高中數(shù)學(xué)集合總結(jié)+題型分類+完美解析(共24頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上集合【知識(shí)清單】1.性質(zhì)：確定性、互易性、無序性.2.元素和集合的關(guān)系：屬于“”、不屬于“”.3.集合和集合的關(guān)系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集個(gè)數(shù)=；真子集個(gè)數(shù)=.5.交集： 并集： 補(bǔ)集：6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.題型一、集合概念 解決此類型題要注意以下兩點(diǎn)：要時(shí)刻不忘運(yùn)用集合的性質(zhì)，用的最多的就是互易性；元素與集合的對(duì)應(yīng)，如數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)集，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)集.【No.1 定義&性質(zhì)】1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）方程的解集為集合與的公共元素所組成的集合是集合與集合沒有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3分析：

2、中的式子是方程但不是一個(gè)函數(shù)，所以我們要求的解集不是的值所構(gòu)成的集合，而是和的值的集合，也就是一個(gè)點(diǎn).答案：A詳解：在中方程等價(jià)于，即。因此解集應(yīng)為，錯(cuò)誤；在中，由于集合的元素是，所以當(dāng)時(shí)，.同理，中，錯(cuò)誤；在中，集合即，而，畫出數(shù)軸便可知這兩個(gè)集合可能有公共的元素，錯(cuò)誤.故選A.2.下列命題中，（1）如果集合是集合的真子集，則集合中至少有一個(gè)元素； （2）如果集合是集合的子集，則集合的元素少于集合的元素；（3）如果集合是集合的子集，則集合的元素不多于集合的元素；（4）如果集合是集合的子集，則集合和不可能相等錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是（）A0 B1 C2 D3分析：首先大家要理解子集和真子集

3、的概念，如果集合是集合的子集，那么中的元素個(gè)數(shù)要小于或等于中元素的個(gè)數(shù)；如果集合是集合的真子集，那么中的元素個(gè)數(shù)要小于中元素的個(gè)數(shù).答案：詳解：（1）如果集合是集合的真子集，則集合中至少有一個(gè)元素，故（1）正確；（2） 如果集合是集合的子集，則集合的元素少于或等于集合的元素，故（2）不正確；（3）如果集合是集合的子集，則集合的元素不多于集合的元素，故（3）正確；（4）如果集合是集合的子集，則集合和可能相等，故（4）不正確故選3.設(shè)、為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集，P中含有0，2，5三個(gè)元素，中含有1，2，6三個(gè)元素，定義集合中的元素是，其中,，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6分析：因?yàn)?/p>

4、，所以中的元素是中的元素和中元素兩兩相加而得出的，最后得出的集合還要考慮集合的互易性.答案：B詳解：當(dāng)時(shí)，依次取1,2,6，得的值分別為1,2,6；當(dāng)時(shí)，依次取1,2,6，得的值分別3,4,8；當(dāng)時(shí)，依次取1,2,6，得的值分別6,7,11；由集合的互異性得中的元素為1,2,3,4,6,7,8,11，共8個(gè)，故選B.4.設(shè)數(shù)集同時(shí)滿足條件中不含元素，若，則.則下列結(jié)論正確的是 (    )A集合中至多有2個(gè)元素；B集合中至多有3個(gè)元素；C集合中有且僅有4個(gè)元素；D集合中有無窮多個(gè)元素.分析：已知時(shí)，.那么我們可以根據(jù)條件多求出幾個(gè)集合的元素，找出規(guī)律并且判斷元素之

5、間是否有可能相等，從而判斷集合中元素的個(gè)數(shù).答案：詳解：由題意，若，則，則，則，若，則，無解，同理可證明這四個(gè)元素中，任意兩個(gè)元素不相等，故集合中有且僅有4個(gè)元素-【No2. 表達(dá)方式】5.下列集合表示空集的是（ ）A.B.C.D.分析：本題考查空集的概念，空集是指沒有任何元素的集合.答案：D詳解：，方程無實(shí)數(shù)解，故選D.6.用描述法表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)被5除余2的所有整數(shù)的全體構(gòu)成的集合分析：描述法就是將文字或數(shù)字用式子表示出來.但是要注意題中給出的元素的范圍詳解：(1)；(2)；(3)；(4)=題型二、不含參數(shù) 中的參數(shù)是指方程的非最高次項(xiàng)系數(shù) 解決此類型題應(yīng)注意：

6、區(qū)分，的區(qū)別；會(huì)用公式求子集、真子集、非空真子集的個(gè)數(shù)； .【No.1 判斷元素/集合與集合之間的關(guān)系】1.給出下列各種關(guān)系0；0；其中正確的是（ ）A. B. C. D.分析：本題需要大家分清，三個(gè)符號(hào)的意義和區(qū)別：-“屬于”，用于表示元素和集合的關(guān)系；，-“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之間的關(guān)系.答案：A詳解：錯(cuò)誤，應(yīng)為；正確；應(yīng)為；2.若為全集，下面三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）（1）若 （2）若（3）若A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)分析：本題應(yīng)先簡(jiǎn)化后面的式子，然后再和前面的條件對(duì)比.答案：D 詳解：（1）； （2）； （3）證明：,即，而，； 同理， ；-【No.2 子集、真子集】

7、3.從集合的子集中選出4個(gè)不同的子集，須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：，都要選出；對(duì)選出的任意兩個(gè)子集和，必有或.那么共有 種不同的選法.分析：由可以知道選出的子集中一定有和，我們要求得只剩兩個(gè)集合。根據(jù)（以為例）可以從討論中有1個(gè)或2個(gè)元素有幾種選法來確定的選法.注意中不可能有3種元素，因?yàn)檫@樣中會(huì)出現(xiàn)和中的元素，與題意和性質(zhì)不符.答案：36詳解：由題意知，集合必有子集和，只需考慮另外兩個(gè)集合如果中含有一個(gè)元素，有4種選法，相應(yīng)的，集合中有6中選法，共24種；如果中含有兩個(gè)元素，有6種選法，相應(yīng)的，集合中有2中選法，共12種；即總共有36種選擇。4.已知集合，那么滿足的集合有（）A1個(gè) B2個(gè) C3

8、個(gè) D4個(gè)分析：本題求的是集合的子集個(gè)數(shù)答案：詳解：根據(jù)題意，則或，則集合，其中有個(gè)元素，則其子集有個(gè)，滿足的集合有4個(gè)，故選5.若集合，且則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A3個(gè) B4個(gè) C7個(gè) D8個(gè)分析：集合，說明同時(shí)是兩個(gè)集合的子集.答案：詳解：根據(jù)題意，集合，且即為的子集，而中有3個(gè)元素，共有個(gè)子集；即滿足條件的的個(gè)數(shù)為8；故選-【No.3 集合間的運(yùn)算】 6設(shè)全集,集合，,那么等于_.分析：首先要注意本題要求的是點(diǎn)集，集合的含義是不含有的直線上的點(diǎn)集，表示的就是；表示.答案： 詳解：，代表直線上，但是挖掉點(diǎn)，代表直線外，但是包含點(diǎn)；代表直線外，代表直線上，.7.已知，則,則（ ）A.21

9、 B.8 C.6 D.7分析：從入手得，既是的元素又是的元素，那么代入便可以求出和的值.答案：A詳解：由已知得，所以是方程和的根，故將代入得，；.所以.8. 已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，. 設(shè)， ，若，試求，的值。分析：對(duì)的含義的理解是本題的關(guān)鍵，；詳解：由， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2個(gè)。又因?yàn)?，則A中的1，3，5，7，9都不在C中，從而只能是因此，.=題型三、集合含參 解決此類型題應(yīng)注意：遇到子集需從和不是兩方面討論，如.會(huì)解各種類型的不等式.如果方程中的最高次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，要記得對(duì)參數(shù)是否為0進(jìn)行討論.【No.1 集合vs.集合】1.設(shè)，若,則的值為（ ）A.1 B.2

10、 C.3 D.4分析：因?yàn)椋灾斜睾?，中必不含元?答案：B詳解：因?yàn)?，所以，解?時(shí)，滿足 所以實(shí)數(shù)的值為2 或代入 成立 同理 代入無解，故舍去.綜上 2.已知集合，集合（1）若，求的值；（2）若，且，求的取值范圍分析：（1）中得出和中不等式的解相同，那我們算出集合的解集，再由韋達(dá)定理求出即可；（2） 由可得 題目中只要看到類似這種子集問題，必然要先討論B是否為，因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以也是一種情況必須要討論.詳解：（1）由得，所以集合           

11、60;      由知，的解集為，所以方程的兩根分別為1和3由韋達(dá)定理可知，解得，即為所求 （3） 由知， 當(dāng)時(shí)，有，解得；      當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為，解得綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是-【No.2 集合vs.不等式】3.設(shè)集合，B=.若，則實(shí)數(shù)，必滿足（ ）分析：做這種題首先要先會(huì)解絕對(duì)值不等式，然后再比較端點(diǎn)即可.答案：D詳解：因?yàn)椋覄t有或即或即，選D.4.集合，(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),求的非空真子集個(gè)數(shù);(3)當(dāng)時(shí),沒有

12、元素使與同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：此問題解決要注意：(1)中的分類討論；(2)集合的非空真子集的個(gè)數(shù)=；(3)當(dāng)時(shí),沒有元素使與同時(shí)成立能得出與沒有交集，當(dāng)中還要考慮是否為.詳解：(1)當(dāng)即時(shí),滿足.當(dāng)即時(shí),要使成立,需可得.綜上所得實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí),所以,的非空真子集個(gè)數(shù)為.(3),且,又沒有元素使與同時(shí)成立則若即,得時(shí)滿足條件;若,則要滿足條件有:或解之,得.綜上有或.-【No.3 集合vs.方程】5.已知集合,滿足,求所取的一切值.分析：這類題目給的條件中方程的最高次項(xiàng)系數(shù)含有字母,一般需分類討論.要從和兩個(gè)方面進(jìn)行解題.詳解：因,當(dāng)時(shí),成立.又當(dāng)時(shí),要成立,則有或,或

13、.綜上所述,或或.6已知集合(1)若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：中元素的個(gè)數(shù)代表方程的根的個(gè)數(shù)，不過首先要討論是否為0.詳解：(1)中有兩個(gè)元素，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即，且.(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即；若關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根，則，即；故所求的a的取值范圍是或.7.已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：與第7題類似，第7題是先討論是否為0，而本題的答案中先討論的是是否為，在這種類型題中，兩種方法兼可.詳解：，當(dāng)，若，不成立；若，則，或；當(dāng)或，若，成立；若，則，或，經(jīng)檢驗(yàn)，成立；當(dāng)，則，無解，不成立綜上：或或 =題型四

14、、韋恩圖像解決此類型題應(yīng)注意：會(huì)用韋恩圖表示集合關(guān)系與運(yùn)算1某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有多少人？分析：解此類題型最簡(jiǎn)便的方法就是用韋恩圖像法.解析：設(shè)單獨(dú)加數(shù)學(xué)的同學(xué)為x人，參加數(shù)學(xué)化學(xué)的為y人，單獨(dú)參加化學(xué)的為z人依題意，解得同時(shí)參加數(shù)學(xué)化學(xué)的同學(xué)有8人，答：同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人2.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，函數(shù)的定義域?yàn)?，則如圖所示陰影部分所表示的集合是（   ）AB

15、CD分析：本題要注意y的定義域：答案：C詳解：由題意易得，而陰影部分表示，選C3.設(shè)全集U=R，則右圖中陰影部分表示的集合為 （ ）A.B.C.D.分析：由圖可知所求為，還要注意解,集合時(shí)應(yīng)遵循指對(duì)運(yùn)算的規(guī)則.答案：B詳解：，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故，.陰影部分表示的集合為.=題型五、創(chuàng)新題型解決此類型題應(yīng)注意：要充分理解題目中給出的新定義.1.對(duì)于集合、，定義：，設(shè)，則=   （   ）ABCD分析：創(chuàng)新題型一般都是根據(jù)題中所給的出的式子算出結(jié)果。那么由題意得，.A集合所求的是的值域，B集合所求的是的定義域.答案：C詳解：本題考查集合

16、的運(yùn)算由得；由得，則；由得，由得.故正確答案為C.2.定義集合與的運(yùn)算“*”為:.設(shè)是偶數(shù)集,則=（）ABCD分析：整體算上去比較復(fù)雜，所以要分開先計(jì)算.答案：詳解：首先求出，的并集再去掉交集即得.同理可得3.定義一個(gè)集合的所有子集組成的集合叫做集合的冪集，記為，用表示有限集的元素個(gè)數(shù)，給出下列命題：對(duì)于任意集合，都有；存在集合，使得；用表示空集，若，則；若，則；若，則其中正確的命題個(gè)數(shù)為（   ）A4 B3 C2 D1分析：已知冪集為子集所組成的集合，表示有限集的元素個(gè)數(shù)，那么需要根據(jù)集合的概念和運(yùn)算對(duì)命題進(jìn)行分析.答案：B詳解：對(duì)于命題，因此，命題正確；對(duì)于命

17、題，若集合的元素個(gè)數(shù)為，則集合的子集共個(gè)，若，則 ，解得，命題錯(cuò)誤；對(duì)于命題，若，由于，因此，所以 ，則，命題錯(cuò)誤；對(duì)于命題，若，對(duì)集合的任意子集，即對(duì)任意，則， 則，因此，命題正確；對(duì)于命題，設(shè)，則，則集合的子集個(gè)數(shù)為，即 ，集合的子集個(gè)數(shù)為，即，因此 ，命題正確，故正確的命題個(gè)數(shù)為，選B.=PS：課后練習(xí)一、選擇題1.下列命題中正確的是（ ）A. 數(shù)0不能構(gòu)成集合B. 數(shù)0構(gòu)成的集合是0C. 數(shù)0構(gòu)成的集合是D. 數(shù)0構(gòu)成的集合的元素是02.構(gòu)成集合，則中元素的個(gè)數(shù)最多是（ ） A.6 B.5 C.4 D.33.下列表示方法正確的是（ ）A.B.C.D.4.集合的所有真子集的個(gè)數(shù)為（ ）A

18、.3 B.7 C.15 D.315.已知方程與的解集分別為A與B，且，則（ ）A.14 B.11 C.7 D.26.若，則的取值集合為（ )A. B. C. D.7. 設(shè)全集,，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）ABCD8. 設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合為(    )ABCD9.給定集合,，定義一種新運(yùn)算：,又已知,，則等于（ ）A. B. C. D.10.設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合，如果，那么等于()ABCD11.定義，設(shè)集合，則集合的所有元素之和為（ ）A.3 B.9 C.18 D.27二、填空題1.下列命題正確的是 .(1)空集沒有子集. (2)空集是任

19、何一個(gè)集合的真子集. (3)任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集. (4)若,那么凡不屬于集合的元素,則必不屬于. 2.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希⒅赋鍪怯邢藜€是無限集？由所有非負(fù)奇數(shù)組成的集合； 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)組成的集合； 所有周長(zhǎng)等于的三角形組成的集合； 方程的實(shí)數(shù)根組成的集合 3.用列舉法表示集合為 450名學(xué)生參加甲、乙兩項(xiàng)體育活動(dòng)，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)的學(xué)生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為_5.集合，則= .三、解答題1.已知集合,要使,求滿足條件的集合P.2.設(shè)集合，（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍3.若關(guān)于x的不等式的解集，求a的值4.已知不等式：的解集為（1）求解集；（2）若，解關(guān)于的不等式：；（3）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使關(guān)于的不等式：的解集滿足 課后練習(xí)答案一、選擇題1.答案：D提示：數(shù)0只能構(gòu)成一個(gè)只含有元素0的集合，這個(gè)集合不是，因?yàn)橹袥]有任何元素.2.答案：C提示：當(dāng)不等式中含有的元素個(gè)