數(shù)字圖像置亂

1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：

2、所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?福州大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ： 1. 詹小青 031201206 2. 鄭雅娟 031201207 3. 陳丹凡 031201208 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 王宏健 日期： 2014 年 4 月 26 日數(shù)字圖像置亂 摘要把一幅數(shù)字圖像變換為一幅雜亂無章的加密圖像的過程就是數(shù)字圖像的置亂。把置亂后的圖像恢復(fù)為原始圖像的過程為圖像復(fù)原。這是一個(gè)加密解密過程。加密過程可以描述如下：明文加密器密文，我們采用HILL密碼，因?yàn)樗峁﹫D像為256*256的，所以可以用MATLAB將其轉(zhuǎn)化成在模256下的矩陣 ，為了計(jì)算方便把它分割成32個(gè)8*

3、8的小矩陣 。然后選取可逆整數(shù)矩陣為加密過程的密鑰，其中 與256互質(zhì)。再將32個(gè)八階方陣分別左乘“密鑰” ，則，再將32個(gè) 整合在一起即可得到（其中 為置亂后圖像的明文信息）。用MATLAB編程后就可以得到置亂后的圖像。解密過程可以描述如下：密文普通信道解密器明文，解密過程是加密過程的逆過程。先將分割成32個(gè)8*8的小矩陣，用MATLAB計(jì)算出矩陣 的逆 。然后由可得：,根據(jù)該公式可以用MATLAB計(jì)算出 。再將解出來的32個(gè) 整合起來得到數(shù)字矩陣即為復(fù)原后圖像的明文信息。關(guān)鍵詞：矩陣，置亂與復(fù)原，加密與解密，HILL密碼， MATLAB1、 問題重述隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的高速發(fā)展，大量的個(gè)人信息和

4、公眾信息在網(wǎng)上傳播，使得信息安全顯得日趨重要。圖像信息生動(dòng)形象，是我們表達(dá)信息的常用手段之一，因此圖像信息安全十分重要。通常我們?cè)谟?jì)算機(jī)或者網(wǎng)絡(luò)上存儲(chǔ)或者傳輸?shù)膱D像都是數(shù)字圖像(Digital Image)。一幅數(shù)字圖像P可以看作是一個(gè)矩陣P，矩陣的元素所在的行與列，就是圖像顯示在計(jì)算機(jī)屏幕上的諸像素點(diǎn)的坐標(biāo)，元素的數(shù)值就是像素的灰度(通常有256個(gè)等級(jí)，用整數(shù)0至255表示)。如有的衛(wèi)星圖片大小為2340×3240，約758萬像素。針對(duì)數(shù)字圖像的安全保密問題，信息隱藏與偽裝技術(shù)是其主要手段，其中包括如下幾個(gè)重要課題：（1）數(shù)字圖像的置亂技術(shù)；（2）數(shù)字圖像的分存技術(shù)；（3）數(shù)字圖像

5、的隱藏技術(shù)；（4）數(shù)字圖像的水印技術(shù)。讓我們考慮數(shù)字圖像的置亂問題。把一幅數(shù)字圖像變換為一幅雜亂無章的加密圖像的過程就是數(shù)字圖像的置亂（Digital Image Scrambling）。把置亂后的圖像恢復(fù)為原始圖像的過程為圖像復(fù)原。這是一個(gè)加密解密過程?？紤]以下問題：（1）設(shè)計(jì)一種數(shù)字圖像的置亂算法（包括復(fù)原）。（2）在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)算法，并用題目所附的圖像（Lena.bmp）給出置亂后的圖像。（3）分析置亂算法的優(yōu)缺點(diǎn)。二、問題分析該問題我們小組經(jīng)討論后決定用HILL密碼進(jìn)行加密。Hill密碼是一種傳統(tǒng)的密碼體系，它的加密過程可以描述如下：明文加密器密文普通信道解密器明文。該圖片的加密過

6、程可利用HILL密碼來實(shí)現(xiàn)。先用MATLAB軟件將 的圖片的信息轉(zhuǎn)化為明文信息，即采集成數(shù)字矩陣 來表示。然后選擇一個(gè)在模256下的可逆整數(shù)方陣作為Hill密碼的加密矩陣，它是這個(gè)加密體制的“密鑰”。由于數(shù)字矩陣太過龐大，我們采用矩陣分塊的方式分為32個(gè)可逆的八階方陣 。再將32個(gè)八階方陣分別左乘“密鑰” ，則，再將32個(gè) 整合在一起得到 。用MATLAB編程后便可以得到置亂后的圖像。這就是圖片的置亂算法的思路。解密過程即為上述過程的逆過程。同樣將 分成32個(gè)八階矩陣，在模256運(yùn)算下解方程組的問題，同樣用MATLAB計(jì)算出矩陣 的逆，再將解出來的32個(gè) 整合起來得到數(shù)字矩陣。這就是圖片的復(fù)原

7、算法的思路。 三、模型假設(shè)（1）程序中使用的圖形為題目所提供，無損壞； （2）圖像規(guī)格大小為256*256 ；（3）圖像為灰度圖片，非彩色圖片。四、 模型的建立和求解問題一：數(shù)字圖像置亂原理的具體框圖如下：待置亂圖像置亂置亂圖像復(fù)原復(fù)原圖像密鑰 密鑰 數(shù)字圖像的置亂算法：（具體程序詳見附錄二） 用MATLAB軟件將 的圖片的信息轉(zhuǎn)化為明文信息，即采集成數(shù)字矩陣 來表示，采用矩陣分塊的方式分為32個(gè)可逆的八階方陣。（具體矩陣和過程詳見附錄一） 選擇可逆整數(shù)方陣作為加密矩陣，用MATLAB可以計(jì)算出（程序見附錄三） 與256互質(zhì)，所以 是這個(gè)加密體制的“密鑰”。 將32個(gè)八階方

8、陣分別左乘“密鑰” ，則，再將32個(gè) 整合在一起即可得到（其中 為置亂后圖像的明文信息）。用MATLAB編程后就可以得到置亂后的圖像。數(shù)字圖像的復(fù)原算法：（具體程序同樣詳見附錄二） 同樣將 分成32個(gè)八階矩陣，因?yàn)槭窃谀?56下的矩陣，所以問題轉(zhuǎn)化成在模256的運(yùn)算下解方程組的問題，同樣用MATLAB計(jì)算出矩陣 的逆：（程序見附錄三） ，然后解方程組，再將解出來的32個(gè)小方陣 整合起來得到數(shù)字矩陣，即為置亂前圖像的明文信息，圖像就得到復(fù)原。問題二：算法的實(shí)現(xiàn)： 置亂前的圖像 置亂后的圖像 復(fù)原后的圖像問題三：算法的優(yōu)缺點(diǎn)詳見“模型的評(píng)價(jià)”6、 模型的評(píng)價(jià)（1) 此方法原理簡單，容易實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算量

9、小； （2）置亂后的圖像不夠加密，置亂度不夠高，安全性仍需加強(qiáng)；（3）方程變換過于簡單，容易找到逆運(yùn)算，安全性不高；（4）本方法只適用于256*256規(guī)格的圖片。七、模型改進(jìn)方向 本方法利用HILL密碼原理簡單，容易實(shí)現(xiàn)，但加密過于簡單，置亂效果較好。如有必要，可對(duì)圖像進(jìn)行多次加密和相應(yīng)的多次解密，安全性會(huì)更強(qiáng)。但是由于圖像規(guī)格是256*256的，對(duì)其他規(guī)格的圖像無法加密與解密，在實(shí)用性方面還有許多需要改善的地方。今后數(shù)字圖像置亂技術(shù)的研究方向?qū)?cè)重于完善圖像置亂理論，提高置亂算法的安全性、穩(wěn)健性，研究其在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，建立相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)等。附件程序：附錄一（只截取部分）附錄二（加密和

10、復(fù)原程序）>> %加密>> G=imread('E:數(shù)學(xué)模型講義題目附圖lena.bmp');>> w0=double(G);>> m,n=size(w0);>> B=mat2cell(w0,ones(256/8,1)*8,ones(256/8,1)*8);%將256*256矩陣分成32個(gè)8*8的小矩陣>> A=1 1 2 0 1 2 1 1;0 0 1 1 2 1 0 2;2 1 1 0 3 0 1 2;0 2 1 3 0 0 2 2;2 0 3 1 2 2 1 1;3 2 1 3 2 1 2 2;3 2

11、 0 0 1 2 0 1;2 0 0 2 0 1 0 1;>> for i=1:32*32; Bi=mod(A*Bi,n);%Bi為加密一次后的32個(gè)小矩陣 X=cell2mat(B);%將32個(gè)小矩陣合成256*256矩陣 end>> P=uint8(X);%P為置亂后圖像的矩陣>> imshow(P)>> %復(fù)原>> X=double(P);>> B=mat2cell(X,ones(256/8,1)*8,ones(256/8,1)*8);%將256*256矩陣分成32個(gè)8*8的小矩陣>> a=round(det(A);%取整數(shù)>> n=256;>> c=mod_daoshu(a,n);>> C=a*inv(A);>> invA=c*C;>> for i=1:32*32; Bi=mod(invA*Bi,n);%Bi為加密一次后的32個(gè)小矩陣 Y=cell2mat(B);%將32個(gè)小矩陣合成256*256矩陣 end>> Q=ui