從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)整體參數(shù)

1、第六章     從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)整體參數(shù) 學(xué)習(xí)要點(diǎn)第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)第二節(jié) 區(qū)間估計(jì) 第三節(jié) 總體均數(shù)的估計(jì) 第四節(jié) 其他總體參數(shù)的估計(jì)本章小結(jié) 學(xué)習(xí)要點(diǎn) 掌握推斷統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容和前提條件理解統(tǒng)計(jì)估計(jì)的原理，掌握統(tǒng)計(jì)估計(jì)的方法 能夠運(yùn)用總體均數(shù)估計(jì)的方法解決實(shí)際問題   第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)當(dāng)總休平均數(shù)或比例未知時，我們可以直接把樣本平均數(shù)或比例用作它的估計(jì)值。由于樣本統(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上的一個點(diǎn)，所以稱為“點(diǎn)估計(jì)值” ?？茖W(xué)研究不僅需要對事物特征作出一般性的描述，而且更要根據(jù)樣本提供的信息去推測相應(yīng)總體的情況，統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的

2、推斷統(tǒng)計(jì)則是專門研究如何用樣本去推斷總體的方法。一、 什么是推斷統(tǒng)計(jì)一般情況下，樣本統(tǒng)計(jì)量是不會和相應(yīng)的總體參數(shù)完全相同的，兩者多少都會有一定的差距，但是如果用無限多個樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，平均估計(jì)誤差將會等于0。具有這一特征的統(tǒng)計(jì)量就無偏估計(jì)值。 例如，用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)時，總會有些誤差，在有些樣本中，它可能會大于總體平均數(shù)，而在另一些樣本中它又可能會小于總體平均數(shù)，而且對于不同的樣本估計(jì)誤差的大小也是不同的，但是無限多個樣本平均數(shù)的平均估計(jì)誤差為0。換句話說，樣本平均數(shù)的平均數(shù)將會等于總體平均數(shù)。推斷統(tǒng)計(jì)就是指由樣本資料去推測相應(yīng)總體情況的理論與方法。也就是由部分推全體，由已

3、知推未知的過程。推斷統(tǒng)計(jì)根據(jù)推測的性質(zhì)不同而分為參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩方面。參數(shù)估計(jì)（parameter estimation）就是用樣本去估計(jì)相應(yīng)總體的狀況，其具體方法有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。假設(shè)檢驗(yàn)（hypothesis test）的主要用途是對出現(xiàn)差異的兩個或多個現(xiàn)象或事物進(jìn)行真實(shí)性情況的檢驗(yàn)，又稱統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（statistical test）。在檢驗(yàn)中又根據(jù)是否需要依賴于對總體分布形態(tài)和總體參數(shù)檢驗(yàn)的假設(shè)而分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)。參數(shù)檢驗(yàn)法在檢驗(yàn)時對總體分布和總體參數(shù)（，）有所要求，而非參數(shù)檢驗(yàn)法在檢驗(yàn)時則不依賴于總體的分布形態(tài)和總體參數(shù)的情況。參數(shù)檢驗(yàn)法主要有檢驗(yàn)、檢驗(yàn)、檢驗(yàn)和檢驗(yàn)等，非參

4、數(shù)檢驗(yàn)（non-parameter test）主要有2檢驗(yàn)、符號檢驗(yàn)法、符號等級檢驗(yàn)法、秩和檢驗(yàn)、中位數(shù)檢驗(yàn)等。二、統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題沒有系統(tǒng)學(xué)過統(tǒng)計(jì)學(xué)的人往往有一種誤解，以為只要搜集了數(shù)據(jù)資料，就可以用統(tǒng)計(jì)方法來處理數(shù)據(jù)。殊不知統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在概率論基礎(chǔ)上的，而概率論是專門研究隨機(jī)事件的。因此，在做統(tǒng)計(jì)推斷之前必須考慮你所獲得的資料是否能夠用統(tǒng)計(jì)的方法來分析。通常，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時應(yīng)首先考慮以下三個方面的問題。一是關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷的基本前提。統(tǒng)計(jì)推斷的前提是隨機(jī)抽樣。因此當(dāng)我們利用樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行總體推斷時，首先要了解抽樣的方式，即了解樣本是如何得來的，是隨機(jī)抽取的，還是人為抽取的。隨機(jī)抽樣的均等性和

5、獨(dú)立性，避免了入樣個體只來自總體的某一部分，從而也就避免了樣本的偏倚性?？梢哉f，樣本的抽取直接關(guān)系著統(tǒng)計(jì)研究結(jié)果的科學(xué)性。二是樣本的規(guī)模與樣本的代表性。抽樣研究需要有一定的樣本規(guī)模，而樣本要具有代表性也需要有一定的樣本規(guī)模來保證，以減少抽樣誤差。一般來說，在其它條件相同的情況下，樣本越小，抽樣的誤差越大；樣本越大，抽樣的誤差就越小。當(dāng)樣本增至包括總體的全部個體（即）時，抽樣的誤差為0。因此，只要條件允許，盡可能地采用大樣本，以增強(qiáng)樣本對總體的代表性和可靠性。值得注意的樣本規(guī)模和樣本代表性是建立在隨機(jī)抽樣基礎(chǔ)之上的，否則即使樣本再大也是無意義的。三是統(tǒng)計(jì)推斷的錯誤要有一定限度。統(tǒng)計(jì)推斷是在特定的

6、時間、空間和條件下得出的結(jié)論，加上抽樣誤差的影響，在用樣本推測總體時總會犯一定的錯誤。這種錯誤在統(tǒng)計(jì)推斷中是不可避免的，也是允許的。不過這種錯誤要有一定的限度，超過一定限度的錯誤是不允許的。統(tǒng)計(jì)推斷中允許犯錯誤的限度是用小概率事件來表示。 第二節(jié) 區(qū)間估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)的定義所謂參數(shù)估計(jì)就是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)相應(yīng)總體的參數(shù)。譬如我們可以根據(jù)樣本均數(shù)（）去估計(jì)總體的均數(shù)（），根據(jù)樣本方差（）去估計(jì)總體方差（），根據(jù)樣本的相關(guān)系數(shù)（）去估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)（）等等。二、參數(shù)估計(jì)的方法參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。譬如，某學(xué)區(qū)期末時抽取所管轄的小學(xué)四年級的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績，求得平均分70分，標(biāo)準(zhǔn)

7、差10分，于是一個管理者認(rèn)為全區(qū)四年級的數(shù)學(xué)平均分可能是70分，而另一個管理者則認(rèn)為全區(qū)四年級數(shù)學(xué)平均分可能性在6575之間。因前者是用數(shù)軸上的一點(diǎn)做估計(jì)，稱為點(diǎn)估計(jì)。后者是用數(shù)軸上的一段距離做估計(jì)，稱區(qū)間估計(jì)。（一）點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)（point estimation）是在參數(shù)估計(jì)中直接以樣本的統(tǒng)計(jì)量（數(shù)軸上的一個點(diǎn)）作為總體參數(shù)的估計(jì)值。譬如用樣本統(tǒng)計(jì)量：，、等作為總體參數(shù)、等的估計(jì)值。但是作為良好點(diǎn)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量必須具備一定的前提條件。1無偏性用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)必然會存在一定的誤差，而恰好相等的情形是極少見的。當(dāng)然，無偏性并不是說沒有一點(diǎn)誤差，而是要求用各個樣本的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)值時，其偏差為0

8、，即這時的統(tǒng)計(jì)量被稱為無偏估計(jì)量（unbiased estimator）。譬如，根據(jù)中心極限定理二有，即樣本均數(shù)的均數(shù)是總體均數(shù)的無偏估計(jì)量，亦即我們可以用樣本均數(shù)的均數(shù)作為總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。假設(shè)我們從某市四個區(qū)的六歲男童中隨機(jī)抽取四個樣本，對每個樣本測量其身高的平均數(shù)，再求得四個樣本均數(shù)的均數(shù)為110.70公分，并此值作為該市所有六歲男孩的平均身高就是一個點(diǎn)估計(jì)。如果，大于0或小于0，那么這時的統(tǒng)計(jì)量就為有偏估計(jì)量。作為總體參數(shù)的良好估計(jì)值是應(yīng)當(dāng)具備無偏性的。當(dāng)樣本容量足夠大的時候，用樣本均數(shù)或樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體相應(yīng)參數(shù)的估計(jì)量都可視為無偏估計(jì)量。正因?yàn)槿绱?，在大樣本統(tǒng)計(jì)分析中，常用樣本標(biāo)

9、準(zhǔn)差（）去代替總體標(biāo)準(zhǔn)差（）。當(dāng)總體分布呈正態(tài)時，中數(shù)也是總體均數(shù)的無偏估計(jì)量。然而由于抽樣誤差的普遍存在，我們不能期待一次抽樣就能對總體參數(shù)作出精確的估計(jì)。加之點(diǎn)估計(jì)不能給出估計(jì)誤差及其可靠性有關(guān)信息，因此采用點(diǎn)估計(jì)時應(yīng)特別注意樣本統(tǒng)計(jì)量所具有的特性。2一致性總體參數(shù)的估計(jì)量隨樣本容量的無限增大，應(yīng)當(dāng)能越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)。例如正態(tài)總體的總體均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，如果是從總體中隨機(jī)抽取樣本獲得的平均數(shù)，其容量為，則當(dāng)時,；。這時樣本統(tǒng)計(jì)量的均數(shù)就是總體參數(shù)的一個估計(jì)值，或者說與是一致的。3有效性當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)量不止一個統(tǒng)計(jì)量時,則要分析無偏估計(jì)量的變異大小的情況。無偏估計(jì)量變異性小

10、的,有效性較高；無偏估計(jì)量變異性大的，則有效性較低。例如作為總體均數(shù)的估計(jì)值來說，樣本均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)等都是無偏估計(jì)量。這時選誰作為估計(jì)值最恰當(dāng)則要看誰的變異性最小。在，和中只有的變異性最小，即的方差最小。所以用統(tǒng)計(jì)量樣本均數(shù)作為總體參數(shù)的估計(jì)值是最佳選擇。這也同時說明為什么在統(tǒng)計(jì)推斷中不常使用中數(shù)和眾數(shù)。4充分性充分性是指一個容量為的樣本統(tǒng)計(jì)量是否充分地反映了全部個數(shù)所反映的總體信息。從，和的比較中我們已知，只有在求均數(shù)時個數(shù)據(jù)全部參與計(jì)算，它充分地反映所有數(shù)據(jù)所要反映的總體信息，而在計(jì)算和時只有部分?jǐn)?shù)據(jù)參與計(jì)算，是用部分?jǐn)?shù)據(jù)反映的總體信息。因此平均數(shù)的充分性最高，中數(shù)和眾數(shù)的充分性較低。同

11、理，在差異量數(shù)中方差和標(biāo)準(zhǔn)差要比平均差、四分位差更具有充分性。一個好的點(diǎn)估計(jì)應(yīng)當(dāng)具備以上四個條件。但是無論如何，抽樣誤差總是存在，加上點(diǎn)估計(jì)不能提供正確估計(jì)的概率，所以應(yīng)用時受到局限。例如，我們只能大體上知道樣本容量比較大時，多數(shù)的靠近，但是樣本容量究竟大到什么程度，“多數(shù)”、“靠近”到什么程度，“多數(shù)”到底是多少等等都是很模糊的。點(diǎn)估計(jì)的這些不足以及缺陷可以用區(qū)間估計(jì)的方法來彌補(bǔ)。第三節(jié) 總體均數(shù)的估計(jì)一、均數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤均數(shù)估計(jì)就是用樣本均數(shù)去估計(jì)總體均數(shù)。在用樣本均數(shù)（）對總體均數(shù)（）進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時，樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤（）是衡量抽樣誤差大小的重要指標(biāo)，而樣本均數(shù)的抽樣分布則是進(jìn)行這種估計(jì)的

12、理論依據(jù)。（一）標(biāo)準(zhǔn)誤的定義式已知當(dāng)總體2已知時，根據(jù)中心極限定理三有因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)誤與總體標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本容量的平方根成反比，所以總體標(biāo)準(zhǔn)差越小，標(biāo)準(zhǔn)誤越?。粯颖救萘吭酱?，標(biāo)準(zhǔn)誤也越小。對于一個指定的總體來說，其總體標(biāo)準(zhǔn)差是一個確定的數(shù)。因此，在實(shí)際工作中，增大樣本容量可以減小均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，這是提高估計(jì)精度的重要手段。對于總體均數(shù)進(jìn)行估計(jì)時，如果已知，那么只需從總體中抽取一個容量為n的隨機(jī)樣本，就可以求出而對其區(qū)間作出估計(jì)，其區(qū)間估計(jì)公式為（二）標(biāo)準(zhǔn)誤的近似式未知在實(shí)際工作中，總體方差及總體標(biāo)準(zhǔn)差往往是未知的。這時我們只能根據(jù)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差。用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差時必須考

13、慮其無偏估計(jì)量的問題。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)量。因此，以作為的點(diǎn)估計(jì)是不恰當(dāng)?shù)?。但是樣本的無偏標(biāo)準(zhǔn)差卻是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)量，即統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的平均數(shù)恰好等于。因此，這里的樣本無偏標(biāo)準(zhǔn)差定義為由于是的無偏估計(jì)量，且當(dāng)n一定時，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤小于，所以當(dāng)n足夠大且一定時，的近似程度高于。于是，有了樣本平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的近似公式 當(dāng)總體未知時，即可采用這一公式計(jì)算均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。二、總體均數(shù)的估計(jì)方法總體均數(shù)的估計(jì)方法大致有三種，一種以正態(tài)分布理論為依據(jù)的估計(jì)法，稱正態(tài)估計(jì)法。一種是以分布理論為依據(jù)的估計(jì)方法，稱分布估計(jì)法。三是以漸近正態(tài)分布為依據(jù)的估計(jì)方法，稱近似正態(tài)估

14、計(jì)法。三種方法適用于不同的資料形式。（一）正態(tài)估計(jì)法正態(tài)估計(jì)法適用于總體方差2已知的數(shù)據(jù)資料。其具體應(yīng)用情形有二，一是總體呈正態(tài)時，不論樣本容量的大小，樣本均數(shù)的分布都呈正態(tài)分布。因?yàn)?，中心極限定理一指出，總體正態(tài)時，從總體抽取的容量為n一切可能樣本的均數(shù)呈正態(tài)分布。二是總體呈非正態(tài)時，只要樣本容量大于30，樣本均數(shù)的分布呈近似正態(tài)分布。因?yàn)?，中心極限定理一指出，當(dāng)足夠大時，無論總體分布形態(tài)如何，樣本均數(shù)的分布服從或接近正態(tài)分布。第四節(jié) 其他總體參數(shù)的估計(jì)參數(shù)估計(jì)除總體均數(shù)的估計(jì)外，還有總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)、總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)和總體比例的估計(jì)等等。這種參數(shù)估計(jì)過程大致相同，主要區(qū)別在于標(biāo)準(zhǔn)誤

15、的計(jì)算不同。一、總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì) （一）總體方差的估計(jì) 由于樣本方差與總體方差比值的分布呈分布，所以有，或 例8-5：從某校初三學(xué)生中隨機(jī)抽取10份物理成績，計(jì)算得平均分為71.2,標(biāo)準(zhǔn)差（）為14.46。試估計(jì)物理成績的方差在什么范圍之內(nèi)。 1）選擇顯著性水平。假設(shè)本例選 2）計(jì)算自由度。本例， 3）查顯著性臨界值表，確定和，本例有 ， 4）代入公式，作出估計(jì)，或 5）結(jié)果解釋 該校初三學(xué)生物理成績的方差有98%的可能會落在86.86901.20之間或標(biāo)準(zhǔn)差會落在9.3230.02之間，超出這一范圍的可能只有2%。從這一結(jié)果看，物理成績標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間較大，若增加樣本容量可縮小區(qū)間差距

16、。 （二）總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)既可以采用上述總體方差估計(jì)區(qū)間的平方根，也可以直接利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差稱標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)誤，其公式為（或）因其近似正態(tài)分布，所以總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為 用此法對例8-5進(jìn)行總體標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)，則有 二、總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì) 由樣本相關(guān)系數(shù)形成的分布形式較多，因此計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的及置信限的方法也較為復(fù)雜。這里只介紹常用方法Fisher的Z函數(shù)分布法。Fisher的Z函數(shù)分布法是通過將樣本相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換為值（因的樣本分布近似正態(tài)分布），并以值進(jìn)行估計(jì)，然后再將值還原為值的做法。這種既無需考慮樣本容量大小，也無需顧忌總體相關(guān)系數(shù)。例8-6：某教師經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，其所教班級學(xué)生（55人）的數(shù)學(xué)成績與物