雞兔同籠問題題庫教師版(共15頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上雞兔同籠問題教學目標1. 熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設法”.2. 利用雞兔同籠的方法解決一些實際問題，需要把多個對象進行恰當組合以轉化成兩個對象知識精講知識點說明：一、雞兔同籠這個問題，是我國古代著名趣題之一大約在年前，孫子算經中就記載了這個有趣的問題書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有個頭；從下面數，有只腳求籠中各有幾只雞和兔？ 你會解答這個問題嗎？你想知道孫子算經中是如何解答這個問題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，

2、則每只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”這樣，雞和兔的腳的總數就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多因此，腳的總只數與總頭數的差，就是兔子的只數，即（只）顯然，雞的只數就是（只）了 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數學家贊嘆不已除此之外，“雞兔同籠”問題的經典思路“假設法”假設法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設法能做到，假設里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數做比較，做差除二兔找到解雞兔同籠問題的基本關系式是：如果假設全是兔，那么則有： 雞數=（每只兔子腳數×雞兔總數-實際腳數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數） 兔數=雞兔總數-

3、雞數如果假設全是雞，那么就有： 兔數=（實際腳數-每只雞腳數×雞兔總數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數） 雞數=雞兔總數-兔數當頭數一樣時，腳的關系：兔子是雞的2倍當腳數一樣時，頭的關系：雞是兔子的2倍在學習的過程中，注重假設法的運用，滲透假設法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會接觸到假設法例題精講板塊一、兩個對象的“雞兔同籠”【例 1】 雞兔同籠，頭共，足共，雞兔各幾只？【解析】 假設只都是兔，一共應有只腳，這和已知的只腳相比多了只腳，這是因為我們把雞當成了兔子，如果把只雞當成只兔，就要比實際多（只）腳，那么只腳是我們把只雞當成了兔子，所以雞的只數

4、就是，兔的只數是（只）當然，這里我們也可以假設只全是雞！鼓勵學生從兩個方面假設解題，更深一步理解假設法【鞏固】 點點家養(yǎng)了一些雞和兔子，同時養(yǎng)在一個籠子里，點點數了數，它們共有個頭，只腳問：點點家養(yǎng)的雞和兔各有多少只？【解析】 方法一：我們假設，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；而每只兔子都是兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著現在，地面上出現的腳是總數的一半，也就是(只)在這個數中，雞的頭數算了一次，兔子的頭數相當于算了兩次，因此從減去總頭數，剩下的就是兔子頭數，(只)，所以有只兔子，有(只)雞方法二：假設只都是兔子，那么就有(只)腳，比只腳多了(只)每只雞比兔子少(只)腳，那么共有雞(只)方法

5、三：還可以假設只都是雞，那么共有腳(只)，比只腳少了(只)腳，每只雞比兔子少(只)腳，那么共有兔子(只)方法一可以歸結為：總腳數總頭數兔子數能夠這樣算，主要是利用了兔和雞的腳數分別為和，而且是的倍方法二說明假設的只兔子中有只不是兔子，而是雞由此可以列出公式：雞數(兔腳數總頭數總腳數)(兔腳數雞腳數)方法三說明假設的只雞中有只是兔由此可以列出公式：兔數(總腳數雞腳數總頭數)(兔腳數雞腳數)【鞏固】 雞兔共有只，關在同一個籠子中每只雞有兩條腿，每只兔子有四條腿，籠中共有條腿試計算，籠中有雞多少只？兔子多少只？【解析】 假設法：若假設所有的只動物都是兔子，那么一共應該有(條)腿，比實際多算(條)腿而

6、每將一只雞算做一只兔子會多算兩條腿，所以有(只)雞被當作了兔子，所以共有只雞，有(只)兔子 注意：假設為兔子時，按照“多算的腿數”計算出的是雞的數目；假設為雞時，按照“少算的腿數”計算出的是兔子的數目同學們可以自己來做一下當假設為雞時的算法 “金雞獨立”法（砍足法）： 假設所有的動物都只用一半的腿站立，這樣就出現了雞都變成了“金雞獨立”，而兔子們都只用兩條腿站立的“奇觀”這樣就有一個好處：雞的腿數和頭數一樣多了；而每只兔子的腿數則會比頭數多因此，在腿的數目都變成原來的一半的時候，腿數比頭數多多少，就有多少只兔子原來有只腿，讓兔子都抬起兩只腿，雞抬起一只腿，則此時籠中有(條)腿，比頭數多，所以有

7、只兔子，另外只是雞【鞏固】 動物園里有一群鴕鳥和大象,它們共有只眼睛和只腳，問：鴕鳥和大象各有多少？【解析】 由于每只動物有兩只眼睛，由題意知：動物園里鴕鳥和大象的總數為：，假設鴕鳥和大象一樣也有只腳，則應該有只腳，多了只腳，由假設引起的差值：，則鴕鳥數為（只），大象數為（頭）【鞏固】 雞兔同籠，上有頭，下有足，求籠中雞兔各幾只？ 【解析】 有兔 (只)，有雞 (只)【例 2】 動物園里養(yǎng)了一些梅花鹿和鴕鳥，共有腳只，鴕鳥比梅花鹿多只，梅花鹿和鴕鳥各有多少只？【解析】 假設梅花鹿和鴕鳥的只數相同，則從總腳數中減去鴕鳥多的只的腳數得：(只)這只腳是梅花鹿的腳數和鴕鳥的腳數(注意此時梅花鹿和鴕鳥的

8、只數相同)腳數的和，一只梅花鹿和一只鴕鳥的腳數和是：(只)，所以梅花鹿的只數是：(只)，從而鴕鳥的只數是：(只) （本題也可給學生講成“捆綁法”，一雞一兔一組，這個怎么分組時有倍數關系得到的）【鞏固】 一個養(yǎng)殖園內，雞比兔多36只，共有腳792只，雞兔各幾只？【解析】 已知雞比兔多36只，如果把多的36只雞拿走，剩下的雞兔只數就相等了，拿走的36只雞有（只）腳，可知現在剩下（只）腳，一只雞與一只兔有6只腳，那么兔有（只），雞有（只）【鞏固】 雞兔同籠，雞、兔共有只，兔的腳數比雞的腳數多只，問雞、兔各多少只？【解析】 這道例題和前面的例題有所不同，前面的題是已知頭數之和和腳數之和求各有幾只，而這

9、道題是已知頭數之和和腳數之差，這樣就比前面的例題增加了一點難度我們用兩種方法來解這道題（方法一）考慮如果補上雞腳少的只的話，那么就要增加（只）雞這樣一來，雞、兔共有（只），這時雞腳、兔腳一樣多已知一只雞的腳數是一只兔的一半，而現在雞腳、兔腳相同，可知雞的只數是兔的倍，根據和倍問題有：兔有：（只）雞有：（只）或者（只）（方法二）不妨假設只都是兔，沒有雞，那么就有兔腳：（只），而雞的腳數為零這樣兔腳比雞腳多只，而實際上只多只，這說明假設的兔腳比雞腳多的數比實際上多：（只）現在以雞換兔，每換一只，兔腳減少只，雞腳增加只，即兔腳與雞腳的總數差就會減少（只）雞的只數：（只）兔的只數：（只）【鞏固】 雞、

10、兔共100只，雞腳比兔腳多20只.問：雞、兔各多少只?【解析】 假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零.這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多(只).現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少(只)，而，因此有兔子30只，雞(只).【鞏固】 雞、兔共只，雞腳比兔腳多只問：雞、兔各多少只？【解析】 假設只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳只，而兔的腳數為零這樣雞腳比兔腳多只，而實際上只多只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多(只)現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少只，兔腳增加只，即雞腳比兔

11、腳多的腳數中就會減少(只)，而，因此有兔子只，雞(只)【鞏固】 雞、兔同籠，雞比兔多只，足數共只，問雞、兔各幾只？【解析】 這道例題是已知雞、兔的腳數和，雞比兔多的只數，求雞、兔各幾只我們假設雞與兔只數一樣多，那么現在它們的足數一共有：（只），每一對雞、兔共有足：（只），雞兔共有對數（也就是兔子的只數）：（對），則雞有（只）【鞏固】 雞與兔共100只,雞的腳數比兔的腳數少28.問雞與兔各幾只 ？【解析】 解一:假如再補上28只雞腳,也就是再有雞28÷2=14(只),雞與兔腳數就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),于是雞的只數是兔的只數的2倍.兔的只數是 (100+28&#

12、247;2)÷(2+1)=38(只). 雞是100-38=62(只). 當然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假設一個數的辦法. 解二:假設有50只雞,就有兔100-50=50(只).此時腳數之差是 4×50-2×50=100, 比28多了72.就說明假設的兔數多了(雞數少了).為了保持總數是100,一只兔換成一只雞,少了4只兔腳,多了2只雞腳,相差為6只(千萬注意,不是2).因此要減少的兔數是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只數是 5

13、0-12=38(只). 【例 3】 在一個停車場上，現有車輛輛，其中汽車有個輪子，摩托車有個輪子，這些車共有個輪子，那么三輪摩托車有多少輛？【分析】 假設都是三輪摩托車，應有(個)輪子，少了(個)輪子每把一輛汽車假設為三輪摩托車，會減少(個)輪子汽車有(輛)；從而求出三輪摩托車有(輛)或者假設都是汽車，應有(個)輪子，多了(個)輪子； 所以摩托車有(輛)【鞏固】 體育老師買了運動服上衣和褲子共件，共用了元，其中上衣每件元、褲子每件元，問老師買上衣和褲子各多少件？【解析】 假設買的都是上衣，那么褲子的件數為：（件），上衣：（件） 【鞏固】 小建和小雷做仰臥起坐，小建先做了分鐘，然后兩人各做了分鐘

14、，一共做仰臥起坐次已知每分鐘小建比小雷平均多做次，那么小建比小雷多做了多少次？【解析】 假設小建每分鐘做仰臥起坐的次數與小雷一樣多，這樣兩人做仰臥起坐的總次數就減少了(次)，由此可知小雷每分鐘做了(次)，進而可以分別求出小建每分鐘做的次數以及兩人分別做仰臥起坐的總次數之差假設小建每分鐘做仰臥起坐的次數與小雷一樣多，兩人做仰臥起坐的總次數就減少：(次)小雷每分鐘做：(次)；小建每分鐘做：(次)小建一共做：(次)；小雷一共做：(次)小建比小雷多做：(次)【例 4】 （中國古代僧粥問題）一百個和尚剛好喝一百碗粥，一個大和尚喝三碗粥，三個小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少個，小和尚有多少個？【解析】 我

15、們把大碗換小碗，換小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，則原題變?yōu)橐话賯€和尚喝三百碗粥，一個大和尚喝九碗粥，一個小和尚喝一碗粥 然后仍然用假設法： 假設都是小和尚，只能喝（碗）粥，有一個大和尚被當成小和尚會少（碗）粥，一共少了（碗）粥所以大和尚有（個）；小和尚有（個）【鞏固】 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃問：大、小和尚各有多少人？【解析】 本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解 假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多（個）現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不

16、變，而饃就要減少（個），因為，故小和尚有80人，大和尚有（人） 同樣，也可以假設100人都是小和尚，這里不再作說明【鞏固】 個和尚個饃，大和尚人分個饃，小和尚人分個饃問：大、小和尚各有多少人？【解析】 本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解 假設人全是大和尚，那么共需饃個，比實際多(個)現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少(個)，因為，故小和尚有70人，大和尚有 (人)同樣，也可以假設人都是小和尚，同學們不妨自己試試【解析】 從前有座山，山里有個廟，廟里有許多小和尚，兩個小和尚用一根扁

17、擔一個桶抬水，一個小和尚用一根扁擔兩個桶挑水，共用了38根扁擔和58個桶，那么有多少個小和尚抬水？多少個挑水？【解析】 假設全是抬水，38根扁擔應擔38個桶，而實際上是58個桶，為什么少了（個）桶呢？因為當我們把一個挑水的當作抬水的就會少算（個）桶，所以有（人）在挑水，拾水的扁擔數是（根），抬水的人數是（人）【例 5】 工人運青瓷花瓶250個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？【解析】 本題中“損壞一個倒賠100元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞1個花瓶相差（元），即損1個花瓶不但得不到20元的運費，而且要付出120元本

18、例可假設250個花瓶都完好，這樣可得運費（元）這樣比實際多得（元） 就是因為有損壞的瓶子，損壞1個花瓶相差120元現共相差600元，從而求出共損壞多少個花瓶根據以上分析，可得損壞了（個）【鞏固】 樂樂百貨商店委托搬運站運送100只花瓶雙方商定每只運費1元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1元，結果搬運站共得運費92元問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？【解析】 假設100只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費（元）實際上只得到92元，少得（元）搬運站每打破一只花瓶要損失（元）因此共打破花瓶（只）【鞏固】 有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶,運費按到達時完好的瓶子數目計算

19、,每只2角,如有破損,破損瓶子不給運費,還要每只賠償1元.結果得到運費379.6元,問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只 【解析】 如果沒有破損,運費應是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只). 【例 6】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學數學邀請賽決賽）甲、乙兩人進行射擊比賽，約定每中一發(fā)得分，脫靶一發(fā)扣分，兩人各打發(fā)，共得分，最后甲比乙多得分，乙打中 發(fā)?！痉治觥?乙得分為（分），如果乙每發(fā)都打中可以得（分），脫靶一發(fā)少（分）；乙脫靶（發(fā)），所以乙打中（發(fā)）?！眷柟獭?某次數學競賽，共有道題，每道題做對得分，

20、沒做或做錯都要扣分，小聰得了分，他做對了多少道題？【解析】 做錯 (道)，因此，做對的 (道)【鞏固】 數學競賽共有20道題，規(guī)定做對一道得5分，做錯或不做倒扣3分，趙天在這次數學競賽中得了60分，他做對了幾道題？【解析】 假設他將所有題全部做對了，則可得100分，實際上只得了60分，比假設少了40分，做錯一題要少得8分，少得的40分中，有多少個8分，就是他做錯的題的數量，則知他做對了15道【鞏固】 東湖路小學三年級舉行數學競賽，共道試題.做對一題得分，沒有做一題或做錯一題都要倒扣分.劉鋼得了分，問他做對了幾道題？【解析】 這道題也類似于“雞兔同籠”問題假設劉鋼道題全對，可得分（分），但他實際

21、上只得分，少了（分），因此他沒做或做錯了一些題由于做對一道題得分，沒做或做錯一道題倒扣分，所以沒做或做錯一道題比做對一道題要少（分）分中含有多少個，就是劉鋼沒做或做錯多少道題所以，劉鋼沒做或做錯題為（道），做對題為（道）【鞏固】 (第八屆“祖沖之杯”數學邀請賽填空題)一張數學試卷，只有道選擇題做對一題得分，做錯一題倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做對 題，做錯 題，沒做 題 【解析】 這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索 小明得了分，而且只有做對了題目才能得分，所以可以知道小明至少做對道題目，否則一定低于(分)； 再假設他做對題，發(fā)現即使另外四題都錯，小明仍然

22、有(分)，超過了分，所以小明至多做對道題目； 綜上，可以斷定小明做對了道題 至此本題轉化為簡單雞兔同籠問題 假設剩下題全部沒做，那么小明應得(分) 但是只得了分，說明又倒扣了分，說明錯了道題，道題沒做 所以小明做對了道題，做錯了道題，沒做道題【鞏固】 春風小學3名云參加數學競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道題扣3分，這3名同學都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們三人一共答對了_道題.【解析】 三人共得(分)，比滿分(分)少(分)因此三個人共做錯：(道)題，共答對了(道)題【鞏固】 某次考試有52人參加，共考5道題，每題做錯人數的統(tǒng)計表如下圖題號一二三

23、四五做錯人數46102039還知道每人都至少做對1道題，做對1道題的有7人，5道題全對的有6人，做對2道題和3道題的人數一樣多那么做對4道題的人數是多少？【解析】 總共答對了：道題，做對2、3、4道題的人總共有：人，這39人總共答對了：道題可假設做對2道題的有1人，假設出錯量：，所以假設正確，對二、三道題的各1人，對4道題的37人難點：給的是做錯題的表，而條件給的是做對的條件?！纠?7】 (小學數學奧林匹克初賽試題)孫阿姨有貳元人民幣和伍元人民幣共張，合計元，孫阿姨這兩種人民幣各有多少張？【解析】 假設這張人民幣全是貳元的，共計(元)，比實際的錢數少了(元)這是因為伍元的全部假設成貳元的，一張

24、就少了(元)，那么可知伍元的共有 (張)，貳元的有：(張)【鞏固】 小華用二元五角錢買了面值二角和一角的郵票共張，問兩種郵票各買多少張？【解析】 二元五角分；角分；角分.假設都是分郵票：（分），比實際少了：（分），每張郵票相差錢數：（分），有二角郵票：（張），有一角郵票張：（張）【鞏固】 有1元和5元的人民幣共17張，合計49元，兩種面值的人民幣各有多少張?【解析】 該題求兩種面值的人民幣各有多少張，已知總張數17張，但兩種不同面值的人民幣張數相差多少難以確定，怎么辦?再分析題意，又知兩種面值的人民幣的總錢數，及各自的票面值，但兩種人民幣相差的錢數也難以確定，這又怎么辦?我們可用“假設法”思考

25、假設17張人民幣全是5元的，總錢數則為5×17=85(元)，比實際的49元多出85-49=36(元)，多的原因是把l元的人民幣假設為5元的人民幣了，用數量關系式表示為： 根據這一數量關系式，可先求1元人民幣的張數 解法：(5×17-49)÷(5-1)=9(張) 17-9=8(張) 驗算：1×9+5×8=49(元) 也可以假設17張人民幣全是1元的，便可 有另一解法 解法：(49-1×17)÷(5-1)-8(張) 17-8=9(張)【鞏固】 小同有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數算，5分幣卻比2分

26、幣多4角；另外，還有36個1分幣小同共存了多少錢？【解析】 假設去掉22個2分幣，那么按錢數算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3分，所以5分幣有（個），2分幣有（個）， （分）【鞏固】 買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少張 【解析】 解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數就一樣多. (680-8×40)÷(8+4)=30(張), 這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有 40+30=70(張). 解二:譬如,假設有20張4分,根據條件"8

27、分比4分多40張",那么應有60張8分.以"分"作為計算單位,此時郵票總值是 4×20+8×60=560. 比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張). 因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).【鞏固】 四年級的同學們去春游，按團體購票120張，共432元，其中單程票每張2元，往返票4元，那么單程票和往返票相差多少張？【解析】 假設全部買的是往返票，那么共

28、需（元），比實際多花了48元，這48元是因為把每張單程票假設成往返票多出的，每張單程票看成往返票則增加2元，可知48元中有幾個2元就有幾張單程票，即單程票有24張，相差72張【鞏固】 李明和張亮輪流打一份稿件，李明每天打頁，張亮每天打頁，他們一連打了天，平均每天打頁，問李明、張亮各打了多少天？【解析】 從總數入手，由題意可知他們一共打了(頁)假設天都是李明打的，那么打的頁數是：(頁)，比實際打的多(頁)，而李明每天比張亮多打：(頁)，所以張亮打的天數是：(天)，李明打的天數是：(天)【解析】 某學校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大

29、宿舍？【解析】 如果30間都是小宿舍，那么只能?。ㄈ耍鴮嶋H上住了168人大宿舍比小宿舍每間多?。ㄈ耍?，所以大宿舍有（間）【鞏固】 （2000年北京市“迎春杯”決賽）使用甲種農藥每千克要兌水20千克，使用乙種農藥每千克要兌水40千克根據農科院專家的意見，把兩種農藥混起來用可以提高藥效，現有兩種農藥共50千克，要配藥水1400千克，那么，其中甲種農藥用了多少千克？ 【解析】 假設50千克都是乙種農藥，那么需要兌水（千克）但題目要求配藥水1400千克，即實際兌水（千克）多用了（千克）水，又已知使用乙種農藥每千克兌水需要比使用甲種農藥多兌水（千克），所以推知，在混合農藥中甲種農藥有（千克）【例 8

30、】 小紅家養(yǎng)了一些雞，黃雞比黑雞多13只，比白雞少18只.白雞的只數是黃雞的2倍，白雞、黃雞、黑雞一共有多少只?【解析】 該題包含黃雞、黑雞、白雞只數間的比較關系抓住“標準量”，清楚兩兩量間數量關系，問題就迎刃而解為明了題意，可借助線段示意圖，如下： “黃雞比黑雞多13只”即，黑雞比黃雞少13只；“黃雞比白雞少18只”即，白雞比黃雞多18只(1)黃雞多少只? 18÷(2-1)=18(只)(2)白雞多少只? 18×2=36(只) (3)黑雞多少只? 18-13=5(只)(4)白雞、黃雞、黑雞共多少只? 18+36+5=59(只)綜合算式：18÷(2-1)×

31、(1+2+1)-13=59(只)【鞏固】 現有大小油桶50個，每個大桶可裝油4千克，每個小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個?【解析】 分析與解答一：假設50個油桶都是大桶，則共裝油千克，而這小桶所裝油則為0這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數多了千克，若在50個大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數量就減少千克，那么該把多少個大桶換成小桶才符合題意呢? 解： (個)(小桶) (個) (大桶)分析與解答二：這道題也可以用另外一種假設；每個大桶比每個小桶多裝2千克，如果大小

32、桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應該大小桶各個，現在共有50個桶，在剩下的個桶中，大小桶應裝同樣多的油，而每個大桶裝的油是每個小桶裝的倍，那么在這30個桶中，應該有個大桶，個小桶；所以可求出50個桶中，有大小桶各多少個解：(個) (個) (大桶)(個) (大桶共有)(個) (小桶共有)【鞏固】 三()班有象棋、飛行棋共副，恰好可供全班名同學同時進行活動象棋要人下一副，飛行棋要人下一副，則飛行棋和跳棋各有幾副？【解析】 假設只有飛行棋，那么一共有（名）同學參與活動，多出（名）同學，多一副象棋，就會少（名）同學，可知一共有（副）象棋，（副）飛行棋【鞏固】 一批鋼材，用小卡車裝載要輛，用大卡

33、車裝載只要輛已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，那么這批鋼材有多少噸？【解析】 要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸利用假設法，假設只用輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝噸，所以要剩下 (噸)根據條件，要裝完這噸鋼材還需要(輛)小卡車這樣每輛小卡車能裝(噸)由此可求出這批鋼材有噸【鞏固】 王老師帶了名同學去北海公園劃船，共租了條船每條大船坐人，每條小船坐人，問大船、小船各租幾條？【解析】 我們分步來考慮： 假設租的條船都是大船，那么船上應該坐（人） 假設后的總人數比實際人數多了（人），多的原因是把小船坐的人都假設成坐人 一條小船當成大船多出人，多出的人

34、是把（條）小船當成大船所以有條小船，條大船 列式為：(條）（條）【鞏固】 松鼠媽媽采松果，晴天每天可以采個，雨天每天只能采個它一連幾天采了個松果，平均每天采個問這幾天中有幾個雨天？【解析】 首先要根據已知條件計算一共采了多少天，再根據“雞兔同籠”問題的解法計算因松鼠媽媽共采松果個，平均每天采個，所以實際用了（天）假設這8天全是晴天，松鼠媽媽應采松果（個），比實際采的多了（個），因雨天比晴天少采（個），所以共有雨天（天）【鞏固】 小松鼠采松果，晴天每天可以采個，雨天每天只能采個它一連幾天采了個松果，平均每天采個那么其中有幾天是雨天呢？【解析】 小松鼠一共采了（天），假設每天都是晴天，那么一共可以

35、采（個），而實際上少采了（個），少天晴天，就少采（個），所以一共有雨天：（天）【例 9】 某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成）來景點旅游，如果他們買團體票那么可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？ 【解析】 每個三口之家可以少花（元），每個二口之家可以少花（元），如果這8個家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以這8個家庭中有（個）家庭是二口之家，所以這個旅游團一共有（人）【鞏固】 有兩次自然測驗，第一次24

36、道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？ 【解析】 法一：如果小明第一次測驗24題全對，得(分).那么第二次只做對(題)得分是(分).兩次相差(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設的第一次答對題數多了，要減少.第一次答對減少一題，少得(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加分.兩者兩差數就可減少(分).(題).因此，第一次答對題數要比假設(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對(題).

37、第一次得分.第二次得分.法二：答對30題，也就是兩次共答錯(題).第一次答錯一題，要從滿分中扣去(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去(分).答錯題互換一下，兩次得分要相差 (分).如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答錯題數是(題).第一次答錯(題).第一次得分(分).第二次得分 (分).【例 10】 大、小猴共只，它們一起去采摘水蜜桃猴王不在時，一只大猴一個小時可采摘千克，一只小猴子一小時可摘千克；猴王在場監(jiān)督的時候，每只猴子不論大小每小時都可以多采摘千克一天，采摘了小時，其中第一小時和最后一小時猴王在監(jiān)督

38、，結果共采摘了千克水蜜桃在這個猴群中，共有小猴子多少只？【分析】 其實大猴子和小猴子就相當于雞兔問題中的雞和兔但是卻有猴王來搗亂，所以我們先讓猴王消失一天中，猴王監(jiān)視了小時，假設猴王一直都不在，同猴王在時相比，每只猴子每小時都會少采千克，那樣猴群只能采摘(千克)；這是一天也就是小時的工作量，據此可以求出這群猴每小時采(千克)；假設都是大猴子，應該每小時采摘(千克)，比實際多采了(千克)而每只小猴子被假設成大猴子，會多采(千克)因此可以求出小猴子有：(只)【例 11】 今年是1998年,父母年齡(整數)和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的

39、年齡的3倍.那么當父的年齡是兄的年齡的3倍時,是公元哪一年？【解析】 4年后,兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數,弟的年齡看作"兔"頭數.25是"總頭數".86是"總腳數".根據公式,兄的年齡是 (25×4-86)÷(4-3)=14(歲). 1998年,兄年齡是14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)×4-4=40(歲). 因此,當父的年齡是兄的年齡的3倍時,兄的年齡是 (40-10)÷

40、(3-1)=15(歲),這是2003年. 【例 12】 一份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現在甲單獨打若干小時后,因有事由乙接著打完,共用了7小時.甲打字用了多少小時？【解析】 我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數),甲每小時打30÷6=5(份),乙每小時打30÷10=3(份). 現在把甲打字的時間看成"兔"頭數,乙打字的時間看成"雞"頭數,總頭數是7."兔"的腳數是5,"雞"的腳數是3,總腳數是30,就把問題轉化成"雞兔同籠"問

41、題了. 根據前面的公式"兔"數=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "雞"數=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小時,乙打字用了2.5小時. 板塊二、多個對象的“雞兔同籠”【例 13】 有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀)，求蜻蜓有多少只？【解析】 這是在雞兔同籠基礎上發(fā)展變化的問題.觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數.我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數為(條)，所差(條)，必然是由于

42、少算了蜘蛛的腿數而造成的.所以，應有(只)蜘蛛.這樣剩下的(只)便是蜻蜓和蟬的只數.再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數(對)，比實際數少 (對)，這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求(只).【鞏固】 食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：元，所以賣出：千克，所以賣出每千克25元和每千克30克的糖果共千克，相當于將題目轉換成

43、：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉換成了最基本的雞兔同籠問題關鍵：將三種以及更多的動物/東西，轉化為兩種最基本模型。即：抓住轉化后的“頭”與“腳”。【例 14】 (希望杯培訓題)在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共道選擇題和填空題每題分，解答題每題分這次考試總分是分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【解析】 選擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類。如果這次考試的道題全是解答題，則總分應是：(分)，但實際總分是分，所以選擇題和填空題共有： (道)，解答題有：(

44、道)選擇題比填空題少：(分)，選擇題有：(道)，填空題有：(道)【例 15】 犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個，腳80只，犄角20只已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒有犄角那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【解析】 這道題有三種不同的動物混合在一起，這樣假設起來會比較麻煩，像前面的題一樣，我們可以觀察一下：雖然有三種不同的動物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數，就可以把孔雀與這兩種動物分開，轉化成我們熟悉的“雞兔同籠”問題，然后再通過犄角的不同，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次“雞兔同籠”假設26只都是孔雀，那么就有腳：（只），比實際的少：

45、（只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊每增加一只犀?；蛄缪颍瑴p少一只孔雀，就會增加腳數：（只）所以，孔雀有（只），犀牛和羚羊總共有（只）假設14只都是犀牛，那么就有犄角：（只），比實際的少：（只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數就會增加：（只），所以，羚羊的只數：（只），犀牛的只數：（只）小結這道題出現了三種動物，關鍵是尋找不同動物的相同點，把三種動物化為兩類，先使用“雞兔同籠”問題的解法把另外特殊的一種區(qū)分出來，再使用另外條件區(qū)分具有相同點的動物【鞏固】 某次數學考試考五道題,全班52人參加,共做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對

46、1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數一樣多,那么做對4道的人數有多少人？【解析】 對2道,3道,4道題的人共有 52-7-6=39(人). 他們共做對181-1×7-5×6=144(道). 由于對2道和3道題的人數一樣多,我們就可以把他們看作是對2.5道題的人(2+3)÷2=2.5).這樣 兔腳數=4,雞腳數=2.5, 總腳數=144,總頭數=39. 對4道題的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人). 【鞏固】 有紅、黃、綠種顏色的卡片共有張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有和，黃色卡片的兩面上分別寫著和，綠色卡片

47、的兩面上分別寫著和現在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數字的那面朝上，經計算，各卡片上所顯示的數字之和為若把所有卡片正反面翻轉一下，各卡片所顯示的數字之和則變成問黃色卡片有多少張？【解析】 開始的時候，黃色和綠色的卡片上都是，紅色卡片上是如果全部是紅色卡片，那么數字之和為：，比實際的少：每增加一張黃色或綠色卡片，那么數字就會增加：那么，黃色和綠色卡片之和：（張），紅色卡片有：（張）翻轉過來后，紅色和黃色卡片上都是，綠色卡片上是紅色卡片有張，剩下的綠色和黃色卡片上的數字之和為：如果張卡片都是黃色的，那么這張卡片上的數字之和為：，比實際的少：每增加一張綠色卡片，數字之和就會增加：，所以，綠

48、色卡片有：（張），黃色卡片有：（張）【例11】 箱子里紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的倍多只，每次從箱子里取出只白球、只紅球如果經過若干次以后，箱子里剩下只白球、只紅球那么箱子里原有紅球多少只？ 【解析】 假設每次一起取只白球和只紅球，由于每次拿得紅球都是白球的倍，所以最后剩下的紅球數應該剛好是白球數的倍多由于每次取的白球和原定的一樣多，所以最后剩下的白球應該不變，仍然是個按照我們的假設，剩下的紅球應該是白球的倍多，即(只)但是實際上最后剩了只紅球，比假設多剩只，因為每一次實際取得與假設相比少只，所以可以知道一共取了(次)所以可以知道原來有紅球(只)【例 16】 商店出售大,中,小氣球,大球

49、每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個？【解析】 因為總錢數是整數,大,小球的價錢也都是整數,所以買中球的錢數是整數,而且還是3的整數倍.我們設想買中球,小球錢中各出3元.就可買2個中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價錢是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 從公式可算出,大球個數是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個). 買中,小球錢數各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可買10個中球,15個小球. 【例 17】 從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強上坡速度是每小時3千米,平路上速度是每小時5千米,下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地,李強行走了10小時;從乙地到甲地,李強行走了11小時.問從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米 【解析】 把來回路程45×2=90(千米)算作全程.去時上坡,回來是下坡;去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程,根據例15,平均速度是每小時4千米.現在形成一個非常簡單的"雞兔同籠"問題.