第二章關(guān)于空間的定義與命題

1、第二章 關(guān)于空間的定義與命題定義2-1 線段線段是物體的一種可視覺(jué)或可觸覺(jué)現(xiàn)象。是物體的一種構(gòu)成屬性。用符號(hào)表示為：LSi-Ei或lSi-Ei 。其含意為：兩個(gè)端點(diǎn)分別為Si和Ei的第i條線段。由線段LS1-E1、LS2-E2LSn-En構(gòu)成的線段集合用符號(hào)表示為：LSi-Ei；由線段lS1-E1、lS2-E2lSn-En構(gòu)成的線段集合用符號(hào)表示為：lSi-Ei；由線段LS1-E1、LS2-E2LSn-En和lS1-E1、lS2-E2 lSn-En構(gòu)成的線段集合則用符號(hào)表示為：LSi-Ei&lSi-Ei。因此，LSi-Ei和lSi-Ei均為L(zhǎng)Si-Ei&lSi-Ei的子集?？捎?/p>

2、公式表示為：LSiEiÌLSi-Ei&lSi-Ei及l(fā)Si-EiÌLSi-Ei&lSi-Ei。線段通常有如下兩種可直接感知的特性：其一，每條線段都有兩個(gè)端點(diǎn)。其二，每條線段都能與一條膨緊的細(xì)線完全重合?；蛘哒f(shuō)，我們總能找到一個(gè)方向使得沿這一方向看過(guò)去該線段呈現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)。雖然，歐幾里德在原理中也使用了某些物理概念來(lái)對(duì)其關(guān)于直線和平面等基本概念的定義加以適當(dāng)?shù)慕忉尅５?，無(wú)論是歐幾里德本人還是及其追隨者卻都認(rèn)為：此種做法是不必要的，甚至是完全應(yīng)當(dāng)加以避免的。因?yàn)椋谒麄兛磥?lái)，似乎只有如此才能保持所謂數(shù)學(xué)的純潔與嚴(yán)密。然而無(wú)論是數(shù)學(xué)本身、還是物理學(xué)經(jīng)過(guò)飛速發(fā)展之后

3、所已經(jīng)達(dá)到的那種精確與嚴(yán)密的水準(zhǔn)都說(shuō)明，任何想要通過(guò)使數(shù)學(xué)獨(dú)立于自然的客體世界之外的方式來(lái)保持所謂數(shù)學(xué)的純潔和嚴(yán)密的企圖是沒(méi)有根據(jù)的、也是不可能的。定義2-2 重合操作重合操作是指進(jìn)行在任意兩條給定線段LS1-E1與LS2-E2之間的一種操作過(guò)程，其具體步驟為：移動(dòng)線段LS1-E1使其兩個(gè)端點(diǎn)S1和E1分別與線段LS2-E2上的某兩點(diǎn)X2和Y2重合、或著使LS2-E2的兩個(gè)端點(diǎn)S2和E2分別與線段LS1-E1上的某兩點(diǎn)X1和Y1重合。雖然,一根又細(xì)又直的樹(shù)枝或一段繃緊的細(xì)線都可被看成是一條線段并被用于重合操作。但是，樹(shù)枝或細(xì)線只是被我們有意忽略了其他構(gòu)成屬性?xún)H表現(xiàn)出“線段”這一構(gòu)成屬性的物體。

4、因此, 重合操作實(shí)際上是在兩個(gè)都具有”線段”這一構(gòu)成屬性的物體之間進(jìn)行的。定義2-3 線段之間的重合關(guān)系1、 線段LS1-E1與線段LS2-E2完全重合。記作: LS1-E1 LS2-E2 。 其含義是： 若：在LS1-E1與LS2-E2之間進(jìn)行重合操作時(shí)， 當(dāng)：LS1-E1的一個(gè)端點(diǎn)S1與LS2-E2的一個(gè)端點(diǎn)S2重合時(shí) 則：必有E1和E2重合。如果在任意兩條給定線段LS1-E1與LS2-E2之間進(jìn)行的每一次重合操作都可使LS1-E1與LS2-E2表現(xiàn)出相同的重合關(guān)系：LS1-E1 LS2-E2 。那么，我們便稱(chēng)這兩條線段對(duì)于重合操作所表現(xiàn)出的重合關(guān)系是穩(wěn)定不變的。并且，由于線段之間對(duì)于重合

5、操作所表現(xiàn)出穩(wěn)定不變的重合關(guān)系這一事實(shí)是自然界中的并非個(gè)別的和偶然的一種普遍現(xiàn)象。因此，凡無(wú)特別指明，以后所涉及的各種重合關(guān)系均為穩(wěn)定不變的。這也將是下述所有有關(guān)重合關(guān)系之命題的前提條件。命題2-3-1若：LS1-E1與LS1-E1完全重合，即：LS1-E1LS2-E2 則：對(duì)于LS1-E1上的每一個(gè)點(diǎn)Xi都有LS2-E2上的一個(gè)點(diǎn)Yi與Xi重合。命題2-3-2若：LS1-E1 LS2-E2且：LS2-E2 LS3-E3則：LS1-E1 LS3-E3即：線段與線段之間的完全重合關(guān)系是一種可傳遞關(guān)系。命題2-3-3若：LS1-E1 LS2-E2 則：LS2-E2 LS1-E1即：線段與線段之間的

6、完全重合關(guān)系是一種對(duì)稱(chēng)關(guān)系。2 、線段LS1-E1與線段LS2-E2部分重合。記作: LS1-E1<LS2-E2其含義 是： 若：在LS1-E1與LS2-E2之間進(jìn)行重合操作時(shí)，當(dāng)：LS1-E1的端點(diǎn)S1與LS2-E2的端點(diǎn)S2重合時(shí)則：LS1-E1的端點(diǎn)E1必與LS2-E2上的介于S2和E2之間的某一點(diǎn)Y2 重合。據(jù)此定義有如下命題成立：命題2-3-4若：LS1-E1<LS2-E2 且：LS2-E2<LS3-E3則：LS1-E1<LS3-E3即：線段LS1-E1 與線段LS2-E2部分重合是一種可傳遞關(guān)系。命題2-3-5若：LS1-E1<LS2-E2則：LS2-

7、E2 LS1-E1即：線段LS1-E1與線段LS2-E2部分重是一種非對(duì)稱(chēng)關(guān)系。命題2-3-6若：LS1E1 LS2E2 且：LS2E2<LS3E3則：LS1E1<LS3E3、線段LS1-E1與線段LS2-E2 等分重合。記作:N12*LS1-E1LS2-E2 (N 12為自然數(shù)) 。其含義是：若：移動(dòng)線段LS1-E1使線段LS1-E1的端點(diǎn)S1與線段LS2-E2的端點(diǎn)S2 重合而E1與線段LS2-E2上的介于S2和E2之間的某一點(diǎn)X1重 合， 再移動(dòng)線段LS1-E1使線段LS1-E1的端點(diǎn)S1與線段LS2-E2 上 的X1 重合而E1又與線段LS2-E2上的介于X1和E2之間的某

8、一 點(diǎn)X2重合以此類(lèi)推至第n次操作：再移動(dòng)線段LS1-E1使線 段LS1-E1的端點(diǎn)S1與線段LS2-E2的點(diǎn)Xn-1 重合時(shí)，而E1恰好 與線段LS2-E2的E2重合。 則：稱(chēng)線段LS1-E1 N等分線段LS2-E2 。據(jù)此定義有如下命題成立：命題2-3-7若：N12*LS1-E1 LS2-E2且：N23 *LS2-E2 LS3-E3則：N13* LS1-E1 LS3-E3且：N13 N12*N23命題2-3-8若：LS1-E1 LS2-E2 且：N12*LS1-E1 LS2-E2 則：N23*LS2-E2 LS3-E3命題2-3-9若：N12*LS1-E1 LS2-E2則：N21*LS2-

9、E2 LS1-E1 不成立。即：線段之間的等分關(guān)系是一種非對(duì)稱(chēng)、可傳遞關(guān)系。、LS1-E1與LSi-Ei等分重合。記作：LS1-E1 «LSi-Ei。其含義是： 線段LS1-E1 與線段集合LSi-Ei的所有線段分別有等分重合關(guān) 系：N12*LS1-E1LS2- E2、N13 * LS1-E1LS3-E3 N1n *LSn-EnLSn-En 。、線段LS1-E1近似N等分線段LS2-E2 。記作: N12*LS1-E1LS2-E2 (N 12為大于或等于2的整數(shù)) 。其含義是：在進(jìn)行上面定義3 之所描述的操作中，若第n次操作：再移動(dòng)線段LS1-E1使線段 LS1-E1的端點(diǎn)S1與線段

10、LS2-E2的Xn-1 重合時(shí)，E1與線段LS2-E2上的 介于S2和E2之間的某一點(diǎn)Xn重合，但當(dāng)?shù)趎+1次操作：再移動(dòng) 線段LS1-E1使線段LS1-E1的端點(diǎn)S1與線段LS2-E2的點(diǎn)Xn重合時(shí)，必 有線段LS2-E2的E2與線段LS1-E1上的介于S1和E1之間的某一點(diǎn)XI 重合。 命題2-3-10若：LS1-E1 LS2-E2 且：N12*LS1-E1LS3-E3則：N23*LS2-E2LS3-E3命題2-3-11若：N12*LS1-E1LS2-E2則：N21*LS2-E2LS1-E1 不成立。即：線段之間的近似等分關(guān)系是一種非對(duì)稱(chēng)關(guān)系。定義2-4 單元線段、可等分線段和等分?jǐn)?shù)在定義

11、3之關(guān)系中，若：N12*LS1-E1LS2-E2則：稱(chēng)LS2-E2為L(zhǎng)S1-E1的可等分線段、LS1-E1為L(zhǎng)S2-E2的單元線段、N12為等分?jǐn)?shù)。定義2-5 線段的關(guān)系屬性在定義2-3中，線段之間的每一種關(guān)系都稱(chēng)為線段的一種關(guān)系屬性。 因?yàn)榫€段是物體的一種構(gòu)成屬性,所以所謂線段的關(guān)系屬性也就是具有線段這一構(gòu)成屬性的物體的關(guān)系屬性。 正如我們?cè)诘谝徽轮兴呀?jīng)指出過(guò)的那樣，過(guò)程之構(gòu)成屬性與過(guò)程之關(guān)系屬性之間是有差別的。同樣，線段這一物體的構(gòu)成屬性與線段之關(guān)系屬性、亦即物體之關(guān)系屬性也存在著同樣的差別。定義2-6 線段系統(tǒng)若：線段集合LSi-Ei&lSi-Ei及其子集lSi-Ei滿(mǎn)足條件：

12、、構(gòu)成子集lSi-Ei的所有線段對(duì)于重合操作表現(xiàn)出如下之 穩(wěn)定的非對(duì)稱(chēng)關(guān)系： N12*lS1-E1lS2-E2、N13*lS1-E1lS3-E3 N1n*lS nEn lSn - En 。、對(duì)于 LSi-Ei&lSi-Ei之內(nèi)lSi-Ei之外的任意一線段LSi-Ei 都有l(wèi)Si-Ei之內(nèi)的某一線段lSi-Ei與之有等分重合關(guān)系：NlL*lSi-EiLSi-Ei 。則：線段集合lSi-Ei被定義為L(zhǎng)Si-Ei&lSi-Ei的一個(gè)線段系統(tǒng)。 用符號(hào)記作：l lL*。并：稱(chēng)lSi-Ei與l lL*之間有確定的重合關(guān)系。記作：LSi-Ei N lL*lSi-EiÎl lL*。

13、 定義2-7 自然線段系統(tǒng)在由那些又細(xì)又直的樹(shù)枝、矩型桌臺(tái)的棱線、門(mén)、窗的邊線、房屋的墻線以及我們所能感知到的所有線段和由我們?nèi)祟?lèi)自制的那些完全相同的、刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺所構(gòu)成的線段集合中，那些被人們加工或燒制成其對(duì)應(yīng)線段可以完全重合的石塊或磚塊的邊線、用這些完全相同的石塊或磚塊砌成的圍墻的墻線、以及由人們自制的那些完全相同的、刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺所構(gòu)成的線段集合就稱(chēng)為一個(gè)自然線段系統(tǒng)。當(dāng)然，這一我們?nèi)祟?lèi)生活于其中的、與人類(lèi)活動(dòng)密切相關(guān)的、或著更確切地說(shuō)是制約著人類(lèi)活動(dòng)的自然線段系統(tǒng)從某種意義上講是粗糙的和近似的，而我們所定義的線段系統(tǒng)概念則是這種自然的、粗糙的和近似

14、的自然線段系統(tǒng)的理想化的、抽象的結(jié)果。就如過(guò)程系統(tǒng)是太陽(yáng)過(guò)程系統(tǒng)、質(zhì)點(diǎn)是太陽(yáng)、地球以及其它許多物體的一種理想化模型一樣。也許只能設(shè)想：在由那些完全自然的線段（諸如又細(xì)又直的樹(shù)枝、石塊的棱線、繃緊的細(xì)等）所構(gòu)成的線段集合中，人們最初所認(rèn)識(shí)到的只能是如LS1-E1<LS2-E2 <<LSn-En 這樣的穩(wěn)定的非對(duì)稱(chēng)關(guān)系。之后才進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：似乎總能找到或制成某一足夠小的線段LS1-E1使其可以近似等分或可“足夠精確”地等分其它所有我們所能感知、所能發(fā)現(xiàn)的、且有穩(wěn)定之非對(duì)稱(chēng)關(guān)系LS1-E1<LS2-E2 < < LSn-En的所有線段。因此可以認(rèn)為由人們所制成的那

15、些完全相同的、刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺這樣一種線段系統(tǒng)正是人們關(guān)于上述認(rèn)識(shí)的集中表現(xiàn)。這也正如鐘表這樣的過(guò)程系統(tǒng)正是人們對(duì)于自然的太陽(yáng)過(guò)程系統(tǒng)之認(rèn)識(shí)的集中表現(xiàn)一樣。定義2-8 剛性線段在定義6中，線段系統(tǒng)l lL*的所有線段lS1-E1、lS2-E2 lSn-En都稱(chēng)為對(duì)該線段系統(tǒng)l lL*而言的剛性線段。因此，剛性線段或線段之剛性必須對(duì)某一給定的線段系統(tǒng)而言才有意義。定義2-9 單位線段與最小單位線段在定義6中, l lL*中的每一條線段lSi-Ei都為L(zhǎng)Si-Ei&lSi-Ei的一條單位線段。用符號(hào)表示為: l u 。而lS1-E1被稱(chēng)為L(zhǎng)Si-Ei&lSi-Ei的

16、最小單位線段,用符號(hào)表示為: l(u) 。因?yàn)楦鶕?jù)定義6,顯然有LSi-Ei&lSi-Ei中的任意一條線段LSi-Ei或lSi-Ei都可被最小單位線段l (u) 等分。定義2-10 長(zhǎng) 度在定義2-6中, 線段LSi-Ei與線段系統(tǒng)l lL*之間的重合關(guān)系： LSi-Ei N liLi*lSi-EiÎl lL*。就稱(chēng)為線段LSi-Ei對(duì)線段系統(tǒng) l lL*而言的長(zhǎng)度。用符號(hào)記作：I 。因此,所謂線段的長(zhǎng)度就是就是線段與線段之間的某種關(guān)系。就是一線段與相互之間有著某種穩(wěn)定非對(duì)稱(chēng)關(guān)系的諸線段之間的一種關(guān)系。就是線段與線段系統(tǒng)之間的一種關(guān)系。就是線段的一種關(guān)系屬性。并且，猶如一過(guò)程

17、之時(shí)間（包括持續(xù)時(shí)間和發(fā)生時(shí)間）必須相對(duì)于某一給定的過(guò)程系統(tǒng)而言才有意義，一條線段之長(zhǎng)度也必須相對(duì)某一給定的線段系統(tǒng)而言才有意義。顯然，蘊(yùn)涵在時(shí)間及長(zhǎng)度的定義中的時(shí)間與長(zhǎng)度的相對(duì)性較之愛(ài)因斯坦在其論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)即狹義相對(duì)論中所提出的時(shí)間與長(zhǎng)度的相對(duì)性而言是某種程度上的、更為基本的特性。至此，我們已經(jīng)可以看出：就一理論體系當(dāng)中的概念之間的邏輯關(guān)系而言，由線段系統(tǒng)導(dǎo)出的長(zhǎng)度概念以及由過(guò)程系統(tǒng)導(dǎo)出的時(shí)間概念不僅具有形式上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且在人類(lèi)之認(rèn)識(shí)自然的過(guò)程中也有著同樣重要的地位。事實(shí)上，所謂時(shí)間的本質(zhì)并不會(huì)比長(zhǎng)度的本質(zhì)有更多或更深刻的客觀內(nèi)容。而人們之所以唯獨(dú)對(duì)所謂時(shí)間的本質(zhì)問(wèn)題糾纏不休，其根本

18、原因也許在于，人們對(duì)于自身之生命運(yùn)動(dòng)過(guò)程與其它自然過(guò)程之間的關(guān)系的關(guān)注、亦即對(duì)自己在這個(gè)世界上能存活多長(zhǎng)時(shí)間的關(guān)注要遠(yuǎn)勝于對(duì)所謂身高體長(zhǎng)或居住面積的關(guān)注。定義2-11 長(zhǎng)度的相等 若：LSi-Ei NliLi*lSi-Ei Îl lL*、LSk-Ek N lkLk*lSi-EiÎl lL*且：NliLi = NlkLk 。則：LSi-Ei與LSk-Ek有相等的長(zhǎng)度。 正如過(guò)程的持續(xù)時(shí)間的相等需要特別的定義一樣，線段的長(zhǎng)度的相等也需要特別的定義。而且，現(xiàn)在我們已十分清楚地知道，過(guò)程的持續(xù)時(shí)間的相等不能僅由兩個(gè)過(guò)程的完全同步這一對(duì)稱(chēng)關(guān)系就可獲得定義。同樣，線段的長(zhǎng)度的相等也不能

19、僅由兩條線段的完全重合這一對(duì)稱(chēng)關(guān)系就可獲得定義。因?yàn)?，無(wú)論是在過(guò)程的持續(xù)時(shí)間的相等的定義中，還是在線段的長(zhǎng)度的相等的定義中，穩(wěn)定的非對(duì)稱(chēng)關(guān)系與對(duì)稱(chēng)關(guān)系都有著同樣基本的意義和同樣重要的作用。定義2-11 單位長(zhǎng)度與最小單位長(zhǎng)度根據(jù)定義2-9和定義2-10，我們把單位線段l u 的長(zhǎng)度定義為單位長(zhǎng)度。用符號(hào)記作為：u 。把最小單位線段l (u) 的長(zhǎng)度定義為最小單位長(zhǎng)度。用符號(hào)記作為：（u） 。因此，任意一給定的線段系統(tǒng)l lL*的單位線段與最小單位線段對(duì)該線段系統(tǒng)l lL*的長(zhǎng)度都是恒定不變的。這也是我們通常要求一把用于測(cè)量其它線段之長(zhǎng)度的尺子必須是剛性的、即尺子自身之長(zhǎng)度在測(cè)量過(guò)程中必須保持不

20、變的客觀內(nèi)容所在。因?yàn)?，我們不能僅僅通過(guò)用另一把尺子來(lái)量度這一把尺子去判定尺子的剛性。這正如同我們不能僅僅通過(guò)用另一只鐘表來(lái)量度這一只鐘表去判定所謂鐘表走時(shí)的均勻性一樣。與人們提出時(shí)間是連續(xù)的還是分立的這一問(wèn)題相同，我們照樣可以對(duì)線段之長(zhǎng)度提同樣的問(wèn)題，即線段之長(zhǎng)度是連續(xù)的還是分立的？對(duì)此問(wèn)題，我們唯一能說(shuō)的就是：根據(jù)對(duì)長(zhǎng)度的定義，如果在自然界中存在這樣一個(gè)線段系統(tǒng)使得自然界中的任意一條線段都能被該線段系統(tǒng)中的最小單位線段n等分。那么，線段之長(zhǎng)度就是分立的。反之便是連續(xù)的。事實(shí)上，包括長(zhǎng)度和時(shí)間在內(nèi)的任何一個(gè)已被人們賦予其客觀內(nèi)容的物理量都存在分立與連續(xù)的問(wèn)題。而要想科學(xué)地回答這些問(wèn)題，就必須

21、設(shè)計(jì)出科學(xué)的實(shí)驗(yàn)以使我們?cè)诨卮疬@些問(wèn)題時(shí)有一個(gè)客觀的、統(tǒng)一的因而也是唯一的判據(jù)。就象密立根在證實(shí)電荷電量之量子化現(xiàn)象時(shí)所精心設(shè)計(jì)并成功演示的油滴實(shí)驗(yàn)一樣。定義2-12 普點(diǎn)、標(biāo)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)普點(diǎn)：是標(biāo)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的統(tǒng)稱(chēng)。用符號(hào)表示為：DGi ；標(biāo)點(diǎn)：則可以是物體的一種可視覺(jué)或可觸覺(jué)現(xiàn)象。例如一個(gè)有棱角的物體的頂點(diǎn)、一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)等。也可以是通過(guò)幾何作圖或計(jì)算所得到的：兩條線段的交點(diǎn)、一物體或諸物體的質(zhì)心等。用符號(hào)表示為：DSi ；質(zhì)點(diǎn)：是被物理學(xué)家忽略所有其它構(gòu)成屬性而被看成是點(diǎn)的物體。例如一個(gè)蘋(píng)果、一塊石頭、一顆恒星等。用符號(hào)記作：DMi 。因此，無(wú)論是標(biāo)點(diǎn)還是質(zhì)點(diǎn)都是一物體或諸物體的構(gòu)成屬性，是

22、不能脫離物體而獨(dú)立存在的。因此，所有關(guān)于標(biāo)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)的相互之間的關(guān)系的描述，就是關(guān)于物體之間的相互關(guān)系的描述。命題2-12-1一標(biāo)點(diǎn)與另一標(biāo)點(diǎn)可以相互重合。例如在下面的圖（一）中：三角形ABC的頂點(diǎn)C與三角形DEC的頂點(diǎn)C重合。圖（一）命題2-12-2一質(zhì)點(diǎn)可與某一給定的標(biāo)點(diǎn)相互重合。但是不能同時(shí)與兩個(gè)相互不重合的標(biāo)點(diǎn)重合。命題2-12-3任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在保持其所代表物體的構(gòu)成屬性不變的前提下均不可能相互重合。因?yàn)椋匀唤缰械娜我鈨蓚€(gè)物體都不可能在保持其構(gòu)成屬性不變的前提下相互重合。定義2-13 普點(diǎn)集合、標(biāo)點(diǎn)集合與質(zhì)點(diǎn)集合由若干標(biāo)點(diǎn)DS1 、DS2 DSn 構(gòu)成的集合稱(chēng)為標(biāo)點(diǎn)集合。用符號(hào)記作：D

23、Si；由若干質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2DMn構(gòu)成的集合稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)集合。用符號(hào)記作：DMi；由若干質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2DMn和若干標(biāo)點(diǎn)DS1、DS2DSn構(gòu)成的集合稱(chēng)之為普點(diǎn)集合。用符號(hào)記作：DGi。定義2-14 兩點(diǎn)之間的相距關(guān)系-距離若：I為給定兩點(diǎn)D Gi 、D Gk所連成的線段對(duì)某一線段系統(tǒng)l lL*而言的長(zhǎng)度，則：稱(chēng)I為該兩點(diǎn)DGi 、DGk之間的相距關(guān)系或距離。記作： i 。 顯然，兩點(diǎn)之間的距離不僅是該兩點(diǎn)之間的一種關(guān)系，而且也是該兩點(diǎn)作為一個(gè)整體與某一線段系統(tǒng)之間的關(guān)系。并且，較之兩點(diǎn)之間的距離而言，線段之長(zhǎng)度概念是更為基本的。 定義2-15 剛性普點(diǎn)集合若:普點(diǎn)集合DGi中的任意兩點(diǎn)所連成

24、的線段對(duì)某一給定線段系統(tǒng)l lL*的距離都恒定不變，則:稱(chēng)DGi為一個(gè)對(duì) l lL*而言的剛性普點(diǎn)集合。用符號(hào)表示為DGi*。定義2-16 剛性質(zhì)點(diǎn)集合全部由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的剛性普點(diǎn)集合稱(chēng)作為剛性質(zhì)點(diǎn)集合。用符號(hào)表示為：DMi*。在自然界中，有許多剛性質(zhì)點(diǎn)集合。例如：銀河系里的所有恒星構(gòu)成一個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)集合，一鐵塊中的所有鐵原子核構(gòu)成一個(gè)剛性質(zhì)點(diǎn)集合等等。應(yīng)當(dāng)說(shuō)，剛性質(zhì)點(diǎn)集合、剛性標(biāo)點(diǎn)集合或著剛性普點(diǎn)集的概念正是由它們概括而來(lái)的。至此，我們已經(jīng)定義了線段的長(zhǎng)度、兩點(diǎn)之間的距離和剛性質(zhì)點(diǎn)集合。并且，由定義可知：這些概念都必須對(duì)某一給定的線段系統(tǒng)而言才有意義。由于在下面的定義中還要經(jīng)常使用這些概念，所以在

25、此約定：以后在用到長(zhǎng)度、距離和剛性點(diǎn)集這三個(gè)概念時(shí)凡無(wú)特別指明，都是對(duì)同一線段系統(tǒng)而言的。因此可以看出，我們?nèi)祟?lèi)生活于其中的、由那些司空見(jiàn)慣的又細(xì)又直的樹(shù)枝、矩型臺(tái)桌的棱線、門(mén)窗的邊線、房屋的墻線等等以及所有由我們?nèi)祟?lèi)自制的、完全相同的刻有毫米、分米和厘米等刻度的直尺所構(gòu)成的自然線段系統(tǒng)是我們判別所有剛性質(zhì)點(diǎn)集合的客觀基礎(chǔ)。并且，無(wú)論這些剛性質(zhì)點(diǎn)集合是由恒星組成還是由原子組成。定義2-17 剛 體表現(xiàn)為剛性質(zhì)點(diǎn)集合的物體就被定義為剛體。顯然，不僅一塊石頭、一個(gè)鐵塊被視為剛體。而且，根據(jù)定義由恒星組成的銀河系也是剛體。于是，我們自然要問(wèn)：使眾多鐵原子緊密結(jié)合成一個(gè)鐵塊的原因與使得眾多恒星構(gòu)成一個(gè)

26、剛性的銀河系的原因之間有什么必然聯(lián)系嗎？。或者更進(jìn)一步說(shuō)，那些所有不同的剛體之所以為剛體的原因是相同或相似的嗎？定義2-18 剛性質(zhì)點(diǎn)集合的位點(diǎn)設(shè)：DM1、DM2DMn為構(gòu)成剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，若：由這n個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別為一個(gè)端點(diǎn)的n條剛性線段有共同且唯一的另一個(gè)端點(diǎn)Pi 。則：該端點(diǎn)Pi 就被稱(chēng)為該剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的一個(gè)位點(diǎn)。用符號(hào)記作為：Pi ïDMi*。且：由這n條剛性線段的長(zhǎng)度1、2 n 所構(gòu)成的集合 i就被稱(chēng)為位點(diǎn)Pi ïDMi*與剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*之間的相距關(guān)系。顯然，剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的任意兩個(gè)位點(diǎn)必與剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*有不同的相距關(guān)系。因此，

27、所謂剛性質(zhì)點(diǎn)集合的一個(gè)位點(diǎn)，其實(shí)就是與該剛性質(zhì)點(diǎn)集合有著某一確定相距關(guān)系的標(biāo)點(diǎn)。并且，與該剛性質(zhì)點(diǎn)集合有某一給定相距關(guān)系的標(biāo)點(diǎn)必須是唯一的。但是，通常情況下，與任意一給定的剛性質(zhì)點(diǎn)集合之間有相同相距關(guān)系的標(biāo)點(diǎn)并不一定是唯一的，所以，在稍后的定義2-20到定義2-24中我們將據(jù)此對(duì)剛性質(zhì)點(diǎn)集合予以分類(lèi)討論。定義2-18 空 間若：剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*存在有位點(diǎn)Pi ïDMi*，且：DMi*之外的任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任意給定的某一時(shí)刻都必與 DSi*的某一位點(diǎn)重合，則：由DMi*的所有位點(diǎn)構(gòu)成的集合就被稱(chēng)為這一剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的空間。用符號(hào)記作為：å Pi ïDMi*。

28、 因此，空間的本質(zhì)就是代表物體的質(zhì)點(diǎn)與某一給定的、具有位點(diǎn)的剛性質(zhì)點(diǎn)集合的相距關(guān)系的集合。至此，請(qǐng)?jiān)试S我再一次引用愛(ài)因斯坦在其狹義與廣義相對(duì)論中關(guān)于空間的一段論述，“力學(xué)的目的在于描述物體在空間中的位置如何隨時(shí)間而改變，如果我未經(jīng)思考、不加詳細(xì)的解釋就來(lái)表述上述的力學(xué)的目的，我的良心會(huì)承擔(dān)違背力求清楚明確的神圣精神的嚴(yán)重過(guò)失這里，位置和空間應(yīng)如何理解是不清楚的我們必須老實(shí)承認(rèn)，對(duì)于空間一詞我們無(wú)法構(gòu)成絲毫概；因此，我們代之以相對(duì)在實(shí)際上可看作剛體的一個(gè)參考物體的運(yùn)動(dòng)”然而事實(shí)上，當(dāng)我們?cè)谡劶皭?ài)因斯坦之“時(shí)空、觀的革命”時(shí)卻幾乎無(wú)人愿意提及上面這一段真正能夠反映愛(ài)因斯坦之科學(xué)精神及其關(guān)于人們?cè)谡J(rèn)

29、識(shí)時(shí)、空之本質(zhì)方面的真實(shí)狀況的坦述。命題2-18-1若:剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*有空間 å Pi ïDMi*，則:該空間中的任意兩個(gè)位點(diǎn)Pi ïDMi*和PkïDMi*(ik)必 與DMi*有不同的相距關(guān)系。命題2-18-2若:剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*有位點(diǎn)Pi ïDMi*，則:與該剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*某一確定相距關(guān)系的位點(diǎn)必是唯一的。命題2-18-3若: 剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*有空間 å Pi ïDMi*，則:DMi*之外的任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任意給定的某一時(shí)刻都必與DMi*的某一位點(diǎn)重合。即：DMi*之外的任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都必在DMi*的空

30、間 å Pi ïDMi*之中。命題2-18-4對(duì)于自然界中的所有剛性質(zhì)點(diǎn)集合而言，當(dāng)且僅當(dāng)：剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*中含有四個(gè)或四個(gè)以上且不在同一平面上的質(zhì)點(diǎn)時(shí)，與DMi*有某一確定相距關(guān)系的標(biāo)點(diǎn)才是唯一的。命題 2-18-5若：Mi*ÌDMi*且：Mi*僅由四個(gè)不在同一平面上的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成。當(dāng)：任意一個(gè)給定的標(biāo)點(diǎn)DGi與Mi*有確定的相距關(guān)系，則：DGi與DMi*也有確定的相距關(guān)系。此命題之另一種表達(dá)方式為：若：剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*中含有四個(gè)或四個(gè)以上且不在同一平面 上的質(zhì)點(diǎn)。則：由DMi*中的任意四個(gè)不在同一平面上的質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的子剛 性 質(zhì)點(diǎn)集合都與DMi*有相同的空

31、間å Pi ïDMi*。由于這一命題并不直觀，因此，我們將詳述得出此命題的分析和歸納過(guò)程： 、假設(shè)DMi*是僅由一個(gè)質(zhì)點(diǎn)DM1構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合如下面的圖（二）所示：1為任意給定一點(diǎn)P1 與DM1之間的距離。那么容易看出與DMi*亦即與DM1 有確定相距關(guān)系1的點(diǎn)并非是唯一的。事實(shí)上，以DM1為圓心以1為半徑的球面上的所有點(diǎn)（如圖二中的P1 、P2 和Pi ）均與DM1有相同的相距關(guān)系 1。因此根據(jù)定義2-17和定義2-18僅由一個(gè)質(zhì)點(diǎn)DM1構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合是不存在位點(diǎn)的。當(dāng)然也就無(wú)所謂空間。 、假設(shè)DMi*是僅由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)DM 1 和D M 2構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合，如圖（三

32、）所示：任意給定一點(diǎn)Pi 與DM1圖（二） 圖（三）和DM2的距離分別是1和2 。那么亦可看出，與DMi*亦即與DM1和DM2有確定相距關(guān)系 i的點(diǎn)也不是唯一的。因?yàn)槿粼O(shè)圓O是DM1DM2Pk以過(guò)DM1和DM2的直線L為軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)Pk所形成的軌跡，那么，圓O上的所有點(diǎn)分別與DM1和DM2的距離均分別是1和2 。即圓O 上的所有點(diǎn)都與DMi*有相同的相距關(guān)系。因此根據(jù)定義2-17和定義2-18，僅由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)DM1和DM2構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合也不存在位點(diǎn)，當(dāng)然也無(wú)所謂空間。、假設(shè)DMi*是由三個(gè)不在同一直線上的質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2和DM3構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合，那么如圖（四）所示亦可圖（四） 圖（五）

33、看出：若過(guò)P1 、P2 的線段與過(guò)DM1、DM2和DM3的平面垂 直且交于點(diǎn)O,則當(dāng)O P1 = O P2 時(shí)分別有：P1 DM1 =P2 DM1 、P1 DM2=P2 DM2 和P1 DM3 =P2 DM3 。因此，點(diǎn)P1 、P2 與由DM1、DM2和DM3構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*有相同的相距關(guān)系。因此，根據(jù)定義2-17和定義2-18，由三個(gè)不在同 一直線上的質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2和DM3構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合也不 存在位點(diǎn)，當(dāng)然亦無(wú)所謂空間。、假設(shè)DMi*是由四個(gè)不在同一平面上的質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2、DM3和DM4構(gòu)成的剛性質(zhì)點(diǎn)集合，如圖（五）所示。那么，我們的經(jīng)驗(yàn)是：從未能找到相互不重合的兩點(diǎn)使

34、它們與DMi*有相同的相距關(guān)系。因此，根據(jù)定義2-17和定義2-18得到命題2-18-4及命題2-18-5。定義2-19 空間的維數(shù)若：剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*滿(mǎn)足條件：、DMi*有空間å Pi ïDMi*。、DMi*中存在子集 Mi*、å Pi ï Mi*= å Pi ïDMi*。、在所有與DMi*有相同空間的子集中， Mi*的質(zhì)點(diǎn) 數(shù)n最小。則： Mi*的質(zhì)點(diǎn)數(shù)n就被定義為空間å Pi ïDMi*的維數(shù)。 或者稱(chēng)å Pi ïDMi*是一個(gè)n維空間。定義2-20 直線剛性質(zhì)點(diǎn)集合若：剛性質(zhì)點(diǎn)集合D

35、Mi*的所有質(zhì)點(diǎn)中存在有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)DMi、DMk 使得DMi*的所有其它質(zhì)點(diǎn)都在以DMi、DMk為兩個(gè)端點(diǎn)所連成的直線上。則：DMi*為一直線剛性質(zhì)點(diǎn)集合。用符號(hào)記作：DMi*L 。且：稱(chēng)該直線為該剛性質(zhì)點(diǎn)集合的廣延線。記作：ïDMi*L 。命題2-20-1構(gòu)成直線剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*L 的質(zhì)點(diǎn)數(shù)n2。命題2-20-2與任意一直線剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*L 有某一確定相距關(guān)系的點(diǎn)不是唯一的。故DMi*L 沒(méi)有位點(diǎn)和空間。命題2-20-3若：直線剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*L 的廣延線ïDMi*L 上的任意一個(gè)標(biāo)點(diǎn)Pi與DMi*L的至少兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2有確定的距離 1 、 2 ，則：

36、點(diǎn)P i與DMi*L的其它質(zhì)點(diǎn)的距離亦確定。即：點(diǎn)Pi與DMi*L 有確定的相距關(guān)系。即：此點(diǎn)為DMi*L的在其廣延線上的一個(gè)位點(diǎn)：Pi ïD M i *L 。定義2-21 直線空間剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*L的廣延線ïDMi*L上的所有位點(diǎn)的集合被定義為DMi*L 的一個(gè)直線空間。用符號(hào)記作å Pi ïDM i *L 。命題2-21-1顯然，根據(jù)前面的定義2-19，直線空間å PiïDMi*L 是一個(gè)二維空間。定義2-22 平面質(zhì)點(diǎn)剛性點(diǎn)集若：在剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的所有質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2DMn中存在有不在同一直線上的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)DMi、DM

37、k 、DMj，使得DMi*的所有其它質(zhì)點(diǎn)都在DMi、DMk 、DMj所夠成的平面上。則：DMi*為一平面剛性質(zhì)點(diǎn)集合。用符號(hào)記作：DMi*F。且：稱(chēng)該平面為該剛性質(zhì)點(diǎn)集合的廣延面。記作：FïDMi*F 。命題2-22-1構(gòu)成平面剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*P 的質(zhì)點(diǎn)數(shù)n3。命題2-22-2與任意一平面剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*F 有某一確定相距關(guān)系的點(diǎn)不是唯一的。故DMi*F 沒(méi)有位點(diǎn)和空間。命題2-22-3若：平面剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*F 的廣延面Fï DMi*F 上的任意一個(gè)標(biāo)點(diǎn)P i與D M i *F 中的任意三個(gè)不在同一條直線上的質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2、DM3有確定的距離 1 、 2

38、、 3 ，則：此點(diǎn)P i與D M i *F 的其它質(zhì)點(diǎn)的距離亦確定。即：此點(diǎn)Pi為DMi*F在其廣延面上的一個(gè)位點(diǎn)：PiïDMi*F 。定義2-23 平面空間把平面剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*F 的廣延面FïDMi*F 上的所有位點(diǎn)的集合定義為DMi*F的一個(gè)平面空間。記作：åPiïDMi*F 。命題2-23-1根據(jù)前面的定義2-19，平面空間å PiïDMi*F 是一個(gè)三維空間。定義2-24 立體剛性質(zhì)點(diǎn)集合若：在剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的所有質(zhì)點(diǎn)DM1、DM2DMn中存在有不 在同一平面上的四個(gè)點(diǎn)DMi、DMj 、DMk、DMl則：DMi*為

39、一立體剛性質(zhì)點(diǎn)集合。用符號(hào)記作：DMi *V。并把 DMi *V的空間稱(chēng)為一個(gè)立體空間。記作：å PiïDMi *V 。命題2-24-1顯然根據(jù)前面的定義2-19,立體空間å PiïDMi*V 是一個(gè)四維空間。定義2-25 物體在空間中的位置若：一質(zhì)點(diǎn)與一剛性質(zhì)點(diǎn)集合DMi*的某個(gè)位點(diǎn)Pi ïDMi*重合，則：稱(chēng)該位點(diǎn)Pi ïDMi*為該質(zhì)點(diǎn)在空間åPi ïDMi*中的位置。亦即該質(zhì)點(diǎn)所代表的物體在空間åPi ïDMi*中的位置。因此，根據(jù)定義2-11和定義2-16，被看作質(zhì)點(diǎn)的物體在某一給定的

40、空間中不能同時(shí)占據(jù)兩個(gè)或兩個(gè)以上的位置。附 釋?zhuān)褐链?我們已經(jīng)給出了包含空間在內(nèi)的、相互之間存在著明確邏輯關(guān)系的一系列定義和命題。不論繁簡(jiǎn)，它們所描述的都是直觀的自然現(xiàn)象以及這些現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系?，F(xiàn)在我們就要從這些定義和命題出發(fā)，來(lái)進(jìn)一步論述與空間之性質(zhì)有關(guān)的一些問(wèn)題。而之所以未能繼續(xù)用定義和命題的形式給出這些論述，乃是因?yàn)樗鼈兯婕暗膬?nèi)容在未經(jīng)天文學(xué)家和物理學(xué)家用實(shí)驗(yàn)證實(shí)和用基于某些公理之上的推理加以證明之前只能算作是一些猜想，并且其中還包括了一些未能解決的問(wèn)題。1、位置與空間的維數(shù)關(guān)于維數(shù)，人們通常所采用的是一種心照不宣的定義即確定一個(gè)點(diǎn)的位置所需要的坐標(biāo)數(shù)。于是，在對(duì)數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)

41、系及立體直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的位置的確定方法進(jìn)行一番分析之后便得出了一直被人們所普遍認(rèn)可的關(guān)于維數(shù)的概念。所謂直線是一維的、平面是二維的以及立體是三維的這些觀念便是如此確立的。盡管幾乎所有探討空間及其維數(shù)的學(xué)者都意識(shí)到：點(diǎn)的位置、或物體的位置概念顯然要比空間及其維數(shù)的概念更基本，但是，事實(shí)上幾乎所有的人都忽略了對(duì)于位置概念的深入分析。由于牛頓力學(xué)只對(duì)質(zhì)點(diǎn)成立，因此，人們只論點(diǎn)的位置而不談物體的位置。然而，無(wú)論是物體的位置還是質(zhì)點(diǎn)的位置在牛頓力學(xué)中都不重要。因?yàn)?，牛頓力學(xué)只用到質(zhì)點(diǎn)以及質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間的距離這兩個(gè)概念。但是，我們顯然不能把一質(zhì)點(diǎn)與另一給定質(zhì)點(diǎn)之間的距離定義為該質(zhì)點(diǎn)的位置。事實(shí)上，在人們

42、的實(shí)際生活中，對(duì)于位置概念是有著十分嚴(yán)格的要求的。這就是，當(dāng)我們被告知某一位置時(shí)，我們可以按照對(duì)這一位置的描述準(zhǔn)確而唯一地到達(dá)這一位置。并且，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)這一位置的描述的核心內(nèi)容就是代表該位置的點(diǎn)或占據(jù)該位置的物體與若干其它物體之間的距離。并且，這若干其它物體兩兩之間的距離必須是恒定不變的。如果把所有物體都抽象為質(zhì)點(diǎn)，那么，所謂點(diǎn)的位置就是該點(diǎn)與兩兩之間均有恒定不變之距離的若干點(diǎn)的相距關(guān)系。這就是說(shuō)，只有當(dāng)我們把兩兩之間均有恒定不變之距離的若干點(diǎn)即某一剛性質(zhì)點(diǎn)集合作為參照，點(diǎn)的位置才有意義?；蛘哒f(shuō)，所謂點(diǎn)的位置就是該點(diǎn)與某一剛性質(zhì)點(diǎn)集合之間的相距關(guān)系。我們前面與空間有關(guān)的所有定義與命題就是基于這一簡(jiǎn)單的事實(shí)而建立起來(lái)的。盡管由此建立起來(lái)的空間的維數(shù)與從前的維數(shù)概念在具體數(shù)值上有些許差異，但是不難看出，所謂數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系和立體直角坐標(biāo)系其實(shí)是分別與直線剛性質(zhì)點(diǎn)集合、平面剛性質(zhì)點(diǎn)集合和立體剛性質(zhì)點(diǎn)集合等同的。并且如果我們?nèi)∠麑?duì)坐標(biāo)系之象限的人為劃定，那么，確定一個(gè)點(diǎn)分別在數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系和立體直角