微分方程方法及應(yīng)用

1、微分方程方法及應(yīng)用300多年前，由牛頓和萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關(guān).這是因?yàn)槲⒎e分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺碜杂谌藗兲角笪镔|(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.一般地，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾惶赡苡^察到運(yùn)動(dòng)的全過程.然而，運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然 §1微分方程：某些物理過程的數(shù)學(xué)模型1.1 物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型

2、將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻t=0時(shí)，測(cè)量得它的溫度為，10分鐘后測(cè)量得溫度為，我們要求決定此問題和時(shí)間的關(guān)系，并計(jì)算20分鐘后物體的溫度1 / 18這里我們假定空氣的溫度保持為解：為了解決上述問題，需要了解一些熱力學(xué)的基本規(guī)律：1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；2. 在一定的溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和所在介質(zhì)溫度的差值成比例（牛頓冷卻定律）設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為，則溫度的變化速度以來表示注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的，因而，所以溫差恒正；又因物體將隨時(shí)間而逐漸冷卻，故溫度變化速度恒負(fù)因此由牛頓冷卻定律得到：這里是比例常數(shù)方程的解：將方

3、程改寫成 的形式，這樣變量和可以”分離”開來兩邊同時(shí)積分，得到：這里的是任意常數(shù)，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得到：令，得到：將時(shí)，代入可以得到：再根據(jù)條件，可以得到：所以：1.2數(shù)學(xué)擺數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為的線上而質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動(dòng)，我們要確定擺的運(yùn)動(dòng)方程：解：設(shè)取逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)方向作為計(jì)算擺與鉛垂線所成的角的正方向質(zhì)點(diǎn)沿圓周的切向速度可以表示為作用于質(zhì)點(diǎn)的重力將擺拉回到平衡位置；我們將重力可以分解為兩個(gè)分量，一個(gè)沿這線的方向，此方向的力正好和線的拉力相抵消，它不會(huì)引起質(zhì)點(diǎn)速度的改變，第二個(gè)分量沿圓周的切線方向，它引起質(zhì)點(diǎn)速度的變化擺的運(yùn)動(dòng)方程是： 即： 如果只研究

4、擺的微小振動(dòng)時(shí)，即當(dāng)比較小時(shí)的情況，此時(shí)可以得到微小振動(dòng)時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程：如果我們假設(shè)擺是在一個(gè)粘性的介質(zhì)中擺動(dòng)，那么，沿著擺的運(yùn)動(dòng)方向就會(huì)存在一個(gè)與速度成比例的阻力，如果阻力系數(shù)為，則擺的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋喝绻刂鴶[的運(yùn)動(dòng)方向恒有一個(gè)外力作用與它，這時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)稱為強(qiáng)迫微小振動(dòng)，其方程為：當(dāng)要確定擺的某一特定的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們應(yīng)該給出擺的初始狀態(tài)：當(dāng)時(shí)，這里代表擺的初始位置，代表擺的初始角速度§2微分方程的基本概念微分方程: 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程, 叫微分方程 常微分方程: 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程偏微分方程: 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程,

5、 叫偏微分方程 微分方程的階數(shù): 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階數(shù)例2.1 x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 , y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n階微分方程具有如下的形式: F(x, y, y¢, × × × , y(n) )=0（隱式方程） y(n)=f(x, y, y¢, × × × ,

6、 y(n-1) )（顯式方程）其中上式一定含有y(n)，是未知函數(shù)，是自變量微分方程的解: 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設(shè)函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 如果在區(qū)間I上, Fx, j(x), j¢(x), × × ×, j(n) (x)=0, 那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × × ×, y(n) )=0在區(qū)間I上的解通解: 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微

7、分方程的通解初始條件: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件 如 x=x0 時(shí), y=y0 , y¢= y¢0 . 一般寫成 , . 特解: 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方程y¢=f(x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為積分曲線: 微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的積分曲線 §3變量分離方程3.1.變量分離方程型如：的微分方程，稱為可分離變量方程這里分別是的已知連續(xù)函數(shù) 這類方程的特點(diǎn)是：經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，可以將兩個(gè)不同變

8、量的函數(shù)與微分分離到方程的兩邊，然后兩邊同時(shí)積分其具體解法如下： 分離變量 如果將方程整理為 的形式 （使方程各邊都只含一個(gè)變量） 兩邊積分 兩邊同時(shí)積分，得：故，方程的解為 注1：我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上 注2：如果存在，使，直接代入，可知也是上述方程的解例3.1 求方程 的通解解： 分離變量，得兩邊積分，得方程的通解例3.2 解：將方程整理得 分離變量，得： 兩邊積分，得： 化簡 ，得： 即 為所求通解將初始條件代入， 得.故所求特解為 3.2可化為變量分離方程的類型（1）形如: 的方程，稱為齊次方程，這里為的連續(xù)函數(shù)

9、 做變量變換 （1）即，于是 （2）將（1）,（2）代入齊次方程，可得 整理后得到 （這是一個(gè)變量分離方程）。（2）形如 的方程，其中為常數(shù)§4線性方程與常數(shù)變易法4.21一階線性齊次方程的解法我們來觀察，一階線性齊次方程實(shí)際上是可分離變量方程請(qǐng)按照分離變量、兩邊積分的步驟求通解，解得：通解公式以后我們遇到形如的方程都可以直接套用公式：例4.1 解：（所給方程是一階線性齊次方程，可直接套公式）由通解公式得通解：例4.2 解：（此方程不是的形式，考慮變形，）原方程可化為： （這是一個(gè)一階線性齊次方程）其中 得 故 通解為：將代入通解，得，故 所求特解為4.2一階線性非齊次方程的解法一階

10、線性非齊次方程 與其對(duì)應(yīng)的一階線性齊次方程 左邊都是相同的，而它們的差別就就在于是否恒為0.因此，我們可以設(shè)想它們的通解也會(huì)有一定的聯(lián)系.我們已經(jīng)求出 的通解為，為了方便起見，我們令，則有，當(dāng)C恒為常數(shù)時(shí)，是的解，（可知當(dāng)時(shí)，是的一個(gè)解）但一定不滿足線性非齊次方程 .那么如果我們把C看作的函數(shù)，并將代入線性非齊次方程中去，會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？我們來試算一下：設(shè)是線性非齊次方程的解，將及其導(dǎo)數(shù)代入方程 有： 因?yàn)槭菍?duì)應(yīng)的線性齊次方程的解，故（在實(shí)際操作中，總會(huì)有可以相互消除的項(xiàng)）因此有：，其中均為已知函數(shù)，所以可以通過積分求得： 將其代入中，得： （其中）經(jīng)驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程，

11、且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程的通解于是，一階線性非齊次方程的通解公式為：上述我們討論中所用的方法，是將常數(shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)，再通過確定而求得方程的解，這種方法稱為常數(shù)變易法在求一階線性非齊次方程的通解時(shí)，我們既可以用常數(shù)變易法，也可以直接套用公式下面看幾道例題：例4.3 求方程的通解解：（方法一）常數(shù)變易法原方程化為：（線性非齊次方程）求得它所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解為，設(shè)所給線性非齊次方程的解為：，將代入該方程，得：于是，有：因此，原方程的通解為.（方法二）公式法原方程化為：則 ，求得：代入通解公式，得原方程的通解為 （觀察上面兩種方法，常數(shù)變易法不用記憶公式，但步驟較繁鎖；公

12、式法步驟簡便，但需要牢記公式，各有利弊.）例4.4 求解初值問題：解：原方程可化為：請(qǐng)用常數(shù)變易法或公式法求通解（略），得：將代入，得，所以，所求的特解即初值問題的解為：例4.5 求方程的通解解：（所給方程中含有，因此，如果我們?nèi)园芽醋髯宰兞浚芽醋魑粗獢?shù)，則它不是線性方程對(duì)于這樣的一階微分方程，我們可以試著把看作自變量，把看作是的函數(shù)，然后再分析）原方程可化為： 這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次方程，其中，自由項(xiàng)=1代入通解公式，有 即所求通解為： 4.3 伯努利方程：用乘方程的兩邊，得到：引入變量變換 從而得到 則原方程可以化為：這是線性方程，可用上述方法解§5 解的存在和唯

13、一性一階微分方程 ， （1）其中是和的已知函數(shù)，為初始條件定理1（Cauchy-Peano）如果函數(shù)在上連續(xù)，則方程（1）在上有解滿足初值條件，此處，定理2 如果函數(shù)在上連續(xù)，且滿足利普希茲(Lipschitz)條件（即存在正常數(shù)使得）其中，），則方程（1）滿足初值條件的解是唯一的§6微分方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性6.1 微分方程的平衡點(diǎn) 設(shè)有微分方程 ，在某個(gè)區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且滿足解的存在唯一性條件如果存在某個(gè)常數(shù)，使得=0，則稱點(diǎn)為方程的平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），且稱為方程的平凡解（或奇解）如果對(duì)所有可能初值條件，方程的解都滿足，則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則是不穩(wěn)定的實(shí)際中，判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性有兩種方法：間接方法和直接方法間接方法：首先求出方程的解，然后利用定義來判斷直接方法：不用求方程的解