五年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)教材綜合版

1、五年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)教材（一） 1.0版主編：劉志國匯優(yōu)秀試題之精粹集思想方法之大成建創(chuàng)新能力之平臺(tái)筑方法習(xí)慣之新路版權(quán)由株洲市東方金子塔兒童潛能培訓(xùn)學(xué)校所有 任何人未經(jīng)允許不得翻印 違者必究 2012年6月編者的話隨著教育改革的不斷深入與發(fā)展，廣大學(xué)生與家長迫切需要一本能指導(dǎo)變革時(shí)期小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)的新讀本。本套教材是本人結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，及同行之間多年互相的交流和學(xué)習(xí)的成果，精心編寫而成。本教材力求以全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，為廣大教育工作者提供全面的系統(tǒng)的各類小學(xué)培優(yōu)競賽試題的分析和解答，突出素質(zhì)教育的新思維，既注重知識(shí)的系統(tǒng)性、連續(xù)性，又注重有關(guān)知識(shí)的鏈接和引申，強(qiáng)調(diào)問題背景的揭示、解

2、題思路的探求、解題方法的概括，關(guān)注問題的開放性與應(yīng)用性，在培養(yǎng)能力的同時(shí)拓展數(shù)學(xué)知識(shí)方法與思想。本書立足于嘗試數(shù)學(xué)教育教學(xué)的“新方法”，里面的每一講的前面都會(huì)對本講的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，并建設(shè)性的提出一些解決問題的方法和設(shè)想，對學(xué)生更進(jìn)一步的解決一些數(shù)學(xué)方面的困惑有一些幫助。歡迎廣大小讀者和廣大教師、家長在使用過程中把你們的批評、建議告訴我們，以便我們今后把本書修改得更精更好，更加適應(yīng)學(xué)生的需要。 編者 2012年6月數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)須知1、 為了達(dá)到更好的教學(xué)和學(xué)習(xí)效果，我校特闡述如下幾點(diǎn)教學(xué)與學(xué)習(xí)的建議，與大家分享。當(dāng)然在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中永遠(yuǎn)以實(shí)際情況為準(zhǔn)。2、 一期15次課，12次新課，第1

3、3次結(jié)合義務(wù)教育教本教材復(fù)習(xí)，第14次自主出試卷考試，內(nèi)容一個(gè)方面為教本教材，另一個(gè)方面為奧數(shù)內(nèi)容。3、 教學(xué)宗旨：讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輕松、簡單、有效、快樂。盡最大努力改正學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，最大限度提高成績。A、 培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣聽課要求：學(xué)生聽課以及跟老師一起思考和解決問題是最重要的，所以我們要求老師在講課過程中，絕對不允許學(xué)生開小差，哪怕是在做筆記也不行。做筆記要求：讓學(xué)生了解不是筆記做得越多越好，而是只要把書本上沒有的公式、定理、法則、性質(zhì)等做好筆記就行了，而且是要求做在教科書上。書寫要求：計(jì)算題，前后步驟之間邏輯關(guān)系要嚴(yán)謹(jǐn)，清晰。應(yīng)用題，盡量分步寫過程，且每個(gè)過程要寫出意義

4、；如果列方程解應(yīng)用題就一定要先寫等量關(guān)系。草稿要求：要準(zhǔn)備專門的草稿本，打草稿時(shí)要把題序號(hào)寫在前面，書寫工整，要便于自己檢查。錯(cuò)題收集：每個(gè)學(xué)生都準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，把在練習(xí)中、考試中、作業(yè)中的錯(cuò)題都抄在里面，過一個(gè)星期再來解決。B、 作業(yè)評定量化標(biāo)準(zhǔn)方式：畫五角星。如果答案正確，書寫工整，完整，調(diào)理清晰就畫7顆星；如果涂改一個(gè)地方就少畫一顆星，涂改兩個(gè)地方就少畫兩顆星，以此類推；當(dāng)然，如果是更正過的答案，就只能以5顆星為起點(diǎn)去量化了。C、綜合學(xué)生教本教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)，適當(dāng)適時(shí)來強(qiáng)化教學(xué)。我們一定要結(jié)合學(xué)生學(xué)校腳本教材來教學(xué)，特別是學(xué)生的難點(diǎn)，知識(shí)中的重點(diǎn)。D、每一講、每一章如何突破重點(diǎn)、難點(diǎn)請老

5、師們開拓創(chuàng)新、多反思、多總結(jié)。E、布置作業(yè)，題量大一點(diǎn)，一般一張A4雙面，并要求學(xué)生當(dāng)天回家就及時(shí)完成，以達(dá)到鞏固知識(shí)的最大效果。F、電話回訪，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，與家長當(dāng)面交流 第一講 速算與巧算知識(shí)要點(diǎn)：速算與巧算一直是數(shù)學(xué)競賽中的一個(gè)重要重要環(huán)節(jié)，就要注意觀察題目中數(shù)字構(gòu)成的特點(diǎn)和變化規(guī)律，善于運(yùn)用運(yùn)算定律；或者把題目中的各個(gè)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，從而運(yùn)用巧妙的方法，使復(fù)雜的計(jì)算題能很快計(jì)算出結(jié)果。1、觀察數(shù)字之間的關(guān)系：數(shù)字的和或差為整數(shù)、整十、整百數(shù)字之間的積或商為整數(shù)、整十、整百4、 特別注意數(shù)字中相等的或近似相等的，或成倍數(shù)關(guān)系的。鑒于此關(guān)系，一般我們把不相等的數(shù)字化成相等的關(guān)系。例

6、1、計(jì)算2000-1997+1994-1991+1988-1985+1982-1979+14-11+8-5+2 分析：這道題很長，數(shù)很多，但仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)從2000到2，相鄰兩個(gè)數(shù)相差3，加號(hào)和減號(hào)交替出現(xiàn)，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以運(yùn)用分組的方法，即兩個(gè)數(shù)一組（因?yàn)槊拷M數(shù)的得數(shù)都是3），從而很快計(jì)算出結(jié)果。 練習(xí)、計(jì)算1-2+3-4+5-6+-2004+2005例2、0.790.46+7.90.24+11.40.079 分析：（1）發(fā)現(xiàn)0.79、7.9、0.079三個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，我們可以根據(jù)等積變形，化為同一個(gè)數(shù)；（2）運(yùn)用乘法分配率練習(xí)、計(jì)算7.240.1+0.572.4+0.049724例

7、3、計(jì)算7.523+312.5分析：發(fā)現(xiàn)7.5與2.5成倍數(shù)關(guān)系，故我們可根據(jù)等積變形，將7.5化為2.53，然后用乘法分配率。練習(xí)、計(jì)算0.99990.7+0.11112.7例4、計(jì)算（3.60.751.2）（1.5240.18） 分析：觀察前后兩個(gè)括號(hào)數(shù)字之間的關(guān)系，去括號(hào)，交換數(shù)字位置，最后添括號(hào)，就可以解決問題。練習(xí)、計(jì)算（3.44.89.5）（1.91.72.4）例5、計(jì)算34.86.3+135.25+4730.37分析：拆分4730.37，使它與34.86.3有公因數(shù)，其后是135.25的變形，并通過觀察得到另一個(gè)公因數(shù)。練習(xí)、計(jì)算3.715+214.5例6、計(jì)算0.9+9.9+9

8、9.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9 分析：運(yùn)用湊整的方法可以使計(jì)算簡便。例7、計(jì)算（0.1+0.12+0.123+0.1234）（0.12+0.123+0.1234+0.12345）-（0.1+0.12+0.123+0.1234+0.12345）（0.12+0.123+0.1234）分析：根據(jù)四個(gè)括號(hào)內(nèi)的特點(diǎn)我們可以將它們分為兩類，第一個(gè)與最后一個(gè)為一類，第二個(gè)與第三個(gè)為另一類，且我們設(shè)第一類中的0.12+0.123+0.1234為字母a,第二類中的0.12+0.123+0.1234+0.12345為字母b,再將算式化簡，這樣就使部分抵消。練習(xí)、計(jì)算（1+0.2

9、3+0.34）（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）（0.23+0.34）作業(yè)1、 計(jì)算98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-4-3+2+1 100個(gè)1 100個(gè)2 100個(gè)32、 計(jì)算 1 1 1 2 2 2 3 3 33、 計(jì)算199819991999-1999199819984、 計(jì)算392.6192-392600.925、計(jì)算0.99990.7+0.11112.76、計(jì)算1.2567.875+1256.7875+1.2553.3757、計(jì)算3.642.30.423288、計(jì)算1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.

10、94-0.93+第二講 小數(shù)運(yùn)算技巧知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)學(xué)是把多彩的鑰匙，在小數(shù)運(yùn)算方法中，等差數(shù)列求和的巧算更是獨(dú)樹一幟。我們把按從小到大，或從大到小排列的，并且相鄰兩數(shù)的差都相等的一列數(shù)叫做等差數(shù)列，其中等差數(shù)列的第一項(xiàng)叫首相，最后一項(xiàng)叫末項(xiàng)，相鄰兩數(shù)的差叫做公差。等差數(shù)列的和（首相+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首相）公差+1第n項(xiàng)=首項(xiàng)+(n-1) 公差例1、 計(jì)算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.97+0.99分析：前面5個(gè)數(shù)的公差為0.2，后面的一串?dāng)?shù)公差為0.02，所以分為兩組，運(yùn)用求和及求項(xiàng)數(shù)公式即可求出。練習(xí)、計(jì)算：0.1+0.4+0.

11、7+0.10+0.13+0.16+0.19+1.00例2、 在124.68與924.68之間插入3個(gè)數(shù)，使這樣5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，問從小到大排列的第四個(gè)數(shù)是幾？分析：求出公差，便可求出第四個(gè)數(shù)，聯(lián)想植樹問題中“棵樹與段數(shù)” 的關(guān)系，它不正好反映了首尾兩數(shù)與公差的關(guān)系嗎？練習(xí)、計(jì)算蝸牛每小時(shí)都比前一小時(shí)多爬0.1米，第10小時(shí)蝸牛爬了1.9米，第1小時(shí)蝸牛爬了多少米？例3、 一個(gè)物體從空中落下來，經(jīng)過4秒落地，已知第一秒下落4.9米，以后每一秒下落的距離都比前一秒多9.8米，這個(gè)物體在下落前距離地面多少米？分析：每秒的路程剛好形成等差數(shù)列，首項(xiàng)為4.9米，公差為9.8米，求第4項(xiàng)。練習(xí)、一物體從空

12、中落下來，第一秒鐘下落4.9米，以后每秒多下落9.8米，經(jīng)過10秒鐘落到地面，問物體原來離地面多高？例4、 計(jì)算：20 -19+18-17+16-15+2-1分析：平方差公式a-b=(a-b)(a+b)，通過平方差公式可化簡，使之轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的等差數(shù)列。練習(xí)、計(jì)算：9.1+9.2+9.3+10.7+10.8+10.9例5、 計(jì)算：（1+1.2）+（2+1.22）+（3+1.23）+（99+1.299）+（100+1.2100）分析：分類計(jì)算。練習(xí)、計(jì)算：（1.0-0.1）+（2.0-0.2）+（3.0-0.3）+（9.0-0.9）+（10.0-1.0）作業(yè)1、 計(jì)算：12.34+23.45+

13、34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.232、 小王和小胡兩人比賽賽跑，限定時(shí)間為10秒，誰跑的距離長誰就獲勝，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始自終每秒跑1.5米，誰能取勝？3、 蝸牛每小時(shí)都比前一小時(shí)多跑0.1米，第10小時(shí)蝸牛跑了1.9米，第1小時(shí)蝸牛跑了多少米？4、 梯子最高的一級(jí)寬3.2分米，最低一級(jí)寬11分米，中間還有9級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，中間一級(jí)寬多少分米？5、 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和是2.1，其積是0.091，求這三個(gè)數(shù)。6、 已知等差數(shù)列第一項(xiàng)是1.5，第6項(xiàng)是3.5，求公差。7、 有12個(gè)數(shù)組成等差數(shù)

14、列，第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的和是1.2，求這12個(gè)數(shù)的和。第三講 歸一與歸總知識(shí)要點(diǎn)：很多數(shù)學(xué)問題，常常要根據(jù)已知條件先求一個(gè)單位的數(shù)值，然后再求其它的數(shù)值，這種解題方法叫做歸一法。有些數(shù)學(xué)題，又要根據(jù)已知條件先求出總量，再求其它的數(shù)量，這種解題方法叫做歸總法。歸一與歸總是兩個(gè)相反的過程，有密切的關(guān)系，解題時(shí)要做出判斷，先歸一還是先歸總。例1、 一個(gè)養(yǎng)豬場有豬180頭，每20頭豬5天要喂精飼料25千克?，F(xiàn)庫存2700千克飼料，這些飼料可以喂多少天？ 分析：現(xiàn)庫存2700千克精飼料，有豬180頭，要求出可以喂多少天，關(guān)鍵要先求出一頭豬一天吃多少精飼料：180頭豬1天吃多少精飼料：2700千克精飼料可以喂

15、的天數(shù)：練習(xí)：4臺(tái)吊車7小時(shí)缷煤1414噸，如果增加同樣的5臺(tái)吊車，8小時(shí)共可缷煤多少噸？例2、 平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5小時(shí)，6天可以完成。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人，每天要工作幾小時(shí)？ 分析：現(xiàn)在要求5天完成，并且增加1人，求每天要工作幾小時(shí)，關(guān)鍵需要先求出平整的土地的總量是多少，以每人每天平整量為“1”，根據(jù)“原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5小時(shí)，6天可以完成”可以求出這塊土地的總量：增加1人后每天工作1小時(shí)，5天的平整總量：每天工作的小時(shí)數(shù)：練習(xí)、修一條公路，原計(jì)劃60名工人用80天完成，現(xiàn)在這批工人工作20天后又增加了30人，剩下的部分再做多少天可以完

16、成？作業(yè)1、 一段水渠預(yù)計(jì)由40名民工用14天挖完，挖了2天后又增加了10名民工，每個(gè)民工的工作效率相同，問可以提前幾天完工？2、 原來3臺(tái)攪拌機(jī)8小時(shí)可以攪拌混泥土24噸?，F(xiàn)因工期緊，又增加了兩臺(tái)同類型的攪拌機(jī)，24小時(shí)可以比原來多攪拌出多少噸混泥土？3、5輛大卡車7次運(yùn)煤140噸，4兩小卡車8次運(yùn)煤48噸，現(xiàn)有煤77噸，用一輛大卡車和2兩小卡車同時(shí)運(yùn)，幾次可以運(yùn)完？4、“神六”載人航天飛船進(jìn)入軌道后，以每秒7.8千米的速度飛行，航天員費(fèi)俊龍?jiān)诜祷嘏?分鐘翻了4個(gè)筋斗，費(fèi)俊龍一個(gè)筋斗行了多少米？5、4輛大卡車運(yùn)沙土，7趟共運(yùn)走沙土336噸，現(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運(yùn)完。問：需要增加同樣的

17、卡車多少輛？6、食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原計(jì)劃每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？8、 鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲(chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進(jìn)行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？第四講 行程問題（一）知識(shí)要點(diǎn)：一個(gè)物體的移動(dòng)離不開速度、時(shí)間、路程這三個(gè)數(shù)量。行程問題在我們的教科書中占有一定的比重，它有各種各樣的類型。主要有相遇問題，相遇問題的基本數(shù)量關(guān)系式是：路程速度和=相遇時(shí)間。解決相遇問題，一定要學(xué)會(huì)畫線段圖，這是分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。例1、 張華和李強(qiáng)同時(shí)從兩地相

18、對出發(fā)，張華步行每分鐘走80米，李強(qiáng)騎自行車的速度是張華步行的3倍，經(jīng)過5分鐘后兩人相遇。問這兩地相距多少米？ 分析：先畫圖理解距離和路程的意義。已知相遇時(shí)間是5分鐘，若能求出兩人的速度和，即可解決問題。練習(xí)、甲、乙兩人同時(shí)從相距5千米的兩地背向而行，甲每小時(shí)行5.5千米，乙每小時(shí)行70千米，求乙車每小時(shí)行多少千米？例2、甲、乙兩地相距15千米，小聰和小明分別從甲、乙兩地同時(shí)相向而行，2小時(shí)后在距中點(diǎn)0.5千米處相遇，求小聰和小明的速度。分析：畫圖：方法一：按題意，先分別求出兩人的速度和與速度差，而后由和差問題的計(jì)算公式求出他們的速度。方法二：根據(jù)圖示，先求出甲、乙各自的路程，然后根據(jù)求速度公

19、式就輕松求出他們的速度。練習(xí)、甲、乙兩人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行18千米，兩人相遇處距中點(diǎn)3千米，問兩地相距多少千米？例3、兩列對開的火車途中相遇，甲車上的乘客從看到乙車到乙車從旁邊開過去，共用6秒鐘。已知甲車每小時(shí)行54千米，乙車每小時(shí)行36千米，求乙車多少米？分析：根據(jù)題意畫線段圖。求乙車車長有多少米，其實(shí)這個(gè)6秒鐘的過程就是乘客與乙車車尾相遇的過程，他們同時(shí)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，則相遇路程就是乙車的長度。例4、甲、乙兩人同時(shí)從相距50千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。甲每小時(shí)行3千米，乙每小時(shí)行2千米，與甲同時(shí)同向而行的一條小狗，每小時(shí)行5千米，小狗在甲、乙之間不停地

20、往返，直到兩人相遇為止。問：小狗跑了多少米？分析：此題的關(guān)鍵是要求出小狗的奔跑時(shí)間，而甲、乙兩人相遇時(shí)間與小狗奔跑時(shí)間相同。所有問題就很簡單了。練習(xí)、兩個(gè)游泳隊(duì)同時(shí)從相距2040米的A、B兩地相向出發(fā)，甲隊(duì)從A地下水，每分鐘游40米，乙隊(duì)從B地下水，每分鐘游45米，一只汽艇負(fù)責(zé)兩隊(duì)安全，同時(shí)從B地出發(fā)，每分鐘行駛1200米，遇到甲隊(duì)就立即返回，返回時(shí)遇到乙隊(duì)又向甲隊(duì)開去，這樣不斷地往返下去。問汽艇行了多少千米兩隊(duì)才能相遇？作業(yè)1、甲、乙兩輛汽車同時(shí)從相距675千米的兩地相對開出，5小時(shí)后相遇，甲車每小時(shí)行70千米，求乙車的速度。2、甲、乙兩車從相距360千米的兩地同時(shí)相向而行，甲車時(shí)速70千米

21、，乙車時(shí)速50千米，幾小時(shí)后兩車相距120千米？3、小剛和小強(qiáng)同時(shí)從兩地相對出發(fā)，經(jīng)過30分鐘相遇。小剛騎摩托車每小時(shí)行36千米，小剛騎摩托車的速度是小強(qiáng)步行速度的8倍，求兩地的距離。4、兩城相隔477千米，甲車以每小時(shí)46千米，乙車以每小時(shí)38千米的速度先后從兩城出發(fā)，相向而行，相遇時(shí)甲車行駛了230千米，問乙車比甲車早出發(fā)幾小時(shí)？5、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，4小時(shí)相遇，相遇后甲車?yán)^續(xù)行駛3小時(shí)到達(dá)B地，乙車每小時(shí)行54千米。問A、B兩地相距多少千米？6、甲、乙兩輛汽車早上8時(shí)分別從A、B兩城同時(shí)相向出發(fā)，到10時(shí)兩車相距112.5千米；繼續(xù)行駛到下午1時(shí)，兩車相距還是11

22、2.5千米。問A、B兩地距離是多少千米？第五講 行程問題（二）例1、A、B兩地相距1200米，甲從A地，乙從B地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲每分鐘行50米，乙每分鐘行70米，第一次在C出相遇，AC之間距離是多少米？相遇后繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)A、B兩地后立即返回，第二次相遇于D處，CD之間的距離是多少米？分析：先畫圖。算出每次相遇時(shí)他們兩人共走的路程是解決本題的關(guān)鍵。例2、甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地相向而行，第一次相遇在離A地40千米的地方，兩人仍以原速度前進(jìn)，各自到達(dá)終點(diǎn)后立即返回，又在離B地20千米處相遇，問A、B兩地距離是多少千米？分析：我們先畫示意圖：從圖上可以看出，甲、乙第一次相遇，共走了 個(gè)

23、全程，其中甲走了 千米；甲、乙第二次相遇，共走了 個(gè)全程，則甲走了 千米；從圖上知：甲比全程多走20千米，就可以求出A、B兩地距離了。練習(xí)：甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度同時(shí)從A、B兩地相向而行，途中相遇，相遇點(diǎn)距A地60千米。相遇后兩車以原速度前進(jìn)，到達(dá)目的地后，兩車立即返回，在途中又第二次相遇，這時(shí)距A地40千米，問第一次相遇點(diǎn)距B地多少千米？例3、客、貨兩車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，客車每小時(shí)行44千米，貨車每小時(shí)行52千米，兩車相遇后繼續(xù)以原速度前進(jìn)，到達(dá)乙、甲兩地后立即返回，第二次相遇時(shí)，貨車比客車多行60千米。問甲、乙兩地之間的距離多少千米？分析：先畫線段圖：兩車同時(shí)出發(fā)后，貨車比

24、客車多行60千米的時(shí)間，就是第二次相遇時(shí)的時(shí)間。DABC甲乙30例4、已知等邊三角形ABC的周長為360米，甲從A點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針方向前進(jìn)，每分鐘走55米，乙從BC邊上D點(diǎn)（距C點(diǎn)30千米）出發(fā)，按順時(shí)針方向前進(jìn)，每分鐘走50米，兩人同時(shí)出發(fā)，幾分鐘相遇？當(dāng)乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，甲在哪條邊上，離C地多遠(yuǎn)？分析：畫出示意圖：要求甲、乙兩人幾分鐘相遇，就要用A、D之間的距離除以它們的速度和。要求乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí)甲在哪條邊上，距C地多遠(yuǎn)，就要先求出乙到達(dá)A點(diǎn)用的時(shí)間，再求甲走的路程。練習(xí)：甲、乙兩人分別從兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，8小時(shí)可以相遇。如果每小時(shí)都少行1.5千米，那么10小時(shí)候相遇，問兩地相距多少千米？

25、作業(yè)1、甲、乙兩地相距260千米，客車和貨車分別從甲、乙兩地同時(shí)相向而行，在距乙地95千米處相遇，相遇后兩車又繼續(xù)前進(jìn)，客車到乙地，貨車到甲地后，都立即返回，兩車又在距甲地多少千米處相遇？2、在一環(huán)形跑道上，甲從A點(diǎn)，乙從B點(diǎn)同時(shí)反向而行，6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達(dá)B地，又過了8分鐘兩人再次相遇，甲、乙各行一周需多少分鐘？3、甲、乙兩地相距45千米，張、王二人同時(shí)從甲地出發(fā)去乙地。張騎自行車每小時(shí)行15千米，王每小時(shí)行6千米，張到達(dá)乙地后停留1小時(shí)，返回甲地途中與王相遇。相遇時(shí)他們距乙地多少千米?分析：雖然相遇時(shí)他們共走了全程的2倍，但是452并不是他們的相遇路程，同時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離才是他

26、們的相遇路程。4、甲、乙兩地相距119千米，今有兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地。從甲地開出的汽車每小時(shí)行駛42千米，從乙地開出的汽車每小時(shí)行28千米，從出發(fā)到第三次相遇各行多少千米？5、甲、乙兩站相距360千米，客車和貨車同時(shí)從甲站出發(fā)駛向乙站，客車每小時(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行40千米，客車到達(dá)乙站后停留0.5小時(shí)，又以原速度返回甲站，兩車相遇的地點(diǎn)離乙站多少千米？6、兩輛汽車同時(shí)從A、B兩城相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對方城市后立即以原速度沿原路返回，又在離A城44千米處相遇。求兩城相距多少千米？7、一輛卡車和一輛摩托車同時(shí)從A、B兩地相對開出，兩車在途

27、中距A地60千米第一次相遇。然后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，卡車到達(dá)B地、摩托車到達(dá)A地后都立即返回，兩車又在途中距B地30千米處第二次相遇。求A、B兩地之間的路程是多少千米？第六講 行程問題（三）知識(shí)要點(diǎn)：有兩個(gè)同向運(yùn)動(dòng)的物體，一個(gè)速度快，一個(gè)速度慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的在后，過了一段時(shí)間快的就會(huì)追上慢的。這就產(chǎn)生了“追及問題”。如果設(shè)甲的速度快，乙的速度慢，在相同時(shí)間內(nèi)：甲走的路程乙走的路程=甲的速度時(shí)間乙的速度時(shí)間=（甲的速度乙的速度）時(shí)間即：路程差=速度差時(shí)間，并由此可推導(dǎo)出另外兩個(gè)公式。例1、甲、乙兩人分別從相距18千米的西村和東村同時(shí)向東而行，甲騎自行車每小時(shí)行14千米，乙步行每小時(shí)行5千米

28、。幾小時(shí)后甲可追上乙？分析：先畫線段圖，理解路程差的意義。這是一道簡單的追及問題，路程差已知，速度差易求，可根據(jù)追及問題中的求時(shí)間公式解決問題。練習(xí)、甲、乙兩人同時(shí)從相距45千米的A、B兩城同向出發(fā)，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行6千米。問幾小時(shí)后甲追上乙？例2、軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追“敵”軍艦，追到A島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？分析：要求追及時(shí)間，根據(jù)公式，必須先要知道路程差和速度差，速度差易求，所以求出路程差是解決此題的突破

29、口。練習(xí)、我騎兵以每小時(shí)24千米的速度追及敵人，當(dāng)?shù)侥痴緯r(shí)，得知敵人已于2小時(shí)前逃跑，已知我騎兵的速度是敵人逃跑速度的2倍，問我騎兵幾小時(shí)可追上敵人？例3、甲、乙兩地相距40千米，平平和兵兵由甲地騎車去去乙地，平平每小時(shí)行14千米，兵兵每小時(shí)行17千米，當(dāng)平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有多少千米？分析：要求兵兵追上平平時(shí)距乙地的距離，必須先算出他們已經(jīng)行走過的路程，而兵兵的速度已知，要能知道兵兵行走的時(shí)間就容易了。其實(shí)兵兵行走的時(shí)間就是兵兵出發(fā)后追上平平的時(shí)間。練習(xí)、學(xué)校和部隊(duì)駐地相距16千米。小紅和小宇由學(xué)校騎車去部隊(duì)駐地，小紅每小時(shí)行12千米，小宇每小時(shí)行15千米

30、。當(dāng)小紅走了3千米后，小宇才出發(fā)。當(dāng)小宇追上小紅時(shí)，距部隊(duì)駐地還有多少千米？例4、甲、乙騎車同時(shí)從A地往B地。甲每小時(shí)走12千米，乙每小時(shí)走8千米，甲走了25分鐘后返回A地取東西并停留了10分鐘，后來按原來的速度往B地。求甲追到乙時(shí)離A地多少千米？分析：本題與例3類似，但本題沒有把路程差告訴我們，正確求出甲再次從A地出發(fā)時(shí)，兩人之間的距離即路程差是本題的關(guān)鍵。練習(xí)、兄妹兩人同時(shí)從家出發(fā)去1080米遠(yuǎn)的學(xué)校上學(xué)，哥哥騎車每分鐘走360米，妹妹步行每分鐘走60米，哥哥到校門口時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問哥哥再次由家出發(fā)在離學(xué)校多遠(yuǎn)的地方追上妹妹？作業(yè)1、 姐姐步行的速度是每分鐘75米，妹妹步

31、行的速度是每分鐘65米，在妹妹先出發(fā)20分鐘后姐姐去追趕妹妹？問姐姐多少分鐘后追上妹妹？這時(shí)離出發(fā)地多少米？2、 家離圖書館4.8千米，弟弟從家出發(fā)以每分鐘60米的速度步行去圖書館，哥哥在15分鐘后騎自行車從家出發(fā)去追趕弟弟，自行車的速度是每分鐘240米，問：（1） 哥哥在離家多遠(yuǎn)的地方追上弟弟？（2） 哥哥與弟弟相遇時(shí)離圖書館多遠(yuǎn)？3、 一輛面包車的速度是每小時(shí)60千米，在面包車開出30分鐘后，一輛小轎車以每小時(shí)84千米的速度從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著同一行駛路線去追趕面包車，多少小時(shí)后追上？4、 一輛汽車從甲地開出，以每小時(shí)60千米的速度行了120千米后，一輛摩托車也從甲地開出緊緊追趕，速度為每小

32、時(shí)80千米。問幾小時(shí)后可追上汽車？5、 學(xué)生以每小時(shí)5千米的速度進(jìn)行外出軍訓(xùn)活動(dòng)，他們從A地出發(fā)10小時(shí)后，通訊員從A地騎自行車以每小時(shí)15千米的速度追趕學(xué)生隊(duì)伍。問幾小時(shí)后通訊員可追上學(xué)生隊(duì)伍?6、甲、乙兩人分別從相距18千米的西村和東村同時(shí)向東而行，甲騎自行車，乙步行，2小時(shí)后甲追上了乙。已知甲每小時(shí)行14千米，求乙每小時(shí)行多少千米？第七講 容斥原理（一）知識(shí)要點(diǎn)：容斥原理，也稱重疊原理或排斥于包含原理。它實(shí)際上是一種集合方面的問題。如果用圖形來表達(dá)，則會(huì)更直觀些。原理一 如果兩個(gè)集合A和B，相交組成一個(gè)集合C，那么C的元素個(gè)數(shù)等于和的元素個(gè)數(shù)的和再減去和的公共部分元素的個(gè)數(shù)。如下圖：即：

33、C=A+B-AB或AB=A+B-C例1、 五丙班有48名學(xué)生參加晨練，其中有30人跑步，25人跳繩，問兩項(xiàng)都參加了的有多少名學(xué)生？分析：由于30+2548，所以有人兩項(xiàng)活動(dòng)都參加了。根據(jù)容斥原理一，跑步的相當(dāng)于集合A，跳繩的相當(dāng)于集合B，兩項(xiàng)都參加了的相當(dāng)于集合，而全班人數(shù)相當(dāng)于集合?，F(xiàn)在是已知、中元素的個(gè)數(shù)，要求AB中元素的個(gè)數(shù)。練習(xí)、五甲班50名學(xué)生中，有28人參加了作文興趣小組，有37人參加了數(shù)學(xué)興趣小組，每人至少參加了一項(xiàng)。問兩項(xiàng)都參加了的有多少人？例2、 五乙班在某次晨練中，有33人跑步，24人跳繩，8人兩個(gè)活動(dòng)都參加了，有3人因感冒請假未參加晨練，問該班有多少名學(xué)生？分析：根據(jù)容斥

34、原理一，跑步的相當(dāng)于集合，跳繩的相當(dāng)于集合，兩項(xiàng)都參加了的相當(dāng)于集合AB，而參加了晨練的相當(dāng)于集合C，現(xiàn)在是已知A、B、AB中元素的個(gè)數(shù)，求C中的元素個(gè)數(shù)。練習(xí)、五丁班參加了幫助一、二年級(jí)同學(xué)搞大掃除的活動(dòng)。已知有32人幫助了一年級(jí)同學(xué)，有25人幫助了二年級(jí)同學(xué)，有13人既幫助了一年級(jí)又幫助了二年級(jí)同學(xué)，還有10人留在自己的教室里大掃除。問五丁班共有多少人？例3、1至60的自然數(shù)中，2的倍數(shù)的數(shù)和3的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個(gè)？分析：由于每2個(gè)連續(xù)自然數(shù)中有一個(gè)是2的倍數(shù)，所以2的倍數(shù)一共有： 由于每3個(gè)連續(xù)自然數(shù)中有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以3的倍數(shù)一共有： 但是，2的倍數(shù)的數(shù)和3的倍數(shù)的數(shù)合起來不是2

35、0+30=50個(gè)，因?yàn)?，諸如6,12,1860這10個(gè)數(shù)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，故這10個(gè)數(shù)被重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)減去一次。練習(xí)、在1至300的自然數(shù)中，2的倍數(shù)的數(shù)和5的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個(gè)？例4、30名運(yùn)動(dòng)員中，有25人會(huì)打籃球，有20人會(huì)打排球，有4人籃球、排球都不會(huì)打。問:(1) 籃球、排球都會(huì)打的運(yùn)動(dòng)員有多少人？(2) 只會(huì)打籃球的運(yùn)動(dòng)員有多少人？(3) 只會(huì)打排球的運(yùn)動(dòng)員有多少人？分析：畫集合圖很容易理解并解決問題。練習(xí)、五年級(jí)有藝術(shù)特長生共47人，其中有31人會(huì)唱歌，有25人會(huì)跳舞，有7人既不會(huì)唱歌也不會(huì)跳舞。問：（1） 唱歌、跳舞都會(huì)的有多少人？（2） 只會(huì)唱歌的有多少人？（3） 只

36、會(huì)跳舞的有多少人？ 作業(yè)1、 在對100個(gè)家庭所做的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，有18個(gè)家庭有汽車，有65個(gè)家庭有自行車，有33個(gè)家庭兩樣都沒有。問既有汽車又有自行車的家庭有多少個(gè)？2、 甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，問甲班和丁班共有多少人？3、 在參加數(shù)學(xué)競賽的46人中，做對第二題的有32人，做對第四題的有24人，兩道題都做對的有20人，兩道題都沒有做對的有幾人？4、 某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，第一次考試中有26人及格，第二次考試中有24人及格，兩次考試都沒及格的有4人。問兩次考試都及格了的有多少人？5、 某單位有青年員工85人，其中68人會(huì)騎自行車，62人會(huì)游泳，既不會(huì)騎自

37、行車又不會(huì)游泳的有12人。問既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的有幾人？6、 電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視節(jié)目的情況，有62人看過第二頻道，有34人看過第八頻道，有11人兩個(gè)頻道都看過。問兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？第八講 容斥原理（二）原理二 如果三個(gè)集合A、B和C，兩兩相交組成一個(gè)集合D，那么D的元素個(gè)數(shù)等于A、B和C的元素個(gè)數(shù)的和減去A、B和C兩兩公共 部分的元素個(gè)數(shù)再加上A、B和C公共部分元素個(gè)數(shù)。如下圖： AABABCACCAAAABCB+即：D=A+B+CABBCAC+ABC或者：ABC=DABC+AB+BC+AC例1、某研究所的研究人員在英語、俄語和日語中都至少會(huì)一門。其中會(huì)英語的有80

38、人，會(huì)俄語的有40人，會(huì)日語的有50人，既會(huì)英語又會(huì)俄語的有30人，既會(huì)俄語又會(huì)日語的有16人，既會(huì)日語又會(huì)英語的有35人，英語、俄語、日語都會(huì)的有10人。問這個(gè)研究所有多少名研究人員？分析：根據(jù)容斥原理二，很容易找到各項(xiàng)與原理二中A、B、C之間的對應(yīng)關(guān)系，求D，直接套用公式即可。練習(xí)、五年級(jí)有56人報(bào)名參加詩歌、攝影和繪畫比賽，每人至少參加了一項(xiàng)。已知有32人參加了詩歌比賽，有24人參加了攝影比賽，有27人參加了繪畫比賽，有10人既參加了詩歌比賽又參加了攝影比賽，有9人及參加了攝影比賽又參加了繪畫比賽，有14人既參加了繪畫比賽又參加了詩歌比賽。問有多少人三項(xiàng)比賽都參加了？例2、在1至300這

39、300個(gè)自然數(shù)中，不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析：在所給的300個(gè)數(shù)中，我們只要剔除掉2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)的數(shù)，剩下的數(shù)既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)。解：2的倍數(shù)有：3的倍數(shù)有：5的倍數(shù)有：既是2又是3的倍數(shù)有：既是2又是5的倍數(shù)有：既是3又是5的倍數(shù)有：同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)有：2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)共有：既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)有：練習(xí)、在1至120這120個(gè)自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)，還不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？例3、某班有52人，其中會(huì)下棋的有48人，會(huì)畫畫的有37人，會(huì)跳舞的有39人。

40、這個(gè)班三項(xiàng)都會(huì)的至少有多少人？分析：會(huì)下棋的有48人，則不會(huì)下棋的有52-48=4人，同理，不會(huì)畫畫的人有52-37=15人，不會(huì)跳舞的人有52-39=13人，三項(xiàng)中至少有一項(xiàng)不會(huì)的最多有4+15+13=32人。解：三項(xiàng)中至少有一項(xiàng)不會(huì)的最多有：（52-48）+（52-37）+（52-39）=32（人）三項(xiàng)都會(huì)的至少有：練習(xí)、某班有54人參加了讀書活動(dòng)。其中35人看了童話，45人看了科普讀物，40人看了西游記，50人看了漫畫讀物。問四類圖書都看了的至少有多少人？作業(yè)1、 某校參加數(shù)學(xué)競賽的有120名男生、80名女生，參加語文競賽的有120名女生、80男生，該校總共有260名學(xué)生參加競賽，其中7

41、5名男生兩科都參加了，那么只參加數(shù)學(xué)競賽而沒有參加語文競賽的女生有多少人？2、如圖，小飛騎自行車去游玩，A，B，C三個(gè)景點(diǎn)，他如果從A地出發(fā)，經(jīng)過B地到C地，共行10千米；如果從B地出發(fā)，經(jīng)C地到達(dá)A地，共行13千米；如果從C地出發(fā)，經(jīng)A地到達(dá)B地，共行11千米。問哪兩個(gè)景點(diǎn)之間的距離最短？最短距離是多少千米？3、 某單位有64人訂A、B、C三種雜志，訂A種雜志的有28人，訂B種雜志的有41人，訂C種雜志的有20人，訂A、B兩種雜志的有10人，訂B、C兩種雜志的有12人，訂、兩種雜志的有12人，問三種雜志都訂的有多少人？4、 體育課上，50名學(xué)生面向老師站成一行，按老師口令從左向右報(bào)數(shù)1,2,

42、3，50。報(bào)完后老師讓所有報(bào)4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，問現(xiàn)在仍然面向老師的有多少名同學(xué)？5、 對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，他們喜歡看球賽、電影和戲曲。其中，58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲曲，52人喜歡看電影，18人既喜歡看球賽又喜歡看戲曲，16人既喜歡看戲曲又喜歡看電影，12人三種都喜歡看。問只喜歡看電影的有多少人？第九講 牛吃草問題知識(shí)要點(diǎn)：世界著名大科學(xué)家牛頓在普通算術(shù)一書中，熱情推薦了一道關(guān)于草不斷生長方面的題目，這個(gè)充滿辯證法飛數(shù)學(xué)題，被人們稱為“牛吃草”問題。這類問題涉及三個(gè)量：牛的頭數(shù)、牧場面積、時(shí)間。一般而言，通常是用比較法先求出“

43、牧場原有草量”及“每天新生長的草量”，然后再解決問題。尤其要注意：此類問題往往設(shè)每頭牛每單位時(shí)間吃草量為單位1例1、 一片牧場，牧場勻速生長。已知這片牧場的草可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天。那么這片牧場每天新長的草夠2只羊吃多少天？ 分析：10只羊20天吃的草量是多少？1020=200， 14只羊12天吃的草量是多少？1412=168， 為什么吃同一個(gè)牧場的草，后面條件里吃出的草為什么多些？ 發(fā)現(xiàn)是因?yàn)?00里面包含了原有草和20天內(nèi)新長的草，168里面包含了原有草和12天內(nèi)新長的草，也就是20-12=8天里面新長了200-168=32的草。故可以求出每天新生草，即328=4，說

44、明每天新生的草夠4頭牛吃，或者說，如果牧場上有4頭或4頭以內(nèi)的牛，草永遠(yuǎn)也吃不完；但如果多于4頭牛，最終草會(huì)被吃完。然后也可以求出原有草了。最好解決問題。 解：每天新生草：（1020-1412）（20-12）=4 原有草：1020-420=120（或1412-412=120） 解決問題：42，則草永遠(yuǎn)也吃不完。練習(xí)、假設(shè)地球上每年新生成的資源的量是一定的，據(jù)測算地球上的全部資源可供110億人生活90年而耗盡，或者可供90億人生活210年而耗盡。世界總?cè)丝诒仨毧刂圃诙嗌僖詢?nèi)，才能保證地球上的資源足以使人類不斷繁衍下去？例2、 牧場上長滿了牧草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20

45、天或可供15頭年吃10天，如果要供18頭牛吃，可以吃多少天？ 分析：9頭年20天吃的總草量： 15頭牛10吃的總草量： 比較，得出吃20天比吃10天多吃的草： 每天新長的草： 原有草：解：（列綜合算式） 每天新長的草： 原有草： 解決問題：練習(xí)、一片牧場長滿牧草，每天草都在勻速生長，這塊牧場上的草可供27頭牛吃6天，也可供23頭牛吃9天，那么這塊牧場可供21頭牛吃多少天？例3、 一塊草地長滿了草，草每天勻速生長。已知3頭牛36天可把草吃光；5頭牛20天可把草吃光?，F(xiàn)在要求12天把草吃光，需要幾頭牛去吃？分析：先求出原有草和新生草，然后把12天內(nèi)長的草算出來，再加上原有草，這就是12天內(nèi)可供牛吃

46、的所以草了，最后去除以天數(shù)就能求出牛的頭數(shù)了。練習(xí)、一塊草地，草每天勻速生長。10頭牛3天可吃光；5頭牛8天可吃光。如果2天要吃光，需要多少頭牛來吃？例4、 有一口水井，持續(xù)不斷地涌出泉水，每分鐘涌出的水量都相等，如果用8架抽水機(jī)，30分鐘可抽完；如果使用5架抽水機(jī)，60分鐘可抽完，現(xiàn)在要在18分鐘內(nèi)抽完水，需要多少架抽水機(jī)？分析：這里的不斷涌出的水相當(dāng)于不斷生長的草，抽水機(jī)相當(dāng)于牛。所以這題實(shí)際上還是牛吃草問題。練習(xí)、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速地進(jìn)入船內(nèi)。如果10人舀水，3小時(shí)舀完；如果5人舀水，8小時(shí)舀完，現(xiàn)要求2小時(shí)舀完，要安排幾個(gè)人？作業(yè)1、 牧場上長滿牧草，草每天勻

47、速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃幾天？2、一塊草地，草每天勻速生長。這塊草地的草可供24頭牛吃6天，或可供20頭牛吃10天。問可供19頭牛吃幾天？2、 牧場上的青草每天都在勻速生長。這片牧草可供27頭牛吃6周，或者可供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃幾周？3、 一湖存有一定量的水，流水均勻入湖。5臺(tái)抽水機(jī)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)15天可抽干。若要求6天抽干，需幾臺(tái)這樣的抽水機(jī)？4、 有一水池，池底不斷有泉水勻速涌出。用10臺(tái)抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽干；用15臺(tái)相同的抽水機(jī)10小時(shí)可將水抽干。問用25臺(tái)抽水機(jī)多少小時(shí)可將水抽干？第十講 牛吃草問題

48、（二）知識(shí)要點(diǎn)：有的時(shí)候牛吃草問題得到了延伸，比如抽水機(jī)抽池塘的水，水管排水池的水，牛在吃草過程中減少或增加了，再比如既有牛又有羊在吃草等等。但不管怎么變，我們只要將它們與牛吃草的問題進(jìn)行比較，然后轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的牛吃草問題，這樣就不難了。例1、 一個(gè)水池裝有1根進(jìn)水管和8根相同的排水管。先打開進(jìn)水管給水池注入一定量的水，然后同時(shí)打開排水管排水，當(dāng)然進(jìn)水管還在繼續(xù)進(jìn)水。如果打開全部排水管，則3個(gè)小時(shí)可將水池中的水排光；如果只打開3根排水管，則要18個(gè)小時(shí)才能將水池中的水排光。問：想要8個(gè)小時(shí)排光池中的水，至少需打開幾根排水管？分析：這個(gè)問題的本質(zhì)也屬于牛吃草問題。水池看成草地，原來注入一定量的

49、水看成原有草，排水管的根數(shù)看成牛的頭數(shù)，進(jìn)水管的不斷進(jìn)水看成不斷生長的草。練習(xí)、一個(gè)水池有10根進(jìn)水管和10根相同的排水管。先打開進(jìn)水管給水池注入一定量的水，然后同時(shí)打開排水管（進(jìn)水管不關(guān)閉）。如果打開10根排水管，則3個(gè)小時(shí)可將水池里的水排光；如果打開6根排水管，則6個(gè)小時(shí)可將水池里的水排光。問想要10個(gè)小時(shí)排空水池，則至少要開幾根排水管？例2、 一塊草地長滿了草，草每天勻速生長。如果17頭牛去吃，30天可把草地吃光；如果19頭牛去吃，24天可把草地吃光?，F(xiàn)在有若干頭牛去吃草，吃了6天后，4頭牛死亡；余下的牛繼續(xù)吃了2天才能將草吃光。問原來有多少頭牛？分析：本題與前面的例題一樣可以先求出原有

50、草和每天新生草，本題與前面的例題不同之處在于中途死了4頭牛。如果這4頭牛不死，2天則需吃草42=8。所以我們只要假定這4頭牛未死，并且補(bǔ)進(jìn)8個(gè)單位的草，則就跟前面的例題一樣了。練習(xí)、一片牧場，可供18頭牛吃4天；可供23頭牛吃3天。現(xiàn)在有13頭牛，放牧了3天后，又購進(jìn)5頭牛。問還吃幾天，正好全部的草吃完？例3、 一片牧草，每天生長速度相同，現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果1頭牛的吃的草量等于4只羊的吃草量，那么這片牧草可供10頭牛與60只羊一起吃多少天？分析：本題只需把牛轉(zhuǎn)化成羊或羊轉(zhuǎn)化成牛就簡單了。 比如，把一只羊一天的吃草量看做單位1。那么，“16頭牛吃20天”就可轉(zhuǎn)化為“64只羊吃20天”；問題里面的 “10頭牛與60只羊”就可轉(zhuǎn)化為“100只羊”。練習(xí)、有一片青草，每天生長的速度相同。已知這片青草可供15頭牛吃20天，或者供76只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8頭牛與64只羊一起吃，可以吃多少