+v+t0， 或或t=(u+v)。標定方法：標定方法：2 2、晶向指數(shù)、晶向指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù) uvtwuvtw 四個指數(shù)來表示。四個指數(shù)來表示。000101010111011240動畫動畫六方晶系晶向的四軸表示和三軸表示六方晶系晶向的四軸表示和三軸表示用四軸分量表示一個矢量的方法有無窮多種，用四軸分量表示一個矢量的方法有無窮多種，為使指數(shù)為使指數(shù)唯一唯一, 設一額外設一額外限制限制條件：條件：. -Let t(uv)41(3)(3)化成最小、整數(shù)化成最小、整數(shù)比比 u u：v v：t t：w w(4) 放在方括號中放在方括號中uvtwuvtw，不加逗，

24、不加逗號，負號記在上號，負號記在上方方 。00010101011101124243 指數(shù)變換指數(shù)變換 三指數(shù)三指數(shù)四指數(shù)四指數(shù). 四指數(shù)四指數(shù)三指數(shù)三指數(shù) 設一個矢量的設一個矢量的3軸下指數(shù)為軸下指數(shù)為U V W, 四軸下矢量為四軸下矢量為 u v t w.cwa tavauL321cWaVaU21)()(213vutaaa44or:cWaVaUcwaavuavau212121)(cWaVaUcwavuavu2121)2()2(wWuvVvuU22)2(31VUu)2(31UVvWw )(vut45For example: 0112:1000w31t31v32u46六方晶系的晶向族與晶面族六方

25、晶系的晶向族與晶面族 同一族的晶向或晶面具同一族的晶向或晶面具有等同的效果；有等同的效果； 三個水平方向具有等同三個水平方向具有等同的效果，指數(shù)的交換只的效果，指數(shù)的交換只能在他們之間進行，能在他們之間進行，Z Z軸只能改變符號軸只能改變符號； 改變符號時，前三項要改變符號時，前三項要滿足滿足p pq qr r0 0的相關的相關性要求。性要求。47共六個等價面；而0001只包括(0001)和(0001)兩個晶面，稱為基面。共六個等價面；1010=(1010)+(1100)+(0110)+(0110)+(1100)+(1010)1120(1120)+(1210)+(2110) (1120)+(1

26、210)+(2110)48晶帶晶帶和晶帶軸和晶帶軸平行或相交于同一直線的所有晶面構成平行或相交于同一直線的所有晶面構成一個一個晶帶晶帶，此直線稱為它們的，此直線稱為它們的晶帶軸晶帶軸。屬此晶帶的晶面稱屬此晶帶的晶面稱為為晶帶面晶帶面。晶體上彼此交棱相互平行的一組晶面的組合構晶體上彼此交棱相互平行的一組晶面的組合構成一個晶帶。成一個晶帶。001如：如：NaClNaCl的立方體晶體，的立方體晶體，（010010）、（）、（001001）、（）、（0 0 0 0）、（）、（00 00 ）組成一個晶）組成一個晶帶；（帶；（001001）、（）、（100100）、）、（00 00 ）、（）、（ 0000

27、）組成一個）組成一個晶帶；（晶帶；（100100）、（）、（010010）、）、（ 0000）、（）、（0 00 0）組成一）組成一個晶帶。個晶帶。 11111149晶帶軸晶帶軸是指用以表示晶帶方向的一根直線，它通是指用以表示晶帶方向的一根直線，它通過晶體中心，平行于該晶帶的所有晶面的交棱。過晶體中心，平行于該晶帶的所有晶面的交棱。晶帶用晶帶軸的晶向符號表示晶帶用晶帶軸的晶向符號表示。uvw必須注意，雖然晶帶符號與晶向符必須注意，雖然晶帶符號與晶向符號是同樣形式的一個符號，但作為號是同樣形式的一個符號，但作為晶向符號時，它只代表一個晶棱方晶向符號時，它只代表一個晶棱方向；而作為晶帶符號時，它代

28、表與向；而作為晶帶符號時，它代表與此晶棱方向平行的一組晶面。此晶棱方向平行的一組晶面。50通過晶帶定理可以求晶向指數(shù)或晶面指數(shù)：通過晶帶定理可以求晶向指數(shù)或晶面指數(shù)： a)a) 兩不平行的晶面（兩不平行的晶面（h h1 1k k1 1l l1 1）和（）和（h h2 2k k2 2l l2 2）的晶帶）的晶帶軸軸uvw uvw 。 b)b) 二晶向二晶向uu1 1v v1 1w w1 1 和和uu2 2v v2 2w w2 2 所決定的晶面。所決定的晶面。晶帶定律晶帶定律(zone law)：同一晶帶上晶帶軸同一晶帶上晶帶軸uvw和和該晶帶的晶帶面（該晶帶的晶帶面（hkl）之間存在以下關系：）

29、之間存在以下關系： hu+kv+lw=0 凡滿足此關系的晶面都屬于以凡滿足此關系的晶面都屬于以u v w為晶帶軸的晶為晶帶軸的晶帶，此關系式稱作帶，此關系式稱作晶帶定律晶帶定律。Wiss Law51晶帶定律的運算和應用 h h1 1u uk k1 1v vl l1 1w = 0w = 0 h h2 2u uk k2 2v vl l2 2w = 0w = 0 解出：解出： u:v:w=)( : )( : )(122112211221khkhhlhllklkwvu:由晶面（由晶面（h1 k1 l1）和晶面（）和晶面（h2 k2 l2）求晶帶軸）求晶帶軸.（h1k1l1）（h2k2l2）u v w5

30、2 如有兩個晶面（如有兩個晶面（h1k1l1）和（）和（h2k2l2）同屬于某一）同屬于某一個晶帶個晶帶uvw，則，則u、v、w值唯一，也就是說值唯一，也就是說兩個不兩個不平行的晶面不可能同屬于兩個晶帶平行的晶面不可能同屬于兩個晶帶。因為如另有一。因為如另有一個晶帶個晶帶rst包含此兩個晶面，那么由晶帶定義，包含此兩個晶面，那么由晶帶定義，(h1k1l1)與與(h2k2l2)有一交線屬于有一交線屬于uvw晶帶，另有一交晶帶，另有一交線屬于線屬于rst晶帶，即兩個晶面有兩個交線，這是不可晶帶，即兩個晶面有兩個交線，這是不可能的，所以它們只能同屬一個晶帶。反過來，同理可能的，所以它們只能同屬一個晶帶。反過來，同理可得：得：兩個晶帶不可能同時包含兩個不平行的晶面兩個晶帶不可能同時包含兩個