第一章 習(xí)題 1-8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)作業(yè)講評第一章 習(xí)題 1-8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)無關(guān)無關(guān)充要充要充分充分必要必要條件條件處連續(xù)的處連續(xù)的在在是是處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)條件條件有極限的有極限的時時是當(dāng)是當(dāng)處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)單項(xiàng)選擇題：單項(xiàng)選擇題： , , .)()()()2(;)()()() 1 (. 10000DCBAxxxfxxxfxfxxxxxfA 應(yīng)選應(yīng)選)2(D 應(yīng)選應(yīng)選答：答： ) 1 (DA.)3, 1()()(. 2它成為連續(xù)點(diǎn)它成為連續(xù)點(diǎn)修改函數(shù)值的定義，使修改函數(shù)值的定義，使并對可去間斷點(diǎn)補(bǔ)充或并對可去間斷點(diǎn)補(bǔ)充或內(nèi)的全部間斷點(diǎn)，內(nèi)的全部間斷點(diǎn)，在在指出指出的圖形如下圖所示，試的圖形如下圖

2、所示，試設(shè)設(shè) xfxfyxyo)(xfy 1111223., 210為函數(shù)的間斷點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)、解：解： xxx.0 為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x 修改定義：修改定義：為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn),1x 補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義： , 0)2()(lim2fxfx則則.2)(處處連連續(xù)續(xù)在在則則 xxf. 2) 1 ()(, 2) 1 (lim1fxffx 則則令：令：.1)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxf ,2 為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)x, 0)2(f 令令處連續(xù)？處連續(xù)？在在可使函數(shù)可使函數(shù)取何值時取何值時問常數(shù)問常數(shù) 0;0, 11sin0,0,sin1)(,. 3xxxxxkxxxxf

3、k. 1sin1)0(lim0 xxfx 解：解：. 111sin)0(lim0 xxfx).0()0()0(,0)(fffxxf 應(yīng)應(yīng)處連續(xù)處連續(xù)在在欲使欲使. 1 k .,31,1)(. 4并畫處函數(shù)的圖形并畫處函數(shù)的圖形的連續(xù)性的連續(xù)性；研究函數(shù)研究函數(shù) , xxxxxxf.)(,311連續(xù)連續(xù)時時、當(dāng)當(dāng)解：解： xfxx 討論：討論：.1)(. 1) 1 ()1 ()1 (1處連續(xù)處連續(xù)在在處處在在 xxffffx)1()1(. 1)1(; 1)1(1ffffx 處處在在.1)(處不連續(xù)處不連續(xù)在在 xxfxyo111133.)(xfy ; 1)3(3lim3xxfxx處處在在.3)(

4、處右連續(xù)處右連續(xù)在在 xxf );3(1)3(3lim3fxxfxx處處在在.3)(處處左左連連續(xù)續(xù)在在 xxf)4(題題的的函函數(shù)數(shù)圖圖形形第第 起大家的注意！起大家的注意！是實(shí)心的，這些應(yīng)該引是實(shí)心的，這些應(yīng)該引點(diǎn)點(diǎn)該畫實(shí)心處也不強(qiáng)調(diào)該該畫實(shí)心處也不強(qiáng)調(diào)該畫空心處沒畫成空心，畫空心處沒畫成空心，該該是不好的習(xí)慣。另外，是不好的習(xí)慣。另外，且圖形畫得很隨意，這且圖形畫得很隨意，這軸及原點(diǎn)和單位長，軸及原點(diǎn)和單位長，、有的同學(xué)畫圖時不標(biāo)明有的同學(xué)畫圖時不標(biāo)明講評：講評： yxxyo111133.)(xfy ; 1)3(3lim3xxfxx處處在在.3)(處右連續(xù)處右連續(xù)在在 xxf );3(1

5、)3(3lim3fxxfxx處處在在.3)(處處左左連連續(xù)續(xù)在在 xxf)4(題題的的函函數(shù)數(shù)圖圖形形第第 義使它連續(xù)：義使它連續(xù)：則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定點(diǎn)點(diǎn)一類？如是可去間斷一類？如是可去間斷說明這些間斷點(diǎn)屬于哪說明這些間斷點(diǎn)屬于哪斷斷下列函數(shù)在指出點(diǎn)處間下列函數(shù)在指出點(diǎn)處間 ,. 5; 2, 1,231) 1 (22xxxxxy ,1處處在在解：解： x. 221)2)(1() 1)(1(231limlimlim11221xxxxxxxxxxxx 因?yàn)橐驗(yàn)? 2) 1 (.1fx 補(bǔ)充定義：補(bǔ)充定義：斷點(diǎn)斷點(diǎn)為函數(shù)的第一類可去間為函數(shù)的第一類可去間所以所以 231,222

6、2limxxxxx因?yàn)橐驗(yàn)樘幪幵谠?.2斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類無無窮窮間間所所以以x; 0,)1ln()()2(xkxxfxm .elnln )ln( , limlimkmkmkxkxxkmkxxxmx100110因?yàn)橐驗(yàn)樘幪幵谠诮猓航猓?)0(.0kmfx 補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義：斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的第第一一類類可可去去間間所所以以; 0,1cos)3(2xxy .0.1cos20lim斷點(diǎn)斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類振蕩間為函數(shù)的第二類振蕩間所以所以振蕩不存在振蕩不存在因?yàn)橐驗(yàn)榻猓航猓簒xx)., 2, 1, 0(2,tan)4( kkxkxxxy .)0(,tan)0(lim為無窮間斷

7、點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)當(dāng)解：解：kkxxxkkxkx .0, 1tan0lim0為第一類可去間斷點(diǎn)為第一類可去間斷點(diǎn)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)當(dāng) xxxxx. 1)0(y 補(bǔ)充定義：補(bǔ)充定義：)., 2, 1, 0(2 kkx 當(dāng)當(dāng). 0)2( ky 補(bǔ)充定義：補(bǔ)充定義： 2, 0tanlim2 kxxxkx所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?為第一類可去間斷點(diǎn)為第一類可去間斷點(diǎn).)(,11)(. 622lim是否為初等函數(shù)是否為初等函數(shù)并指出并指出則判別類型則判別類型若有間斷點(diǎn)若有間斷點(diǎn)的連續(xù)性的連續(xù)性討論討論 xfxxxxfnnn.1.1,1, 01,11)(22lim為分段函數(shù)的分段點(diǎn)為分段函數(shù)的分段點(diǎn)解：解： xxxxxxxxxxfnnn1)1 ()1 (. 1)1 (; 1)1 (:1)1()1(. 1)1(; 1)1(:1xffffxffffx 因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)處點(diǎn)處在在因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)處點(diǎn)處