高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)21函數(shù)及其表示精品學(xué)案

1、2013版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【知識(shí)特點(diǎn)】 1函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，本章主要包括函數(shù)的概念及其性質(zhì)，基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用等內(nèi)容。2本章內(nèi)容集中體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，函數(shù)的類型較多，概念、公式較多，具有較強(qiáng)的綜合性。【重點(diǎn)關(guān)注】1函數(shù)的概念及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）是高考考查的主要內(nèi)容，函數(shù)的定義域、解析式、值域是高考考查重點(diǎn)，函數(shù)性質(zhì)的綜合考查在歷年考試中久考不衰，應(yīng)重點(diǎn)研究。2函數(shù)的圖象及其變換既是高考考查的

2、重點(diǎn)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)注意區(qū)分各函數(shù)的圖象及圖象的變換，利用圖象來(lái)研究性質(zhì)。3導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的最值及單調(diào)性方面的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，是近幾年高考的一大熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起足夠的重視。4注意思想方法的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論思想在各種題型中均有體現(xiàn)，應(yīng)引起重視。【地位與作用】一、函數(shù)在高考中的地位與作用從近幾年的全國(guó)各地的高考試題中可以看出，近幾年高考在函數(shù)中的考查有如下特點(diǎn)：1、 知識(shí)點(diǎn)的考查情況映射與函數(shù)：以考查概念與運(yùn)算為主，部分涉及新定義運(yùn)算；定義域、值域、解析式是考查的重點(diǎn)，而且比較穩(wěn)定，有時(shí)結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)（一

3、本部分內(nèi)容為背景），分段函數(shù)較多、花樣翻新；函數(shù)的單調(diào)性在歷年考試中久考不衰，且比例有上升趨勢(shì)，和導(dǎo)函數(shù)聯(lián)系較多；函數(shù)的奇偶性主要和單調(diào)性、不等式、最值、三角函數(shù)等綜合，與周期性、對(duì)稱性、抽象函數(shù)等問(wèn)題聯(lián)系較多；反函數(shù)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，考反函數(shù)概念運(yùn)算可能性較大，若出現(xiàn)在解答題中，則必定與單調(diào)性、奇偶性、不等式、導(dǎo)函數(shù)等知識(shí)綜合，難度較大；二次函數(shù)問(wèn)題是每年的必考題，一方面直接考查二次函數(shù)，另一方面是利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題，三個(gè)“二次”問(wèn)題（即二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）是函數(shù)考試題中永恒的主題指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)以基本概念、性質(zhì)為主設(shè)計(jì)試題，考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和運(yùn)算

4、，選擇、填空題屬中等難度，若解答題涉及到指、對(duì)數(shù)函數(shù)，往往難度會(huì)上升；函數(shù)的圖像與最值每年必考，體現(xiàn)“形是數(shù)的直觀反映，數(shù)是形的抽象概括”，是數(shù)學(xué)思想方法中的數(shù)相結(jié)合思想的最直接的表現(xiàn)形式，尤其是函數(shù)y=x+a/x（a0）的圖像和性質(zhì)，從未間斷過(guò)；函數(shù)應(yīng)用題與綜合應(yīng)用題是最能體現(xiàn)考生函數(shù)水平的試題：一次函數(shù)、二次函數(shù)、y=x+a/x（a0）型、指數(shù)型、對(duì)數(shù)型與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，考查學(xué)生的建模能力，而函數(shù)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)函數(shù)等眾多知識(shí)的交匯已經(jīng)成為函數(shù)綜合應(yīng)用中的典型問(wèn)題。2、 ?？碱}型及分值情況函數(shù)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有考題，所占分值30分以上，占全卷的20%以上。在高考中占有重

5、要地位。3、 命題熱點(diǎn)及生長(zhǎng)點(diǎn)情況近年來(lái)有關(guān)函數(shù)內(nèi)容的高考命題趨勢(shì)是：全方位. 近幾年來(lái)的高考題中，函數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn)都考過(guò)，雖然近幾年不強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率，但每一年函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率依然沒(méi)有減少。多層次. 在每年的高考題中，函數(shù)題抵擋、中檔、高檔難度都有，且選擇、填空、解答題題型齊全。抵擋難度一般僅涉及函數(shù)本身的內(nèi)容，諸如定義域、值域、單調(diào)性、周期性、圖像、反函數(shù)，且對(duì)能力的要求不高；中、高檔難度題多為綜合程度較大的問(wèn)題，或者是函數(shù)與其它知識(shí)結(jié)合，或者是多種方法的滲透。巧綜合. 為了突出函數(shù)在中學(xué)中的主要地位，近幾年來(lái)高考強(qiáng)化了函數(shù)對(duì)其它知識(shí)的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力的綜合

6、程度。變角度. 出于“立意”和創(chuàng)新情況的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新。重視函數(shù)思想的考查，加大了函數(shù)應(yīng)用題、探索題和信息題的考查力度，從而使函數(shù)考題顯得新穎、生動(dòng)、靈活。二、導(dǎo)數(shù)在高考中的地位與作用導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì)2013年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會(huì)有大的變化：（1）考查形式為

7、：選擇題、填空題、解答題各種題型都會(huì)考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題；（2）2013年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)。定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問(wèn)題中非常廣泛，因而2013年的高考預(yù)測(cè)會(huì)在這方面考察，預(yù)測(cè)2013年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬

8、于中低檔題；（2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。第一節(jié)、函數(shù)及其表示【高考新動(dòng)向】一、考綱點(diǎn)擊1了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)。3了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。二、熱點(diǎn)、難點(diǎn)提示1函數(shù)的概念、表示方法、分段函數(shù)是近幾年高考的熱點(diǎn)；2常和對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等相結(jié)合考查，有時(shí)也會(huì)命制新定義問(wèn)題；3題型以選擇題和填空題為主，與其他知識(shí)點(diǎn)交匯則以解答題的形式出現(xiàn)?！究季V全景透析】一、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集

9、合設(shè)是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)。如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)。名稱稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)稱為從集合到集合的一個(gè)映射記法，對(duì)應(yīng)是一個(gè)映射 注：函數(shù)與映射的區(qū)別：函數(shù)是特殊的映射，二者區(qū)別在于映射定義中的兩個(gè)集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個(gè)集合必須是非空數(shù)集。二、函數(shù)的其他有關(guān)概念（1）函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)，中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域（2）一個(gè)函數(shù)的

10、構(gòu)成要素定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系（3）相等函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)。注：若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，是否為相等函數(shù)？（不一定。如果函數(shù)y=x和y=x+1,其定義域與值域完全相同，但不是相等函數(shù)；再如y=sinx與y=cosx，其定義域?yàn)镽，值域都為-1，1，顯然不是相等函數(shù)。因此湊數(shù)兩個(gè)函數(shù)是否相等，關(guān)鍵是看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系）（4）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法和列表法。（5）分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其

11、值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是個(gè)函數(shù)?！緹狳c(diǎn)難點(diǎn)全析】一、求函數(shù)的定義域、值域1、確定函數(shù)的定義域的原則（1）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用列表法給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合;（2）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象法給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指圖象在x軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合；（3）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合；（4）當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的定義域由實(shí)際問(wèn)題的意義確定。2、確定函數(shù)定義域的依據(jù)（1）若f(x)是整式，則定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）若f(x)是分式，則定義域?yàn)槭狗质降姆帜覆粸榱愕膞取值

12、的集合；（3）當(dāng)f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式取非負(fù)的x取值的集合；（4）當(dāng)f(x)是非正數(shù)指數(shù)冪時(shí)，定義域是使冪的底數(shù)不為0的x取值的集合；（5）若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)定義域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍,b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa,b時(shí)的值域。3、求簡(jiǎn)單函數(shù)值域的方法(1)觀察法；(2)圖象觀察法；(3)單調(diào)性法；(4)分離常數(shù)法；(5)均值不等式法；(6)換元法.4、例題解析例1(2012·大連模擬)求函數(shù)的定義域;(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域是-1,1，求f(x)的定義域；(3)

13、求下列函數(shù)的值域.y=x2+2x,x0,3,y=log3x+logx3-1,分析：(1)根據(jù)解析式，構(gòu)建使解析式有意義的不等式組求解即可；(2)要明確2x與f(x)中x的含義，從而構(gòu)建不等式求解;(3)根據(jù)解析式的特點(diǎn)，分別選用圖象觀察法；均值不等式法；單調(diào)性法求值域.解答：(1)要使該函數(shù)有意義，需要?jiǎng)t有：解得:-3x0或2x3,所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?(-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定義域?yàn)?1，1，即-1x1,故f(x)的定義域?yàn)?(3)y=(x+1)2-1在0,3上的圖象如圖所示,由圖象知：0y32+2×3=15,所以函數(shù)y=x2+2x，x0,3的值域?yàn)?,15.,

14、定義域?yàn)?0,1)(1,+)，當(dāng)0x1時(shí)，當(dāng)x1時(shí)，綜上可知，其值域?yàn)?-,-31,+).因?yàn)閤2-1-1，又y=2x在R上為增函數(shù),2-1=.故值域?yàn)?+).【規(guī)律方法】求函數(shù)定義域的方法(1)求具體函數(shù)y=f(x)的定義域：(2)求抽象函數(shù)的定義域：若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出.若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍,b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa,b時(shí)的值域.提醒：定義域必須寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式.例2設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ A ）. B. C. D.解析 由已知，函數(shù)先增后減再增當(dāng)，令解得。當(dāng)，故 ，解得【考點(diǎn)定位】本試

15、題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的運(yùn)用以及一元二次不等式的求解例3試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），而g（x）=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當(dāng)nN*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法

16、則都相同，所以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閤|x0，而g（x）=的定義域?yàn)閤|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)注：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。例4求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），的值域?yàn)楦念}：求函數(shù)，的值域解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為

17、；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為函數(shù)，的值域?yàn)椋?）求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)（），則原函數(shù)可化為又，故，的值域?yàn)椋?）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)?，原函?shù)的值域?yàn)椋ǚǘ┓蛛x變量法：，函數(shù)的值域?yàn)椋?）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域?yàn)樽ⅲ嚎偨Y(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：，設(shè)，則，原函數(shù)的值域?yàn)椋?）數(shù)形結(jié)合法：，函數(shù)值域?yàn)椋?）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)橛傻茫?當(dāng)即時(shí)，即，當(dāng)即時(shí)，時(shí)方程恒有實(shí)根，且，原函數(shù)的值域?yàn)椋?），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，原函數(shù)的值域?yàn)椋?）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域?yàn)樽ⅲ荷厦嬗懻摰氖怯贸醯确椒ㄇ蠛瘮?shù)值域

18、的一些常見(jiàn)類型與方法，掌握這些方法對(duì)于以后的復(fù)習(xí)中求解綜合性的題目時(shí)是非常有用的。二、分段函數(shù)及實(shí)際應(yīng)用題1、相關(guān)鏈接（1）解決分段函數(shù)的基本原則是分段進(jìn)行，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用這一段的解析式來(lái)解決；（2）對(duì)于實(shí)際應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題意確定好分段點(diǎn)，在每一段上分析出其解析式，然后再寫(xiě)成分段函數(shù)；（3）對(duì)于分段函數(shù)的最值問(wèn)題，一般是將每一段上的最值分別求出，其中的最大者就是整個(gè)函數(shù)的最大值，其中的最小者就是整個(gè)函數(shù)的最小值。2例題解析例1我國(guó)是水資源相對(duì)匱乏的國(guó)家，為鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市打算制定一項(xiàng)水費(fèi)措施，規(guī)定每季度每人用水不超過(guò)5噸時(shí)，每噸水費(fèi)的價(jià)格(基本消費(fèi)價(jià))為1.3元，若超過(guò)5噸

19、而不超過(guò)6噸時(shí)，超過(guò)部分的水費(fèi)加收200%，若超過(guò)6噸而不超過(guò)7噸時(shí)，超過(guò)部分的水費(fèi)加收400%，如果某人本季度實(shí)際用水量為x(x7)噸，試計(jì)算本季度他應(yīng)繳納的水費(fèi).思路分析：計(jì)算本季度他應(yīng)繳納的水費(fèi)，應(yīng)看他的用水量x在何范圍內(nèi)，不同的范圍，繳納的水費(fèi)不同；可采用分段函數(shù)來(lái)表示.解答：設(shè)y表示本季度應(yīng)繳納的水費(fèi)(元)，當(dāng)0x5時(shí)，y=1.3x；當(dāng)5x6時(shí)，應(yīng)將x分成兩部分：5與(x-5)分別計(jì)算，第一部分為基本消費(fèi)1.3×5，第二部分由基本消費(fèi)與加價(jià)消費(fèi)組成,即1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200%=3.9x-19.5，此時(shí)y=1.3×5+3.9

20、x-19.5=3.9x-13，當(dāng)6x7時(shí)，同理y=6.5x-28.6綜上可知：.例2某出版公司為一本暢銷書(shū)定價(jià)如下：這里的nN*表示購(gòu)書(shū)的數(shù)量，C(n)是訂購(gòu)n本書(shū)所付的錢數(shù)(單位：元).若一本書(shū)的成本價(jià)是5元，現(xiàn)有甲、乙兩人來(lái)買書(shū)，每人至少買1本，兩人共買60本，問(wèn)出版公司最少能賺多少錢？最多能賺多少錢？思路分析：分析題意知，先弄清分段點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；列出買書(shū)的費(fèi)用函數(shù)，在每一段上求最值，比較大小再求出整個(gè)函數(shù)的最值.解析：設(shè)甲買n本書(shū)，則乙買(60-n)本書(shū)(不妨設(shè)甲買的書(shū)少于乙買的書(shū))，則n30,nN*當(dāng)1n11且nN*時(shí)，4960-n59，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=12n+10(60-

21、n)-5×60=2n+300；當(dāng)12n24且nN*時(shí)，3660-n48，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=12n+11(60-n)-5×60=n+360;當(dāng)25n30且nN*時(shí)，3060-n35，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=11×60-5×60=360；當(dāng)1n11且nN*時(shí)，302f(n)322；當(dāng)12n24且nN*時(shí)，372f(n)384；當(dāng)25n30且nN*時(shí)，f(n)=360.故出版公司最少能賺302元，最多能賺384元.三、求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式的求法函數(shù)解析式的求法(1)湊配法：由已知條件f(g(x)=F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表

22、達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式,此時(shí)要注意g(x)的范圍;(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f()或f(-x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x).2、例題解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求；解：（1）配湊法：，（或）；（2）換元法：令（），則，；（3）待定系數(shù)法：設(shè)，則，；（4）方程組法： 把中的換成，得 ，得。提醒：因

23、為函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時(shí)，如果定義域不是使表達(dá)式有意義的x的取值，一定要注明函數(shù)的定義域，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.四、函數(shù)的綜合應(yīng)用例1 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7時(shí)，f(x)=(x2)2，求當(dāng)x16,20時(shí)，函數(shù)g(x)=2xf(x)的表達(dá)式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，記f(x)=0在區(qū)間1000,1000上的根數(shù)為N，求N的最小值。解 （1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7

24、x)得:f(x)的圖像關(guān)于直線x=2,x=7對(duì)稱。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+10)f(x)是以10為周期的周期函數(shù)。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）當(dāng)x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2當(dāng)x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17時(shí)，g(x)最大值為16，最小值為9；x（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值為36，最

25、小值為9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有兩個(gè)解。而在1000，1000上有200個(gè)周期，至少有400個(gè)解。又f(1000)=0所以最少有401個(gè)解。且這401個(gè)解的和為200。注 題中（2）可根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性，通過(guò)作圖得到f(x)= 一般地：當(dāng)x3，2時(shí)，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2當(dāng)x3,7,f(x)=(x2)2故當(dāng)x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kZ）例2 設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x0,y0)，記y+3xx2的最大值是

26、M(a)，試求：（1）M(a)的表達(dá)式；（2）M(a)的最小值。解 將代數(shù)式y(tǒng)+3xx2表示為一個(gè)字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求M(a)。（1）設(shè)S(x)=y+3xx2,將y=2ax代入消去y，得：S(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a>0 0x下面分三種情況求M(a)(i)當(dāng)0<3a<(a>0)，即時(shí)解得 0<a<1或2<a<3時(shí)M(a)=S(3a)= (3a)2+2(ii)當(dāng)3a(a>0)即時(shí)，解得：1a2，這時(shí)M(a)=S

27、()=2a·+3·· =+(iii)當(dāng)3a0；即a3時(shí)M(a)=S(0)=2綜上所述得：M（a）=（2）下面分情況探討M(a)的最小值。當(dāng)0<a<1或2<a<3時(shí)M(a)=(3a) 2+2>2當(dāng)1a2時(shí)M(a)=+=2()2+1a21當(dāng)=時(shí)，M(a)取小值，即M(a)M（2）=當(dāng)a3時(shí)，M(a)=2經(jīng)過(guò)比較上述各類中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。注：解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于解題思路的挖掘，對(duì)參數(shù)a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)3a是否在定義域區(qū)間0，內(nèi)，這樣就引出三種討論情況，找出解題的方案。【高考零距離】1（201

28、2·山東高考文科·3）函數(shù)的定義域?yàn)?(A) () (C) (D)【解題指南】 本題主要考查函數(shù)定義域的求法：1、分母不為0；2、偶次根式里面為非負(fù)數(shù)；3、真數(shù)大于零.【解析】選.因?yàn)椋獾茫?，且且，所以定義域?yàn)椋?2（2012·廣東高考文科·11）函數(shù)的定義域?yàn)?.【解題指南】 求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，本小題涉及到分式，要注意分母不能等于0,偶次根式被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)。【解析】由得函數(shù)的定義域?yàn)??！敬鸢浮?（2012·福建高考文科·9）設(shè)，則的值為（ ）CD【解題指南】求解分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意按x的不同

29、取值，套入不同的函數(shù)段進(jìn)行求解【解析】選為無(wú)理數(shù)，4（2012·陜西高考數(shù)學(xué)文科·11）設(shè)函數(shù)，則 .【解題指南】已知函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，注意根據(jù)自變量的取值判斷用哪一段上的函數(shù)求值.【解析】，因?yàn)?，所?答案：45. （2010遼寧理數(shù)）(1O)已知點(diǎn)P在曲線y=上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則a的取值 范圍是 ()0,) () (D) 【答案】D【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的知識(shí)。【解析】因?yàn)椋磘an a-1,所以6.（2010上海文數(shù)）9.函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 (0,-2) 。解析：考查反函數(shù)相關(guān)概念、性質(zhì)法一：函數(shù)

30、的反函數(shù)為，另x=0，有y=-2法二：函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)為（-2,0），利用對(duì)稱性可知，函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)為（0，-2）【考點(diǎn)提升訓(xùn)練】一、選擇題(每小題6分，共36分)1.(2011·廣東高考)函數(shù)f(x)=+lg(1+x)的定義域是( )()(-,1) ()(1,+)(C)(-1,1)(1,+) (D)(-,+)2.若集合M=y|y=2x,xR，P=x|y= ，則MP=( )()(1,+) ()1,+)(C)(0,+) (D)0,+)3.已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖，不含端點(diǎn))，則f(f()=( )()- ()(C)- (D)4.（預(yù)測(cè)題）已知函數(shù)f(x)=，

31、則f(2 013)=( )()2 010 ()2 011(C)2 012 (D)2 0135.（2012·廈門模擬）設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速?gòu)囊业胤祷丶椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)的圖象為（ ）6.(2012·三明模擬)函數(shù)y=的值域?yàn)? )()(-,+) ()(-,0(C)(-,- ) (D)(-2,0二、填空題(每小題6分，共18分)7.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)= f(x)的定義域是_.8.(2012· 皖

32、南八校聯(lián)考)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y，定義運(yùn)算x*y=，已知1*2=4，-1*1=2，則下列運(yùn)算結(jié)果為3的序號(hào)為_(kāi)(填寫(xiě)所有正確結(jié)果的序號(hào))* -*-3*2 3*(-2)9.（2012·福州模擬）函數(shù)的定義域是_.三、解答題(每小題15分，共30分)10.(易錯(cuò)題)設(shè)x0時(shí)，f(x)=2;x0時(shí)，f(x)=1，又規(guī)定：g(x)= (x0)，試寫(xiě)出y=g(x)的解析式，并畫(huà)出其圖象.11.(2012·深圳模擬)已知f(x)=x2-1，g(x)=.(1)求f(g(2)和g(f(2)的值;(2)求f(g(x)和g(f(x)的解析式.【探究創(chuàng)新】(16分)如果對(duì)x,yR都有f(x+y)=f(

33、x)·f(y)，且f(1)=2,(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求的值.答案解析1.【解析】選C.要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，解得x>-1且x1，從而定義域?yàn)?-1,1)(1,+)，故選C.2.【解析】選.因?yàn)镸=y|y0=(0,+),P=x|x-10=x|x1=1,+),MP=1,+).3.【解析】選 .由圖象知，當(dāng)-1x0時(shí)，f(x)=x+1,當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=x-1,f(x)=f()=-1=-,f(f()=f(-)=-+1=.4.【解析】選C.由已知得f(0)=f(0-1)+1=f(-1)+1=-1-1+1=-1,f(1)=f(0)+1=0,f(2)=f(1)+1=1,f(3)=f(2)+