人教版八年級上冊 導學案133 等腰三角形 講義

1、第二節(jié) 等腰三角形 講義一、課標導航二、核心綱要1.等腰三角形 (1)定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角 (2)性質兩腰相等兩底角相等（簡稱為等邊對等角） 等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”） 等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線是對稱軸注：若則是ABC的中線、角平分線、高線.證明題目中的寫法：已知高線已知中線已知角平分線(3)判定有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）2等邊三角形(1)

2、定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形(2)性質：三邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于(3)判定三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是的等腰三角形是等邊三角形3直角三角形(1)定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形(2)性質有一個角是兩銳角互余；如果一個銳角等于那么它所對的直角邊等于斜邊的一半(3)判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形4.等腰直角三角(1)定義：頂角為的等腰三角形叫做等腰直角三角形(2)性質頂角等于底角等于兩直角邊相等；軸對稱圖形；三線合一(3)判定頂角為的等腰三角形，底角為的等腰三角形5等腰三角形的構造(1)“角平分線十平行

3、線”構造等腰三角形如下左圖所示，OP平分則OCD是等腰三角形，如下右圖所示，OP平分則OCD是等腰三角形(2)“角平分線十垂線”構造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是么BAC的平分線，ADIBC，得出等腰三角形(3)“角平分線十中線”構造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是ZBAC的平分線，D是BC中點，則ABC是等腰三角形(4)“中點十垂直”構造等腰三角形（垂直平分線）（如下右圖所示）(5)“平行十等腰”構造等腰三角形已知等腰ABC，過腰或底上作腰或底的平行線6等腰三角形存在性的確定如下圖所示，在直線L上找一點C，使得ABC是等腰三角形以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線L于兩點以B為圓心，AB

4、為半徑畫圓，交直線L于兩點作AB的中垂線交直線L于本節(jié)重點講解：一個構造，一個確定，四個概念、性質和判定三、全能突破基 礎 演 練1等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是( )A過頂點的直線 B底邊上的高 C底邊的中線 D頂角平分線所在的直線2等腰三角形的一個內角是則另外兩個角的度數(shù)分別為( )3(1)要使得ABC是等腰三角形，則需要滿足下列條件中的( )(2)下列條件能證明ABC為等腰三角形的是( )且AD平分于點D，且AD平分BC邊于點D，且AD平分BACA只有 B只有 C只有 D均可(3)如圖13 -21所示，在ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE相交于點0，給出四個條件：上

5、述四個條件中，選擇兩個可以判定ABC是等腰三角形的方法有( )A2種 B3種 C4種 D6種4等腰三角形頂角為腰長是4cm，則三角形的面積為 5(1)已知點P在OA上，且點P關于直線OB的對稱點是Q，則 (2)已知點P在AOB的內部，點和點P關于OA對稱，點和點P關于OB對稱，則三點構成的三角形是 角形，其周長為 6(1)如圖13-2-2所示，在ABC中，ABC和ACB的平分線交于點E，過點E作交AB于點M，交AC于點N，若則線段MN的長為 (2)如圖13-2-3所示，已知和的平分線相交于點則OEF的周長為 7.如圖13-2-4所示，若為則BE的長為 8如圖13-2-5所示，在ABC中，求的度

6、數(shù)能 力 提 升9如圖13-2-6所示，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，下列結論：其中完全正確的是( )A. B. C. D.10連接正五邊形對角線交出一個正五邊形則以圖13-2-7中線段為邊的三角形中，共有等腰三角形( )個11.如圖13 -28所示，在等邊三角形ABC中，與BE相交于點P，則APE的度數(shù)是( )12(1)如圖13-2-9所示，A、B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在 格點上，且ABC為等腰三角形，則符合條件的點C有(

7、)個(2)等邊ABC，在平面內找一點P，使PBC、PAB、PAC均為等腰三角形，具備這樣條件的P點有( )個 A.1個 B4個 C7個 D10個13(1)如圖13 -2 -10所示，四邊形ABCD中，則四邊形ABCD中，最大的內角的度數(shù)是( )(2)如圖13 -2 -11所示，已知0是四邊形ABCD內一點，則的大小是( )14(1)等腰三角形的周長為15cm，其中一邊長為3cm.則該等腰三角形的底邊長為 (2)已知等腰三角形的兩條邊為10、16，那么它的周長等于 15(1)等腰三角形底邊長為6cm，一腰上的中線把它的周長分成兩部分的差為2cm，則腰長為 (2)已知ABC的周長為于點D，若ABD

8、的周長為20，則AD的長為 (3)已知等腰三角形的周長為24，腰長為x，則x的取值范圍是 16.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為則這個等腰三角形的頂角為 17.如圖13 -2 -12所示，在ABC中，是BC邊上的高，點E、F是AD的三等分點，若ABC的面積為則圖中陰影部分的面積為 18.如圖13 -2 -13所示，已知在ABC中，的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F求證：19如圖13 -2 -14所示，在ABC中，求證：20.如圖13 -2 -15所示，已知ABC是等腰直角三角形，是ABC的平分線，DEIBC，垂足為D.(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形(2)請你判斷AD與BE垂直嗎

9、？并說明理由(3)如果求的長21.兩個全等的含角的三角板ADE和三角板ABC按圖13 -2 -16所示方式放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME、MC.試判斷EMC的形狀，并說明理由22.如圖13 -2 -17所示，在ABC中，平分于點D，且于點F，交BE于點H.(1)求證：(2)探究BH與CD的大小關系，并證明中 考 鏈 接23(1)如圖13 -2 -18所示，在RtABC中，的垂直平分線DE交于BC的延長線于點F，若則EF的長是( )(2)如圖13 -2 -19所示，若則24.如圖13-2-20所示，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角

10、形CDE，使點E、A在直線DC的同側，連接AE.求證：AEBC.巔 峰 突 破25.如圖132- 21所示，過邊長為3的等邊三角形ABC的邊AB上一點P，作于點E，Q為BC延長線上一點，當時，連接PQ交邊AC于點D，則DE的長為 26數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況·探索結論 當點E為AB的中點時，如圖13-2-23 (a)所示，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE DB（填“>”，“<”或“=”）(2)特例啟發(fā)，解答題目 解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE DB（填“>”，“<”或

11、“=”）理由如下：如圖13-2-23(b)所示，過點E作EFBC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）(3)拓展結論，設計新題 在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED= EC.若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）27(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖13-2-24 (a)所示，D是等邊三角形ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊三角形DCF，連接AF.你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結論 (2)類比猜想：如圖13-2-24(b)所示，當動點D運動至等邊三角形ABC邊BA的延長線上時，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結論是否仍然成立？（直接寫出結論） (3)深入探究 如圖13-2-24(c)所示，當動點