江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學 第八章 第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束1三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義四、小結(jié) 思考題第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束2一、問題的提出【回顧】【回顧】一元函數(shù)一元函數(shù))(xfy 0 dxdy0 dxdy函數(shù)值在點函數(shù)值在點x0處沿處沿x軸方向增大軸方向增大二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz 0 xz0 xz函數(shù)值在點函數(shù)值在點P(x0 , y0)處沿處沿x軸方向增大軸方向增大函數(shù)值在點函數(shù)值在點P(x0 , y0)處沿處沿x軸方向減小軸方向減小函數(shù)值在點函數(shù)值在點x0處沿處沿x軸方向減小軸方向減小機動機動 目錄目錄

2、 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束30 yz函數(shù)值在點函數(shù)值在點P(x0 , y0)處沿處沿y軸方向增大軸方向增大0 yz函數(shù)值在點函數(shù)值在點P(x0 , y0)處沿處沿y軸方向減小軸方向減小二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz 【問題】【問題】二元函數(shù)二元函數(shù) 在點在點P(x0 , y0)處沿其處沿其它射線方向的變化率如何？它射線方向的變化率如何？),(yxfz ),(00yxP),(yxfz 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束4 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P 沿某一方沿某一方向的變化率問題向的變化率問題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）（如圖） l 的參

3、數(shù)方程的參數(shù)方程)0( coscos )cos,(cos),(00000 ttyytxxleyxPxoyll 且且同向的單位向量同向的單位向量是與是與點的一射線，點的一射線，為始為始面上以面上以是是設(shè)設(shè)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束5)( , )cos,cos()( ),(),(0000000PUPltytxPPUyxPyxfz 上上另另一一點點為為內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點點設(shè)設(shè) ),()cos,cos(0000yxftytxfz tPP 0,),()cos,cos( 00000tyxftytxfPPz 考考慮慮時時的的極極限限是是否否存存在在？即即

4、趨趨于于沿沿當當)0(0 tPlP記為記為tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim00000),(00 1.【定義】定義】.,|),()cos,cos(00000000的的方方向向?qū)?shù)數(shù)點點沿沿方方向向在在則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)若若此此比比的的極極限限存存在在時時趨趨于于沿沿著著當當之之比比值值間間的的距距離離到到與與函函數(shù)數(shù)增增量量lPPlPPPPPyxftytxf 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束6 )0 , 1( ),(的的方方向向?qū)?shù)數(shù)為為軸軸正正向向沿沿依依定定義義， iexyxfl的的偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在在在點點若若0),(

5、 Pyxf)0cos, 1cos ( 此此時時tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim00000),(00 ),(),(lim00000),(00yxfyyxxflfyx ) )()( (22yx (2)tyxfytxflfotyx),(),(lim0000),(00 ),(00yxfx 【說明】【說明】(1)對方向?qū)?shù)對方向?qū)?shù), ,以下兩種定義方式等價以下兩種定義方式等價 )0 , 1( ),(的的方方向向?qū)?shù)數(shù)為為軸軸負負向向沿沿 iexyxfl)0cos, 1cos( 此時此時tyxfytxflfotyx ),(),(lim0000),(00),(00yxfx 機動

6、機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束7),(),( 00000yxfyxfyPyy 、分分別別為為數(shù)數(shù)軸軸正正向向、負負向向的的方方向向?qū)c點沿沿同同理理，在在（自己推導）（自己推導）綜上綜上可知：可知：若某點偏導數(shù)存在，能保證該點若某點偏導數(shù)存在，能保證該點沿沿x、y 軸的四個軸的四個射線方向射線方向的方向?qū)?shù)分別的方向?qū)?shù)分別存在存在. .其其它方向的方向?qū)?shù)是否存在它方向的方向?qū)?shù)是否存在不能保證不能保證. . )3(、而而偏偏導導數(shù)數(shù)未未必必存存在在在在但但反反之之，若若方方向向?qū)?shù)數(shù)存存不不存存在在，而而偏偏導導數(shù)數(shù)方方向向?qū)?shù)數(shù)方方向向的的沿沿在在頂頂點點圓

7、圓錐錐面面)0,0()0,0(22 1)0 , 0( xzlzilOyxz 【反例】【反例】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束82. 【方向?qū)?shù)的存在及計算方向?qū)?shù)的存在及計算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導數(shù)有何關(guān)系，有如下定理方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導數(shù)有何關(guān)系，有如下定理【證明】【證明】由假設(shè)由假設(shè))()(),(),( ),(),(2200000000yxoyyxfxyxfyxfyyxxfzyx tyxtytx 22)()(,cos,cos 由由于于 cos),(cos),(),()cos,cos(lim000000000 yxfyxftyxftytxfyxt則則

8、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束9(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】tzyxftztytxflft),()cos,cos,cos(lim0 或或 ),(),(lim0zyxfzzyyxxflf .coscoscos zfyfxflf 同理當函數(shù)在該點同理當函數(shù)在該點可微可微時，函數(shù)在該點沿任時，函數(shù)在該點沿任意方向意方向 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在且有：存在且有：)cos,cos,(cos le )()()(222zyx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束10【解】【解】; 1)0, 1(2)0, 1( y

9、exz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz22)21(2211)0, 1( lz)21,21( le機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束11. 1)2,2()(122222222方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)在這點的內(nèi)法線方向的在這點的內(nèi)法線方向的處沿曲線處沿曲線在點在點求函數(shù)求函數(shù) byaxbabyaxz)0, 0 ba（ ).2,2 )2,212222bababyax （方方向向向向量量為為處處的的內(nèi)內(nèi)法法線線（在在點點曲曲線線22222cosbaa .222cos,22bab 【例【例 2】教材習題】教材習題8-7 P51 第第3題題 【思考思考】取正號可否取正號可否?

10、 ?【解】【解】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束12,2222)2,2(aaxxzaxba 又又,2222)2,2(bbyyzbyba )2,2(balz cos)2,2( baxz cos)2,2( bayz.222baab 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束13【解】【解】 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故),(zyxFFFn ),2, 6, 4( ,142264222 n方向余弦為方向余弦為機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束14,142cos

11、 ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束15三、梯度的概念三、梯度的概念?最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函數(shù)數(shù)在在點點 P【問題】【問題】實例實例一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標分別是一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標分別是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3) 在坐標原點處有一個火焰，它使金屬在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點

12、處的溫度與該點到原點的距離板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？行才能最快到達較涼快的地點？【問題的實質(zhì)問題的實質(zhì)】應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向 （即（即梯度梯度方向）爬行方向）爬行xyo機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束16【注】【注】梯度是定義域所在空間（坐標系）內(nèi)梯度是定義域所在空間（坐標系）內(nèi) 的一個向量的一個向量. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束17 coscosy

13、fxflf leyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 可可微微在在點點若若0),(Pyxf)cos,(cos),( yfxf其中其中), ),(leyxgradf 1cos ，時時當當 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束18【結(jié)論】【結(jié)論】函數(shù)在某點的梯度是個向量，它的方向是函函數(shù)在某點的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值的模等于方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為梯度的模為22)()(),(yfxfyxgradf 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

14、束結(jié)束19在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面),(yxfz 曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等值線等值線),(yxgradf梯度為等值線上的法向量梯度為等值線上的法向量P2. 【梯度的幾何意義梯度的幾何意義】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束20事實上，若事實上，若yxff ,不同時為零，則等值線不同時為零，則等值線cyxf ),(：處的一個單位法向量為處的一個單位法向量為從而點從而點),(000yxP),(2200),(1yxyx

15、yxnffffe 可視為可視為0),(),( CyxfyxF則法向量為則法向量為),(),(yxyxffFFn 與梯度與梯度 方向相同方向相同jyfixfyxgradf ),(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束21等值線的畫法等值線的畫法播放播放機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束22圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形函函數(shù)數(shù)xyzsin 【例如】【例如】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束23【梯度與等值線的關(guān)系】【梯度與等值線的關(guān)系】 （即梯度的幾何意義）（即梯度的幾何意義）向向?qū)?shù)數(shù)的的方方于于函函數(shù)數(shù)在在這這個個法

16、法線線方方向向模模等等高高的的等等值值線線，而而梯梯度度的的值值較較值值較較低低的的等等值值線線指指向向數(shù)數(shù)從從數(shù)數(shù)線線的的一一個個方方向向相相同同，且且在在這這點點的的法法值值線線的的等等的的梯梯度度的的方方向向與與點點在在點點函函數(shù)數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束24.),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)取得最大值，其模為方向?qū)浞较虻姆较驅(qū)?shù)取得最大值，其模為方向?qū)?shù)的最大值數(shù)的最大值. .梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的

17、概念可以推廣到三元函數(shù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束25機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束26【解】【解】 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束271、方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）

18、四、小結(jié)四、小結(jié) . ),( 最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf 即該點方向?qū)?shù)取最大值的方向即該點方向?qū)?shù)取最大值的方向. .lyxeyxgradflf ),(00),(00),(00yxlf cos),(cos),(0000yxfyxfyx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束28【思考題】【思考題】xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 【思考題解答】【思考題解答】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束29 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 的的方方向向?qū)?shù)數(shù)沿沿任任意意方方向向),(yxl 返回返回機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束30等值線的畫法等值線的畫法機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束31等值線的畫法等值線的畫法機動機動 目錄目錄