特征函數(shù)中央財(cái)經(jīng)大學(xué)

1、第一節(jié)第一節(jié) 特征函數(shù)特征函數(shù) 一般說(shuō)來(lái)，數(shù)字特征不能完全確定隨機(jī)變量的分布一般說(shuō)來(lái)，數(shù)字特征不能完全確定隨機(jī)變量的分布. 本本節(jié)將要介紹特征函數(shù)，既能完全決定分布函數(shù)，又具有節(jié)將要介紹特征函數(shù)，既能完全決定分布函數(shù)，又具有良好的性質(zhì)，是研究隨機(jī)變量的分布的有力的工具良好的性質(zhì)，是研究隨機(jī)變量的分布的有力的工具.關(guān)于復(fù)數(shù)的回顧關(guān)于復(fù)數(shù)的回顧復(fù)數(shù)的一般式：復(fù)數(shù)的一般式：zaib222222()abaibabiabab取角取角,使得使得cos22,aab22sinbab則則(cossin )zaibri其中其中22rab為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)z的模長(zhǎng)。的模長(zhǎng)。復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的三角形式在三角形式下，令在三

2、角形式下，令1111(cossin),zri2222(cossin)zri我們有我們有121 21212(cos()sin(),zzrri11121222(cos()sin(),zrizr 復(fù)數(shù)的三角形式在復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算中占有相當(dāng)復(fù)數(shù)的三角形式在復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算中占有相當(dāng)大的優(yōu)勢(shì)。大的優(yōu)勢(shì)。如考慮如考慮20102010(13 )?( 3)ii歐拉公式：歐拉公式： 對(duì)于任何實(shí)數(shù)對(duì)于任何實(shí)數(shù) ，記，記cossiniei則復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算變成則復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算變成1212()12121 2iiizzrer err e1122()111222iiizrerezr er把指數(shù)函數(shù)推廣到把指數(shù)函數(shù)推廣到

3、復(fù)變量的情形復(fù)變量的情形(cossin )a biaeebib一、定義一、定義 定義定義1 設(shè)設(shè)、為實(shí)值隨機(jī)變量，稱為實(shí)值隨機(jī)變量，稱= + i為為 復(fù)隨機(jī)變量復(fù)隨機(jī)變量，這里，這里 , 12 i稱稱EEiE為為的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 復(fù)隨機(jī)變量本質(zhì)上是二維隨機(jī)變量，相關(guān)的很多概念和復(fù)隨機(jī)變量本質(zhì)上是二維隨機(jī)變量，相關(guān)的很多概念和性質(zhì)可以從實(shí)隨機(jī)變量直接推廣而得到，例如性質(zhì)可以從實(shí)隨機(jī)變量直接推廣而得到，例如 E具有與實(shí)數(shù)具有與實(shí)數(shù)學(xué)期望類似的性質(zhì)學(xué)期望類似的性質(zhì). 定義定義2 設(shè)設(shè)為實(shí)隨機(jī)變量，稱為實(shí)隨機(jī)變量，稱 itEetf )(為為的的特征函數(shù)特征函數(shù)，這里，這里t是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù).

4、 1. 若若為離散型，為離散型， , 2 , 1,)( npxPnn 則則nitxnneptf 1)(2. 若若為連續(xù)型，其密度為為連續(xù)型，其密度為p (x)，則，則 dxexptfitx )()(它就是函數(shù)它就是函數(shù)p(x)的傅里葉變換的傅里葉變換. 特征函數(shù)的計(jì)算特征函數(shù)的計(jì)算二、常見分布的特征函數(shù)二、常見分布的特征函數(shù)例例1 退化退化(單點(diǎn)單點(diǎn))分布分布P(= c) =1的特征函數(shù)的特征函數(shù) f (t) = icte例例2 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布B (n, p) 的特征函數(shù)的特征函數(shù) nitqpetf )(例例3 泊松分布泊松分布P()的特征函數(shù)的特征函數(shù) )1()( iteetf 例例4 均

5、勻分布均勻分布U a, b 的特征函數(shù)的特征函數(shù) ( )()itbitaeef tba it特別地特別地 n=1時(shí)時(shí), 01分布的特征函數(shù)為分布的特征函數(shù)為qpetfit )(例例5 正態(tài)分布正態(tài)分布 ),(2 N的特征函數(shù)的特征函數(shù) 222)(ttietf 例例6 指數(shù)分布指數(shù)分布 )( Exp的特征函數(shù)的特征函數(shù) ittf 11)(特別地特別地,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)為22)(tetf 三、性質(zhì)三、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1)()(tftf 1)0()( ftf性質(zhì)性質(zhì)2性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)設(shè)= a+b, a,b是任意常數(shù)，則是任意常數(shù)，則 )()(atfetfibt 性質(zhì)性質(zhì)4 若

6、若 12,n相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 12ni，的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 fti( )，則，則)()()()(21tftftftfn這一性質(zhì)對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量和的研究起著很大作用這一性質(zhì)對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量和的研究起著很大作用.性質(zhì)性質(zhì)5 若若nE 存在，存在， 則則f (t) 是是n次可微的，且當(dāng)次可微的，且當(dāng)kn時(shí)時(shí) kkkEif)0()(利用特征函數(shù)的性質(zhì)利用特征函數(shù)的性質(zhì), 我們很容易求得伽瑪分布我們很容易求得伽瑪分布 和和)(n2 的特征函數(shù)的特征函數(shù).伽瑪分布伽瑪分布 ittf1)(),( Ga),( Ga)(n2 分布分布 221)(nittf 性質(zhì)性質(zhì)6(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) 任何特

7、征函數(shù)任何特征函數(shù)f (t)在在 (, )上均一致連續(xù)上均一致連續(xù).性質(zhì)性質(zhì)7 f(t) 是非負(fù)定的：是非負(fù)定的： 對(duì)任意正整數(shù)對(duì)任意正整數(shù)n及任意實(shí)數(shù)及任意實(shí)數(shù) tttn12,， 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 1,n，有，有 jknknjjkttf)(110這個(gè)性質(zhì)是特征函數(shù)的最本質(zhì)屬性之一這個(gè)性質(zhì)是特征函數(shù)的最本質(zhì)屬性之一. 事實(shí)上，我們有如下的事實(shí)上，我們有如下的 波赫納爾波赫納爾辛欽辛欽(Bochner-Khinchine)定理定理 函數(shù)函數(shù)f (t ) 為為特征函數(shù)的充要條件是特征函數(shù)的充要條件是f (t ) 非負(fù)定，連續(xù)且非負(fù)定，連續(xù)且f (0) =1.四、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理四、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理

8、 定理定理1（逆轉(zhuǎn)公式） 設(shè)分布函數(shù)設(shè)分布函數(shù)F(x)的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為f (t)，又，又 x x12,是是F(x)的兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)，則的兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)，則 )()(12xFxF121lim( )2itxitxTTTeef t dtit分布函數(shù)可由特征函數(shù)唯一確定分布函數(shù)可由特征函數(shù)唯一確定 定理定理2 (唯一性定理)定理定理3 (逆傅里葉變換) 設(shè)設(shè)f (t)是特征函數(shù)，且是特征函數(shù)，且 | ( )|f t dt 則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，此時(shí)的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，此時(shí) dttfexFitx)(21)(對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量必為連續(xù)型必為連續(xù)型例例7 求證求證f (t)

9、= cost是某隨機(jī)變量的特征函數(shù)是某隨機(jī)變量的特征函數(shù). 并求出它的并求出它的. 分布函數(shù)分布函數(shù) f (t) = cost解解 21)(ititee= ititee2121這是分布列為這是分布列為 2/12/111的隨機(jī)變量的特征函數(shù)的隨機(jī)變量的特征函數(shù). = 一般，若能把一般，若能把f (t)寫成寫成 tixnnea的形式，其中的形式，其中 , 0 na, 11 nna則則f (t)是特征函數(shù)，它的分布列為是特征函數(shù)，它的分布列為 , 2 , 1,)( naxPnn 關(guān)于分布函數(shù)的可加性關(guān)于分布函數(shù)的可加性 特征函數(shù)有很多重要的應(yīng)用特征函數(shù)有很多重要的應(yīng)用. 比如比如, 用它來(lái)討論分布函

10、數(shù)用它來(lái)討論分布函數(shù)的可加性將非常方便的可加性將非常方便.回憶回憶: 所謂所謂可加性可加性，是指若，是指若與與相互獨(dú)立，服從同一相互獨(dú)立，服從同一類型分布，則其和類型分布，則其和+也服從該類分布，且其分布中也服從該類分布，且其分布中的參數(shù)是的參數(shù)是與與的相應(yīng)參數(shù)之和的相應(yīng)參數(shù)之和. 可加性可加性也稱也稱再生性再生性.例例8 設(shè)設(shè)X和和Y分別服從參數(shù)為分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 且二者獨(dú)立且二者獨(dú)立21 和和試證試證X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.21 X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布. 大家試著利用特征函數(shù)來(lái)說(shuō)明一下表大家試著利用特征函數(shù)來(lái)說(shuō)明一下表4.1.1中還有那些分布中還有那些分布具有可加性具有可加性?證明證明:由泊松分布的特征函數(shù)知由泊松分布的特征函數(shù)知,)()1(1 iteXetf )1(2)( i