高考數學復習講練14數列的概念與簡單表示法學生

1、個性化教學輔導教案學科：數學 任課教師：葉雷 授課時間：2011 年 月 日(星期 ) 16 : 00 18 : 00 姓名陽豐澤年級高三性別男教學課題 數列的概念與簡單表示法教學目標1 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）；通過對一列數的觀察、歸納， 寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力2了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；對于比較簡單的數列，會根據其前幾 項寫出它的一個通項公式。3了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項； 理解數列的前n項和與的關系.重點難點數列的通項公式及其應用

2、，數列的遞推公式，數列的前n項和與的關系。課前檢查作業(yè)完成情況：優(yōu) 良 中 差 建議_ 第 講 數列的概念與簡單表示法知識點一：數列的概念1數列的定義：按照一定順序排列著的一列數稱為數列. 注意：數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現(xiàn).2數列的項：數列中的每一個數叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項，第2項，；排在第位的數稱為這個數列的第項.其中數列的第1項也叫作首項。注意：數列的項與項數是兩個不同的概念。數列的項是指數列中的某一個確定的數，而項數是指這個

3、數在數列中的位置序號。3. 數列的一般形式：數列的一般形式可以寫成：，或簡記為。其中是數列的第項注意：與的含義完全不同，表示一個數列，表示數列的第項。知識點二：數列的分類1. 根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是有窮數列無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6，是無窮數列2. 根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列。遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列。常數數列：各項相等的數列。擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列。知識點三：數列的通項公式與前項和1. 數

4、列的通項公式：如果數列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式. 如數列：的通項公式為（）；的通項公式為（）；的通項公式為（）；注意：并不是所有數列都能寫出其通項公式；一個數列的通項公式有時是不唯一的。如數列：1，0，1，0，1，0，它的通項公式可以是，也可以是.數列通項公式的作用：求數列中任意一項；檢驗某數是否是該數列中的一項. 數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這個數列中所有各項的一般表示2. 數列的前項和：數列的前項和：指數列的前項逐個相加之和，通常用表示，即；3與的關系：當時；當時，故.知識點四：數列的表示方法1通項公式法（解析式法

5、）：數列通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系。給了數列的通項公式，代入項數就可求出數列的每一項反之，根據通項公式，可以判定一個數是否為數列中的項。2列表法：相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，用表示第項，依次寫出得數列123圖象法：數列是一種特殊的函數，可以用函數圖象的畫法畫數列的圖形具體方法：以項數為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點。所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在軸的右側，而點的個數取決于數列的項數從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢4遞推公式法：遞推公式：如果已

6、知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式也是給出數列的一種方法。如：數列：-3，1，5，9，13，可用遞推公式：表示。數列：3，5，8，13，21，34，55，89，可用遞推公式：表示。規(guī)律方法指導1類比集合中元素的三要素，數列中的項也有相應的三個性質：（1）確定性：一個數是否數列中的項是確定的；（2）可重復性：數列中的數可以重復；（3）有序性：數列中的數的排列是有次序的.2數列與函數的關系（1）數列是一個特殊的函數，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上。數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數

7、，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。反過來，對于函數,如果（）有意義，那么我們可以得到一個數列， ，；（2）數列的通項公式實際上就是相應函數的解析式。數列的項是函數值，序號是自變量，數列的通項公式就是相應函數的解析式。數列通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系。給了數列的通項公式，代入項數就可求出數列的每一項反之，根據通項公式，可以判定一個數是否為數列中的項。（3）數列的圖象是落在軸右側的一群孤立的點，數列的圖象是以項數為橫坐標，相應的項為縱坐標的一系列孤立的點 ，這些點都落在函數的圖象上。因為橫坐標為正整數，所以這些點都在軸的右側，從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化

8、而變化的趨勢（4）跟不是所有的函數都有解析式一樣，不是所有的數列都有通項公式.類型一：根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式【例1】寫出下列各數列的一個通項公式，使其前四項分別是:(1) 0, ,；(2) 1, ,；(3) 9, 99,999, 9999,；(4) 6, 1, 6,1,.解：（1）將數列改寫為， 故.（2）此數列奇數項為正，偶數項為負，可用來表示； 其絕對值中分子為奇數數列，分母是自然數的平方數列，故.（3）將數列改寫為, , , ，故.（4）將數列每一項減去6與1的平均值得新數列, -, -,， 故或總結升華：寫通項時注意以下常用思路：若數列中的項均為分數，則先觀察分母的規(guī)律

9、再觀察分子的規(guī)律，如(1)；特別注意有時分數是約分后的結果，要根據觀察還原分數；注意(1)n在系數中的作用是讓數列中的項正、負交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數，讓數列中隔項出現(xiàn)倒數； （4）可視為周期數列，故想到找一個周期為2的函數為背景。歸納猜想的關鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項進行適當的變形，使規(guī)律明朗化.熟練掌握一些基本數列的通項公式，例如：數列-1，1，-1，1，的通項公式為；數列1，2，3，4，的通項公式為；數列1，3，5，7，的通項公式為；數列2，4，6，8，的通項公式為；數列1，4，9，16，的通項公式為；數列1，的通項公式為。【變式】根據下面數列的前幾

10、項的值，寫出數列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2), , , , , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,.類型二：通項公式的應用【例2】設數列滿足，寫出這個數列的前五項。思路點撥：只需在給出數列的通項公式中依次取，便可以求解.解析：數列的前五項為：；.總結升華：根據數列的通項公式，可以寫出數列的所有項。【變式1】設數列滿足，寫出這個數列的前五項?！咀兪?】根據下列數列的通項公式，寫出它的第五項.（1）； （2），【例3】已知數列的通項公式

11、, 試問下列各數是否為數列的項，若是，是第幾項？(1) 94；(2) 71.思路點撥：先假設是數列中的項，可以列方程求解，若求解得到的腳標，那么是數列中的項，否則，不是.解析：（1）設, 解得.故94是數列的第32項.（2）設，解得.故71不是數列的項.【變式】已知數列的通項公式, （1）若，試問是第幾項？（2）56和28是否為數列的項？類型三：遞推公式的應用【例4】 設數列滿足：，寫出這個數列的前五項。思路點撥：題中已給出的第1項和遞推公式：，故可以依次寫出下列各項.解析：據題意可知：，故數列的前5項為:1，2，.總結升華：遞推公式也是給出數列的一種方法，根據數列的遞推公式，可以逐次寫出數列

12、的所有項?！咀兪?】已知數列滿足：，寫出前6項.【變式2】已知數列滿足：，寫出前5項，并猜想 類型四：前項和公式與通項的關系【例5】已知數列的前項和公式，求通項.（1）， (2).思路點撥：先由時，求出；再由當時，求出，并驗證是否符合所求出的.解析：(1) 當時，當時，(2) 當時，當時，()為所求.總結升華：已知求出依據的是的定義：，分段求解，然后檢驗結果能否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數的形式.【變式1】已知數列的前項和，求通項.【變式2】已知數列的前項積，求通項類型五：數列的單調性【例6】已知數列中,判斷數列的單調性，并給以證明.思路點撥：選擇數列中任意相鄰兩項作差比較即可

13、. 解析：，（）數列是遞增數列.總結升華：數列也是函數，可以用證明函數的單調性的方法來證明.【變式1】數列中：,（）（1）寫出它的前五項，并歸納出通項公式；（2）判斷它的單調性.【變式2】數列中：（，且為常數），判斷數列的單調性.1填空:(1)已知數列的前n項和Sn=3+2n, 則an=_.(2)已知數列前n項和Sn=5n2-n, 則a6+a7+a8+a9+a10=_.(3)已知數列中，, . 那么數列的前5項依次為_.(4) 數列an的通項公式an=n2+n+1; 則273是這個數列的第_項.2寫出下列各數列的通項公式，使其前4項分別是:(1) ，-， -，；(2) ， ， ，；(3) 5，

14、55， 555， 5555， ；(4) 3，5，3，5，3已知數列an的通項公式為an=n2+ln, 若數列an為遞增數列，試求最小的整數l.4已知數列an的前n項和Sn滿足關系式lg(Sn-1)=n， 求an.5根據各個數列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1) 0, (2n1) (nN+)；(2) 3, 32 (nN+).6在數列an滿足且a1=2，則其中一項是( )A B C D7已知正數數列an的前n項的和Sn滿足，則它的第2項的值是( )A B1 C D8共有30項的數列an通項公式是，其中最大值項與最小值項分別是( )Aa30，a1 Ba10，a9 Ca10，a3

15、0 Da1，a99已知數列中，且（2），則（ ）A. B. C. D. 10數列中，且，則（ ）A. 3 B. C. D. 611已知數列的通項公式，則數列的最大項為（ ）.A. 第12項 B. 第13項 C. 第12或第13項 D. 不存在12數列，的一個通項公式是_，是該數列的第_項.13已知數列的前項和，則數列的通項公式_.14數列0，1，0，2，0，3，0，4的一個通項公式是_.15數列an的前項的和Sn=n3+1，則數列的通項公式是an=_.16根據數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式.(1)； (2)；(3)； (4)； (5)1，3，1，3，1，317根據下列條件，求數列an的通

16、項公式.(1)a1=3，nan=(n+1)an1，n2；(2)a1=1，an=an-1+an-2+a1，n2.18(1)已知數列an的前n項和Sn=3n2+n+1，求an.(2)已知數列an中，前n項和Sn=n2·an，求an.參考答案：1. (1) ; (2) 370; (3) 1, ,; (4) 16.2(1);(2); (3);(4) an=4+(-1)n3解析：依題意有:an+1-an0, 即(n+1)2+l(n+1)-(n2+ln)0.，解得 l-(2n+1), nN+.-(2n+1)( nN+)的最大值為-3， 滿足條件的最小整數l=-2.45解析：(1) 0, 1, 4, 9, 16, ；(2) , .6D 7A 8B 9. A 10. B 11. A 12，10 13. 141516(1)； (2)(3)；(4)；(5)an=2+(-1)n或17解析：(1) 同理：個式子疊乘得：a2·a3··an=·a1··an-1 即；(2) an=an-1+an-2+a1 (n2) an-1=an-2+an-3+a1 (n3) 故將代入有an=2an1 (n3)由式a2=a1=1，