高中數(shù)學(xué)必修五-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【經(jīng)典】

1、必修五 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章：解三角形知識(shí)要點(diǎn)一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在中，、分別為角、的對(duì)邊，則有(為的外接圓的半徑)2、正弦定理的變形公式：，；，；3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，推論： ，推論： ，推論：二、解三角形處理三角形問題，必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度（幾何作圖，三角函數(shù)定義，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無(wú)解的三種情況，根據(jù)已知條件判斷解的情況，并能正確求解1、三角形中的邊角關(guān)系（1）三角形內(nèi)角和等于180°；（2）三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三

2、邊；（3）三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；（4）正弦定理中,a=2R·sinA, b=2R·sinB, c=2R·sinC，其中R是ABC外接圓半徑.（5）在余弦定理中:2bccosA=.（6）三角形的面積公式有:S=ah, S=absinC=bcsinA=acsinB , S=其中，h是BC邊上高，P是半周長(zhǎng).2、利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形（1）已知兩角及一邊，求其它邊角，常選用正弦定理.（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，常選用正弦定理.（3）已知三邊，求三個(gè)角，常選用余弦定理. （4）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

3、，常選用余弦定理.（5）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用正弦定理.3、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀常用方法是：化邊為角；化角為邊.4、三角形中的三角變換（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半（3）在ABC中，熟記并會(huì)證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60°；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列.三、解三角形的應(yīng)用1.坡角和坡

4、度：坡面與水平面的銳二面角叫做坡角，坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度，用表示，根據(jù)定義可知：坡度是坡角的正切，即.2.俯角和仰角：如圖所示，在同一鉛垂面內(nèi)，在目標(biāo)視線與水平線所成的夾角中，目標(biāo)視線在水平視線的上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線的下方時(shí)叫做俯角.3. 方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為.注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對(duì)于水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的。4. 方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.5.視角：由物體兩端射出的兩條光線，在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角.第二章：數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)一、數(shù)列的概念1、數(shù)列的概念

5、：一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的一般形式可以寫成，簡(jiǎn)記為數(shù)列，其中第一項(xiàng)也成為首項(xiàng)；是數(shù)列的第項(xiàng)，也叫做數(shù)列的通項(xiàng).數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列.2、數(shù)列的分類：按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為：（1） 有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)有限；（2） 無(wú)窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無(wú)限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)無(wú)限.3、通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.4、數(shù)列的函數(shù)特征：一般地，一個(gè)數(shù)列，如果

6、從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列;如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列;如果數(shù)列的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列.5、遞推公式：某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，叫做遞推公式二、等差數(shù)列1、等差數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.即（常數(shù)），這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù).2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則通項(xiàng)公式為：.3、等差中項(xiàng)：（1）若成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且

7、;（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，即是與的等差中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列.4、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列中，若則，若則；（2）若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列；（3）等差數(shù)列的公差為，則為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，為常數(shù)列.5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和=；（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：（3）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則前n項(xiàng)和6、等差數(shù)列前n和的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列中，連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列，即,仍為等差數(shù)列（即成等差數(shù)列）；（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；（3）若等差數(shù)列共有2n+1（奇數(shù)）項(xiàng)，則若等差

8、數(shù)列共有2n（偶數(shù)）項(xiàng)，則7、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則（1）（即首正遞減）時(shí)，有最大值且的最大值為所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)之和；（2）（即首負(fù)遞增）時(shí)，有最小值且的最小值為所有非正數(shù)項(xiàng)之和.三、等比數(shù)列1、等比數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示（）.即，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的依據(jù).2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：.3、等比中項(xiàng)：（1）若成等比數(shù)列，則叫做與的等比中項(xiàng)，且;（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，

9、即是與的等比中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等比數(shù)列.4、等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）等比數(shù)列中，若則，若則；（2）若數(shù)列和均為等比數(shù)列，則數(shù)列也為等比數(shù)列；（3）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，為常數(shù)列.5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和=；（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：（3）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可知，已知中任意三個(gè)，便可建立方程組求出另外兩個(gè).6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)：設(shè)等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，公比為，則（1）連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即,仍為等比數(shù)列（即成等差數(shù)列）；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則.四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)

10、1、遞推數(shù)列的概念：一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.2、兩個(gè)恒等式：對(duì)于任意的數(shù)列恒有：（1）（2）3、遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié)：類型一（公式法）：已知（即）求，用作差法：類型二（累加法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求.給遞推公式中的n依次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子：利用公式可得：類型三（累乘法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求.給遞推公式中的n一次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子：利用公式可得：類型四（構(gòu)造法）：形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比

11、為的等比數(shù)列后，再求。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。解法：該類型較要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決。類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求.設(shè)，若則，即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.若則（轉(zhuǎn)換成類型四）.五、數(shù)列常用求和方法1.公式法 直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減.3.裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互

12、抵消，于是前n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和.4.錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子的兩邊同乘以公比，得到，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出.5、常用公式：1、平方和公式：2、立方和公式：3、裂項(xiàng)公式：六、數(shù)列的應(yīng)用1、零存整取模型：銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù),即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.注：?jiǎn)卫挠?jì)算是僅在原本金上計(jì)算利息,對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息.其公式為:利息=本金×利率×存期.以符號(hào)p代表本金,n代表存期,r代表利率,s代表本

13、金和利息和(即本利和),則有s=p(1+nr).零存整取是等差數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.2、定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型：銀行有一種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存.例如,儲(chǔ)戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲(chǔ)戶不取出本利和.則銀行自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和.注：復(fù)利是把上期末的本利和作為下一期的本金,在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計(jì)算公式是:s=p(1+r)n.定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存（復(fù)利）是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.3、分期付款模型：分期付款要求每次付款金額相同外,各次付款的時(shí)間間隔也相同.分期付款總額要大于一次性付款總額,二者的差額與分多少次付款有關(guān),且付款的次數(shù)越少,差

14、額越大.分期付款是等比數(shù)列的模型.采用分期付款的方法，購(gòu)買售價(jià)為a元的商品（或貸款a元），每期付款數(shù)相同，購(gòu)買后1個(gè)月（或1年）付款一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）為b，按復(fù)利計(jì)算，那么每期付款x元滿足下列關(guān)系：設(shè)第n次還款后，本利欠款數(shù)為，則由知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.令得：，第三章：不等式知識(shí)要點(diǎn)一、不等式的解法1、不等式的同解原理：原理1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；原理2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)或同一個(gè)大于零的整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；原理3：不等式的兩邊都乘

15、以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)或同一個(gè)小于零的整式，并把不等式改變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式。2、一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)二次方程的根，是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根注意：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二 次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集。3、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通過因式分解，將它轉(zhuǎn)

16、化成一次或二次因式的乘積的形式，然后利用數(shù)軸標(biāo)根法或列表法解之。數(shù)軸標(biāo)根法原則：（1）“右、上”（2）“奇過，偶不過”4、分式不等式的解法：（1）若能判定分母（子）的符號(hào)，則可直接化為整式不等式。（2）若不能判定分母（子）的符號(hào)，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化：5、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法：（1）（2）6、含絕對(duì)值不等式的解法：對(duì)于含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式，利用絕對(duì)值的意義，脫去絕對(duì)值符號(hào)。二、基本不等式1、基本不等式： 若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù) 變形應(yīng)用：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立2、基本不等式推廣形式：如果，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立3、基本不等式的應(yīng)用：設(shè)、都為正數(shù)

17、，則有：若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值注意：在應(yīng)用的時(shí)候，必須注意“一正二定三相等”三個(gè)條件同時(shí)成立。4、常用不等式：三、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式表示平面區(qū)域: 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（x0，y0）B0時(shí)，Ax0+By0+C0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的下方對(duì)于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無(wú)論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù)當(dāng)B0時(shí)，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示

18、直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域2、線性規(guī)劃:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題3、線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案四、典型解題方法總結(jié)1、線性目標(biāo)函數(shù)問題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系式如（）時(shí)，可把目標(biāo)函數(shù)變形為，則可看作在上的截距，然后平移直線法是解決此類問題的常用方法，通過比較目標(biāo)函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來(lái)尋找最優(yōu)解，一般步驟如下：（1）做出可行域;